微分積分例

$\frac{1}{x} \cdot \frac{d y}{d x} - \frac{1}{1 + x^{2}} y = x^{3}$

ステップ 1

微分方程式を $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ として書き換えます。

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ステップ 1.1

方程式を $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ として書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

項を並べ替えます。

$\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} - \frac{1}{x^{2} + 1} y = x^{3}$

ステップ 1.1.2

項を並べ替えます。

$\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} - y \frac{1}{x^{2} + 1} = x^{3}$

ステップ 1.2

$y$ を $- y \frac{1}{x^{2} + 1}$ で因数分解します。

$\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} + y (- \frac{1}{x^{2} + 1}) = x^{3}$

ステップ 1.3

$y$ と $- \frac{1}{x^{2} + 1}$ を並べ替えます。

$\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} - \frac{1}{x^{2} + 1} y = x^{3}$

ステップ 1.4

$\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} - \frac{1}{x^{2} + 1} y = x^{3}$ の各項に $x$ を掛けます。

$\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} x - \frac{1}{x^{2} + 1} y x = x^{3} x$

ステップ 1.5

$\frac{1}{x}$ と $\frac{d y}{d x}$ をまとめます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} x - \frac{1}{x^{2} + 1} y x = x^{3} x$

ステップ 1.6

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{\frac{d y}{d x} x}{x} - \frac{1}{x^{2} + 1} y x = x^{3} x$

ステップ 1.7

$y$ と $\frac{1}{x^{2} + 1}$ をまとめます。

$\frac{\frac{d y}{d x} x}{x} - \frac{y}{x^{2} + 1} x = x^{3} x$

ステップ 1.8

$x$ と $\frac{y}{x^{2} + 1}$ をまとめます。

$\frac{\frac{d y}{d x} x}{x} - \frac{x y}{x^{2} + 1} = x^{3} x$

ステップ 1.9

指数を足して $x^{3}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.9.1

$x^{3}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.9.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{d y}{d x} x}{x} - \frac{x y}{x^{2} + 1} = x^{3} x^{1}$

ステップ 1.9.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\frac{d y}{d x} x}{x} - \frac{x y}{x^{2} + 1} = x^{3 + 1}$

ステップ 1.9.2

$3$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\frac{d y}{d x} x}{x} - \frac{x y}{x^{2} + 1} = x^{4}$

ステップ 1.10

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.10.1

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{d y}{d x} x}{x} - \frac{x y}{x^{2} + 1} = x^{4}$

ステップ 1.10.2

$\frac{d y}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} - \frac{x y}{x^{2} + 1} = x^{4}$

ステップ 1.11

$y$ を $- \frac{x y}{x^{2} + 1}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{x}{x^{2} + 1}) = x^{4}$

ステップ 1.12

$y$ と $- \frac{x}{x^{2} + 1}$ を並べ替えます。

$\frac{d y}{d x} - \frac{x}{x^{2} + 1} y = x^{4}$

ステップ 2

$P (x) = - \frac{x}{x^{2} + 1}$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

積分を設定します。

$e^{\int - \frac{x}{x^{2} + 1} d x}$

ステップ 2.2

$- \frac{x}{x^{2} + 1}$ を積分します。

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ステップ 2.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$e^{- \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x}$

ステップ 2.2.2

$u = x^{2} + 1$ とします。次に $d u = 2 x d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = x d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

$u = x^{2} + 1$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.2.2.1.1

$x^{2} + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

ステップ 2.2.2.1.2

総和則では、 $x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.2.2.1.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.2.2.1.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$2 x + 0$

ステップ 2.2.2.1.5

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$2 x$

ステップ 2.2.2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$e^{- \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u}$

ステップ 2.2.3

簡約します。

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ステップ 2.2.3.1

$\frac{1}{u}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$e^{- \int \frac{1}{u \cdot 2} d u}$

ステップ 2.2.3.2

$2$ を $u$ の左に移動させます。

$e^{- \int \frac{1}{2 u} d u}$

ステップ 2.2.4

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$e^{- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)}$

ステップ 2.2.5

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$e^{- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)}$

ステップ 2.2.6

簡約します。

$e^{- \frac{1}{2} \ln (| u |) + C}$

ステップ 2.2.7

$u$ のすべての発生を $x^{2} + 1$ で置き換えます。

$e^{- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C}$

ステップ 2.3

積分定数を削除します。

$e^{- \frac{1}{2} \ln (x^{2} + 1)}$

ステップ 2.4

対数のべき乗則を利用します。

$e^{\ln ({(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}})}$

ステップ 2.5

指数関数と対数関数は逆関数です。

${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$

ステップ 2.6

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 3

各項に積分因数 $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ を掛けます。

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ステップ 3.1

各項に $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ を掛けます。

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{x}{x^{2} + 1} y) = \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x^{4}$

ステップ 3.2

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ と $\frac{d y}{d x}$ をまとめます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{x}{x^{2} + 1} y) = \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x^{4}$

ステップ 3.2.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x}{x^{2} + 1} y) = \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x^{4}$

ステップ 3.2.3

$\frac{x}{x^{2} + 1}$ と $y$ をまとめます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x y}{x^{2} + 1} = \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x^{4}$

ステップ 3.2.4

$- \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x y}{x^{2} + 1}$ を掛けます。

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ステップ 3.2.4.1

$\frac{x y}{x^{2} + 1}$ に $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x y}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x^{4}$

ステップ 3.2.4.2

指数を足して $x^{2} + 1$ に ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 3.2.4.2.1

$x^{2} + 1$ に ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ をかけます。

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ステップ 3.2.4.2.1.1

$x^{2} + 1$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x y}{{(x^{2} + 1)}^{1} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x^{4}$

ステップ 3.2.4.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x y}{{(x^{2} + 1)}^{1 + \frac{1}{2}}} = \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x^{4}$

ステップ 3.2.4.2.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}} = \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x^{4}$

ステップ 3.2.4.2.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2 + 1}{2}}} = \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x^{4}$

ステップ 3.2.4.2.4

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x^{4}$

ステップ 3.3

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ と $x^{4}$ をまとめます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} = \frac{x^{4}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y] = \frac{x^{4}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 5

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y] d x = \int \frac{x^{4}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} d x$

ステップ 6

左辺を積分します。

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y = \int \frac{x^{4}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} d x$

ステップ 7

右辺を積分します。

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ステップ 7.1

法則 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ を当てはめ、累乗法を根で書き換えます。

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y = \int \frac{x^{4}}{\sqrt{{(x^{2} + 1)}^{1}}} d x$

ステップ 7.2

$- \frac{π}{2} \leq t_{1} \leq \frac{π}{2}$ である時に $x = \tan (t_{1})$ とします。次に $d x = \sec^{2} (t_{1}) d t_{1}$ 。 $- \frac{π}{2} \leq t_{1} \leq \frac{π}{2}$ なので、 $\sec^{2} (t_{1})$ は正であることに注意します。

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y = \int \frac{\tan^{4} (t_{1})}{\sqrt{{(\tan^{2} (t_{1}) + 1)}^{1}}} \sec^{2} (t_{1}) d t_{1}$

ステップ 7.3

項を簡約します。

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ステップ 7.3.1

$\sqrt{{(\tan^{2} (t_{1}) + 1)}^{1}}$ を簡約します。

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ステップ 7.3.1.1

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y = \int \frac{\tan^{4} (t_{1})}{\sqrt{{(\sec^{2} (t_{1}))}^{1}}} \sec^{2} (t_{1}) d t_{1}$

ステップ 7.3.1.2

${(\sec^{2} (t_{1}))}^{1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 7.3.1.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y = \int \frac{\tan^{4} (t_{1})}{\sqrt{{\sec (t_{1})}^{2 \cdot 1}}} \sec^{2} (t_{1}) d t_{1}$

ステップ 7.3.1.2.2

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y = \int \frac{\tan^{4} (t_{1})}{\sqrt{\sec^{2} (t_{1})}} \sec^{2} (t_{1}) d t_{1}$

ステップ 7.3.1.3

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y = \int \frac{\tan^{4} (t_{1})}{\sec (t_{1})} \sec^{2} (t_{1}) d t_{1}$

ステップ 7.3.2

$\sec (t_{1})$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.3.2.1

$\sec (t_{1})$ を $\sec^{2} (t_{1})$ で因数分解します。

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y = \int \frac{\tan^{4} (t_{1})}{\sec (t_{1})} (\sec (t_{1}) \sec (t_{1})) d t_{1}$

ステップ 7.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y = \int \frac{\tan^{4} (t_{1})}{\sec (t_{1})} (\sec (t_{1}) \sec (t_{1})) d t_{1}$

ステップ 7.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y = \int \tan^{4} (t_{1}) \sec (t_{1}) d t_{1}$

ステップ 7.4

$\sec (t_{1})$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y = \int \tan^{4} (t_{1}) \sec^{1} (t_{1}) d t_{1}$

ステップ 7.5

くくりだして簡約します。

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ステップ 7.5.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y = \int {\tan (t_{1})}^{2 (2)} \sec^{1} (t_{1}) d t_{1}$

ステップ 7.5.2

${\tan (t_{1})}^{2 (2)}$ を累乗法として書き換えます。

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y = \int {(\tan^{2} (t_{1}))}^{2} \sec^{1} (t_{1}) d t_{1}$

ステップ 7.6

ピタゴラスの恒等式を利用して、 $\tan^{2} (t_{1})$ を $- 1 + \sec^{2} (t_{1})$ に書き換えます。

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y = \int {(- 1 + \sec^{2} (t_{1}))}^{2} \sec^{1} (t_{1}) d t_{1}$

ステップ 7.7

簡約します。

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y = \int (1 - 2 \sec^{2} (t) + \sec^{4} (t)) \sec^{1} (t_{1}) d t_{1}$

ステップ 7.8

項を簡約します。

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ステップ 7.8.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y = \int 1 \sec^{1} (t_{1}) - 2 \sec^{2} (t) \sec^{1} (t_{1}) + \sec^{4} (t) \sec^{1} (t_{1}) d t_{1}$

ステップ 7.8.2

各項を簡約します。

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y = \int \sec (t_{1}) - 2 \sec^{2} (t) \sec (t_{1}) + \sec^{4} (t) \sec (t_{1}) d t_{1}$

ステップ 7.9

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y = \int \sec (t_{1}) d t_{1} + \int - 2 \sec^{2} (t) \sec (t_{1}) d t_{1} + \int \sec^{4} (t) \sec (t_{1}) d t_{1}$

ステップ 7.10

$\sec (t_{1})$ の $t_{1}$ に関する積分は $\ln (| \sec (t_{1}) + \tan (t_{1}) |)$ です。

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y = \ln (| \sec (t_{1}) + \tan (t_{1}) |) + C + \int - 2 \sec^{2} (t) \sec (t_{1}) d t_{1} + \int \sec^{4} (t) \sec (t_{1}) d t_{1}$

ステップ 7.11

$- 2 \sec^{2} (t)$ は $t_{1}$ に対して定数なので、 $- 2 \sec^{2} (t)$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y = \ln (| \sec (t_{1}) + \tan (t_{1}) |) + C - 2 \sec^{2} (t) \int \sec (t_{1}) d t_{1} + \int \sec^{4} (t) \sec (t_{1}) d t_{1}$

ステップ 7.12

$\sec (t_{1})$ の $t_{1}$ に関する積分は $\ln (| \sec (t_{1}) + \tan (t_{1}) |)$ です。

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y = \ln (| \sec (t_{1}) + \tan (t_{1}) |) + C - 2 \sec^{2} (t) (\ln (| \sec (t_{1}) + \tan (t_{1}) |) + C) + \int \sec^{4} (t) \sec (t_{1}) d t_{1}$

ステップ 7.13

$\sec^{4} (t)$ は $t_{1}$ に対して定数なので、 $\sec^{4} (t)$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y = \ln (| \sec (t_{1}) + \tan (t_{1}) |) + C - 2 \sec^{2} (t) (\ln (| \sec (t_{1}) + \tan (t_{1}) |) + C) + \sec^{4} (t) \int \sec (t_{1}) d t_{1}$

ステップ 7.14

$\sec (t_{1})$ の $t_{1}$ に関する積分は $\ln (| \sec (t_{1}) + \tan (t_{1}) |)$ です。

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y = \ln (| \sec (t_{1}) + \tan (t_{1}) |) + C - 2 \sec^{2} (t) (\ln (| \sec (t_{1}) + \tan (t_{1}) |) + C) + \sec^{4} (t) (\ln (| \sec (t_{1}) + \tan (t_{1}) |) + C)$

ステップ 7.15

簡約します。

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y = \ln (| \sec (t_{1}) + \tan (t_{1}) |) - 2 \sec^{2} (t) \ln (| \sec (t_{1}) + \tan (t_{1}) |) + \sec^{4} (t) \ln (| \sec (t_{1}) + \tan (t_{1}) |) + C$

ステップ 7.16

$t_{1}$ のすべての発生を $\arctan (x)$ で置き換えます。

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y = \ln (| \sec (\arctan (x)) + \tan (\arctan (x)) |) - 2 \sec^{2} (t) \ln (| \sec (\arctan (x)) + \tan (\arctan (x)) |) + \sec^{4} (t) \ln (| \sec (\arctan (x)) + \tan (\arctan (x)) |) + C$

ステップ 8

$y$ について解きます。

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ステップ 8.1

左辺を簡約します。

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ステップ 8.1.1

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ と $y$ をまとめます。

$\frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = \ln (| \sec (\arctan (x)) + \tan (\arctan (x)) |) - 2 \sec^{2} (t) \ln (| \sec (\arctan (x)) + \tan (\arctan (x)) |) + \sec^{4} (t) \ln (| \sec (\arctan (x)) + \tan (\arctan (x)) |) + C$

ステップ 8.2

右辺を簡約します。

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ステップ 8.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 8.2.1.1.1

交点 $(1, x)$ 、 $(1, 0)$ と原点をもつ平面に三角形を書きます。そうすると、 $\arctan (x)$ は正のx軸と、原点から始まって $(1, x)$ を通る半直線の間の角です。したがって、 $\sec (\arctan (x))$ は $\sqrt{1 + x^{2}}$ です。

$\frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + \tan (\arctan (x)) |) - 2 \sec^{2} (t) \ln (| \sec (\arctan (x)) + \tan (\arctan (x)) |) + \sec^{4} (t) \ln (| \sec (\arctan (x)) + \tan (\arctan (x)) |) + C$

ステップ 8.2.1.1.2

関数の正切と逆正切は逆です。

$\frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) - 2 \sec^{2} (t) \ln (| \sec (\arctan (x)) + \tan (\arctan (x)) |) + \sec^{4} (t) \ln (| \sec (\arctan (x)) + \tan (\arctan (x)) |) + C$

ステップ 8.2.1.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.2.1

$\frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) - 2 \sec^{2} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + \tan (\arctan (x)) |) + \sec^{4} (t) \ln (| \sec (\arctan (x)) + \tan (\arctan (x)) |) + C$

ステップ 8.2.1.2.2

関数の正切と逆正切は逆です。

$\frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) - 2 \sec^{2} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) + \sec^{4} (t) \ln (| \sec (\arctan (x)) + \tan (\arctan (x)) |) + C$

ステップ 8.2.1.3

$- 2 \sec^{2} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.3.1

$\ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |)$ と $- 2$ を並べ替えます。

$\frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) - 2 \cdot \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) \sec^{2} (t) + \sec^{4} (t) \ln (| \sec (\arctan (x)) + \tan (\arctan (x)) |) + C$

ステップ 8.2.1.3.2

対数の中の $2$ を移動させて $- 2 \cdot \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |)$ を簡約します。

$\frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) - \ln ({| \sqrt{1 + x^{2}} + x |}^{2}) \sec^{2} (t) + \sec^{4} (t) \ln (| \sec (\arctan (x)) + \tan (\arctan (x)) |) + C$

ステップ 8.2.1.4

偶数乗をもつ累乗法は常に正なので、 ${| \sqrt{1 + x^{2}} + x |}^{2}$ の絶対値を削除します。

$\frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) - \ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t) + \sec^{4} (t) \ln (| \sec (\arctan (x)) + \tan (\arctan (x)) |) + C$

ステップ 8.2.1.5

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.5.1

$\frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) - \ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t) + \sec^{4} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + \tan (\arctan (x)) |) + C$

ステップ 8.2.1.5.2

関数の正切と逆正切は逆です。

$\frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) - \ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t) + \sec^{4} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) + C$

ステップ 8.3

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$- \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) + \ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t) - \sec^{4} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) = - \frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + C$

ステップ 8.4

方程式を $- \frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + C = - \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) + \ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t) - \sec^{4} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |)$ として書き換えます。

$- \frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + C = - \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) + \ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t) - \sec^{4} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |)$

ステップ 8.5

方程式の両辺から $C$ を引きます。

$- \frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = - \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) + \ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t) - \sec^{4} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) - C$

ステップ 8.6

$- \frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = - \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) + \ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t) - \sec^{4} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) - C$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.6.1

$\frac{- \frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{- 1} = \frac{- \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |)}{- 1} + \frac{\ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t)}{- 1} + \frac{- \sec^{4} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |)}{- 1} + \frac{- C}{- 1}$

ステップ 8.6.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.6.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{\frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{1} = \frac{- \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |)}{- 1} + \frac{\ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t)}{- 1} + \frac{- \sec^{4} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |)}{- 1} + \frac{- C}{- 1}$

ステップ 8.6.2.2

$\frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ を $1$ で割ります。

$\frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{- \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |)}{- 1} + \frac{\ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t)}{- 1} + \frac{- \sec^{4} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |)}{- 1} + \frac{- C}{- 1}$

ステップ 8.6.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.6.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.6.3.1.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{\ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |)}{1} + \frac{\ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t)}{- 1} + \frac{- \sec^{4} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |)}{- 1} + \frac{- C}{- 1}$

ステップ 8.6.3.1.2

$\ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |)$ を $1$ で割ります。

$\frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) + \frac{\ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t)}{- 1} + \frac{- \sec^{4} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |)}{- 1} + \frac{- C}{- 1}$

ステップ 8.6.3.1.3

$\frac{\ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t)}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$\frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) - 1 \cdot (\ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t)) + \frac{- \sec^{4} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |)}{- 1} + \frac{- C}{- 1}$

ステップ 8.6.3.1.4

$- 1 \cdot (\ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t))$ を $- (\ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t))$ に書き換えます。

$\frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) - (\ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t)) + \frac{- \sec^{4} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |)}{- 1} + \frac{- C}{- 1}$

ステップ 8.6.3.1.5

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) - \ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t) + \frac{\sec^{4} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |)}{1} + \frac{- C}{- 1}$

ステップ 8.6.3.1.6

$\sec^{4} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |)$ を $1$ で割ります。

$\frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) - \ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t) + \sec^{4} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) + \frac{- C}{- 1}$

ステップ 8.6.3.1.7

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) - \ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t) + \sec^{4} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) + \frac{C}{1}$

ステップ 8.6.3.1.8

$C$ を $1$ で割ります。

$\frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) - \ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t) + \sec^{4} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) + C$

ステップ 8.7

両辺に ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

$\frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} = (\ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) - \ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t) + \sec^{4} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) + C) {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 8.8

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.8.1

左辺を簡約します。

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ステップ 8.8.1.1

${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.8.1.1.1

共通因数を約分します。

ステップ 8.8.1.1.2

式を書き換えます。

$y = (\ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) - \ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t) + \sec^{4} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) + C) {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 8.8.2

右辺を簡約します。

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ステップ 8.8.2.1

$(\ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) - \ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t) + \sec^{4} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) + C) {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ を簡約します。

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ステップ 8.8.2.1.1

分配則を当てはめます。

$y = \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t) {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \sec^{4} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + C {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 8.8.2.1.2

式を簡約します。

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ステップ 8.8.2.1.2.1

$\sec^{4} (t)$ と $\ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |)$ を並べ替えます。

$y = \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t) {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) \sec^{4} (t) {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + C {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 8.8.2.1.2.2

$\ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ を移動させます。

$y = - \ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t) {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) \sec^{4} (t) {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + C {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 8.8.2.1.2.3

$- \ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t) {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ と $\ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) \sec^{4} (t) {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ を並べ替えます。

$y = \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) \sec^{4} (t) {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t) {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + C {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$

微分積分 例

微分積分例