微分積分例

$(x + y) \frac{d y}{d x} = 2 (x + y) + 1$

ステップ 1

$v = x + y$ とします。 $v$ を $x + y$ に代入します。

$v \frac{d y}{d x} = 2 v + 1$

ステップ 2

$x + y$ を微分し、 $\frac{d v}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $x + y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ です。

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{d v}{d x} = 1 + \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$\frac{d v}{d x} = 1 + y'$

ステップ 3

微分係数を微分方程式に戻し入れます。

$v \frac{d v}{d x} - v = 2 v + 1$

ステップ 4

変数を分けます。

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ステップ 4.1

$\frac{d v}{d x}$ について解きます。

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ステップ 4.1.1

$\frac{d v}{d x}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 4.1.1.1

方程式の両辺に $v$ を足します。

$v \frac{d v}{d x} = 2 v + 1 + v$

ステップ 4.1.1.2

$2 v$ と $v$ をたし算します。

$v \frac{d v}{d x} = 3 v + 1$

ステップ 4.1.2

$v \frac{d v}{d x} = 3 v + 1$ の各項を $v$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$v \frac{d v}{d x} = 3 v + 1$ の各項を $v$ で割ります。

$\frac{v \frac{d v}{d x}}{v} = \frac{3 v}{v} + \frac{1}{v}$

ステップ 4.1.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.2.1

$v$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{v \frac{d v}{d x}}{v} = \frac{3 v}{v} + \frac{1}{v}$

ステップ 4.1.2.2.1.2

$\frac{d v}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d v}{d x} = \frac{3 v}{v} + \frac{1}{v}$

ステップ 4.1.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.3.1

$v$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.3.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{d v}{d x} = \frac{3 v}{v} + \frac{1}{v}$

ステップ 4.1.2.3.1.2

$3$ を $1$ で割ります。

$\frac{d v}{d x} = 3 + \frac{1}{v}$

ステップ 4.2

両辺に $\frac{1}{3 + \frac{1}{v}}$ を掛けます。

$\frac{1}{3 + \frac{1}{v}} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{3 + \frac{1}{v}} (3 + \frac{1}{v})$

ステップ 4.3

$3 + \frac{1}{v}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{3 + \frac{1}{v}} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{3 + \frac{1}{v}} (3 + \frac{1}{v})$

ステップ 4.3.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{3 + \frac{1}{v}} \frac{d v}{d x} = 1$

ステップ 4.4

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{3 + \frac{1}{v}} d v = 1 d x$

ステップ 5

両辺を積分します。

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ステップ 5.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{3 + \frac{1}{v}} d v = \int d x$

ステップ 5.2

左辺を積分します。

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ステップ 5.2.1

簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

分母を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1.1

$3$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{v}{v}$ を掛けます。

$\int \frac{1}{\frac{3 v}{v} + \frac{1}{v}} d v = \int d x$

ステップ 5.2.1.1.2

公分母の分子をまとめます。

$\int \frac{1}{\frac{3 v + 1}{v}} d v = \int d x$

ステップ 5.2.1.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$\int 1 \frac{v}{3 v + 1} d v = \int d x$

ステップ 5.2.1.3

$\frac{v}{3 v + 1}$ に $1$ をかけます。

$\int \frac{v}{3 v + 1} d v = \int d x$

ステップ 5.2.2

$v$ を $3 v + 1$ で割ります。

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ステップ 5.2.2.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$3 v$

$1$

$v$

$0$

ステップ 5.2.2.2

被除数 $v$ の最高次項を除数 $3 v$ の最高次項で割ります。

					$\frac{1}{3}$
	$3 v$	+	$1$		$v$	+	$0$

ステップ 5.2.2.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$\frac{1}{3}$
$3 v$	+	$1$		$v$	+	$0$
			+	$v$	+	$\frac{1}{3}$

ステップ 5.2.2.4

式は被除数から引く必要があるので、 $v + \frac{1}{3}$ の符号をすべて変更します。

				$\frac{1}{3}$
$3 v$	+	$1$		$v$	+	$0$
			-	$v$	-	$\frac{1}{3}$

ステップ 5.2.2.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$\frac{1}{3}$
$3 v$	+	$1$		$v$	+	$0$
			-	$v$	-	$\frac{1}{3}$
					-	$\frac{1}{3}$

ステップ 5.2.2.6

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$\int \frac{1}{3} - \frac{1}{3 (3 v + 1)} d v = \int d x$

ステップ 5.2.3

単一積分を複数積分に分割します。

$\int \frac{1}{3} d v + \int - \frac{1}{3 (3 v + 1)} d v = \int d x$

ステップ 5.2.4

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{3} v + C_{1} + \int - \frac{1}{3 (3 v + 1)} d v = \int d x$

ステップ 5.2.5

$- 1$ は $v$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{3} v + C_{1} - \int \frac{1}{3 (3 v + 1)} d v = \int d x$

ステップ 5.2.6

$\frac{1}{3}$ は $v$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{3} v + C_{1} - (\frac{1}{3} \int \frac{1}{3 v + 1} d v) = \int d x$

ステップ 5.2.7

$u = 3 v + 1$ とします。次に $d u = 3 d v$ すると、 $\frac{1}{3} d u = d v$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 5.2.7.1

$u = 3 v + 1$ とします。 $\frac{d u}{d v}$ を求めます。

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ステップ 5.2.7.1.1

$3 v + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d v} [3 v + 1]$

ステップ 5.2.7.1.2

総和則では、 $3 v + 1$ の $v$ に関する積分は $\frac{d}{d v} [3 v] + \frac{d}{d v} [1]$ です。

$\frac{d}{d v} [3 v] + \frac{d}{d v} [1]$

ステップ 5.2.7.1.3

$\frac{d}{d v} [3 v]$ の値を求めます。

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ステップ 5.2.7.1.3.1

$3$ は $v$ に対して定数なので、 $v$ に対する $3 v$ の微分係数は $3 \frac{d}{d v} [v]$ です。

$3 \frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [1]$

ステップ 5.2.7.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ は $n v^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d v} [1]$

ステップ 5.2.7.1.3.3

$3$ に $1$ をかけます。

$3 + \frac{d}{d v} [1]$

ステップ 5.2.7.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 5.2.7.1.4.1

$1$ は $v$ について定数なので、 $v$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$3 + 0$

ステップ 5.2.7.1.4.2

$3$ と $0$ をたし算します。

$3$

ステップ 5.2.7.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{3} v + C_{1} - \frac{1}{3} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} d u = \int d x$

ステップ 5.2.8

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.8.1

$\frac{1}{u}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$\frac{1}{3} v + C_{1} - \frac{1}{3} \int \frac{1}{u \cdot 3} d u = \int d x$

ステップ 5.2.8.2

$3$ を $u$ の左に移動させます。

$\frac{1}{3} v + C_{1} - \frac{1}{3} \int \frac{1}{3 u} d u = \int d x$

ステップ 5.2.9

$\frac{1}{3}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{3} v + C_{1} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u) = \int d x$

ステップ 5.2.10

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.10.1

$\frac{1}{3}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$\frac{1}{3} v + C_{1} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int \frac{1}{u} d u = \int d x$

ステップ 5.2.10.2

$3$ に $3$ をかけます。

$\frac{1}{3} v + C_{1} - \frac{1}{9} \int \frac{1}{u} d u = \int d x$

ステップ 5.2.11

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$\frac{1}{3} v + C_{1} - \frac{1}{9} (\ln (| u |) + C_{2}) = \int d x$

ステップ 5.2.12

簡約します。

$\frac{1}{3} v - \frac{1}{9} \ln (| u |) + C_{3} = \int d x$

ステップ 5.3

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{3} v - \frac{1}{9} \ln (| u |) + C_{3} = x + C_{4}$

ステップ 5.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\frac{1}{3} v - \frac{1}{9} \ln (| u |) = x + C$

ステップ 6

$v$ について解きます。

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ステップ 6.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.1.1

$\frac{1}{3}$ と $v$ をまとめます。

$\frac{v}{3} - \frac{1}{9} \ln (| u |) = x + C$

ステップ 6.1.2

$- \frac{1}{9} \ln (| u |)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.2.1

$\ln (| u |)$ と $\frac{1}{9}$ を並べ替えます。

$\frac{v}{3} - (\frac{1}{9} \ln (| u |)) = x + C$

ステップ 6.1.2.2

対数の中の $\frac{1}{9}$ を移動させて $\frac{1}{9} \ln (| u |)$ を簡約します。

$\frac{v}{3} - \ln ({| u |}^{\frac{1}{9}}) = x + C$

ステップ 6.2

方程式の両辺に $\ln ({| u |}^{\frac{1}{9}})$ を足します。

$\frac{v}{3} = x + C + \ln ({| u |}^{\frac{1}{9}})$

ステップ 6.3

方程式の両辺に $3$ を掛けます。

$3 \frac{v}{3} = 3 (x + C + \ln ({| u |}^{\frac{1}{9}}))$

ステップ 6.4

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 6.4.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1.1.1

共通因数を約分します。

$3 \frac{v}{3} = 3 (x + C + \ln ({| u |}^{\frac{1}{9}}))$

ステップ 6.4.1.1.2

式を書き換えます。

$v = 3 (x + C + \ln ({| u |}^{\frac{1}{9}}))$

ステップ 6.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.2.1

分配則を当てはめます。

$v = 3 x + 3 C + 3 \ln ({| u |}^{\frac{1}{9}})$

ステップ 6.5

$3 x + 3 C + 3 \ln ({| u |}^{\frac{1}{9}})$ を簡約します。

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ステップ 6.5.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.5.1.1

対数の中の $3$ を移動させて $3 \ln ({| u |}^{\frac{1}{9}})$ を簡約します。

$v = 3 x + 3 C + \ln ({({| u |}^{\frac{1}{9}})}^{3})$

ステップ 6.5.1.2

${({| u |}^{\frac{1}{9}})}^{3}$ の指数を掛けます。

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ステップ 6.5.1.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$v = 3 x + 3 C + \ln ({| u |}^{\frac{1}{9} \cdot 3})$

ステップ 6.5.1.2.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.1.2.2.1

$3$ を $9$ で因数分解します。

$v = 3 x + 3 C + \ln ({| u |}^{\frac{1}{3 (3)} \cdot 3})$

ステップ 6.5.1.2.2.2

共通因数を約分します。

$v = 3 x + 3 C + \ln ({| u |}^{\frac{1}{3 \cdot 3} \cdot 3})$

ステップ 6.5.1.2.2.3

式を書き換えます。

$v = 3 x + 3 C + \ln ({| u |}^{\frac{1}{3}})$

ステップ 6.5.2

$3 x$ と $3 C$ を並べ替えます。

$v = 3 C + 3 x + \ln ({| u |}^{\frac{1}{3}})$

ステップ 7

積分定数を簡約します。

$v = C + 3 x + \ln ({| u |}^{\frac{1}{3}})$

ステップ 8

$v$ のすべての発生を $x + y$ で置き換えます。

$x + y = C + 3 x + \ln ({| u |}^{\frac{1}{3}})$

ステップ 9

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 9.1

方程式の両辺から $x$ を引きます。

$y = C + 3 x + \ln ({| u |}^{\frac{1}{3}}) - x$

ステップ 9.2

$3 x$ から $x$ を引きます。

$y = C + 2 x + \ln ({| u |}^{\frac{1}{3}})$

微分積分 例

微分積分例