微分積分例

$\cos (x + y) d x + (3 y^{2} + 2 y + \cos (x + y)) d y = 0$

ステップ 1

$M (x, y) = \cos (x + y)$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\cos (x + y)]$

ステップ 1.2

$f (y) = \cos (y)$ および $g (y) = x + y$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ は $f' (g (y)) g' (y)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + y$ とします。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d y} [x + y]$

ステップ 1.2.2

$u$ に関する $\cos (u)$ の微分係数は $- \sin (u)$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \sin (u) \frac{d}{d y} [x + y]$

ステップ 1.2.3

$u$ のすべての発生を $x + y$ で置き換えます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \sin (x + y) \frac{d}{d y} [x + y]$

ステップ 1.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

総和則では、 $x + y$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \sin (x + y) (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y])$

ステップ 1.3.2

$x$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $x$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \sin (x + y) (0 + \frac{d}{d y} [y])$

ステップ 1.3.3

$0$ と $\frac{d}{d y} [y]$ をたし算します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \sin (x + y) \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 1.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \sin (x + y) \cdot 1$

ステップ 1.3.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \sin (x + y)$

ステップ 2

$N (x, y) = 3 y^{2} + 2 y + \cos (x + y)$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 y^{2} + 2 y + \cos (x + y)]$

ステップ 2.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

総和則では、 $3 y^{2} + 2 y + \cos (x + y)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [\cos (x + y)]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [\cos (x + y)]$

ステップ 2.2.2

$3 y^{2}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3 y^{2}$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [\cos (x + y)]$

ステップ 2.2.3

$2 y$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2 y$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 0 + \frac{d}{d x} [\cos (x + y)]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [\cos (x + y)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = x + y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + y$ とします。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 0 + \frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x + y]$

ステップ 2.3.1.2

$u$ に関する $\cos (u)$ の微分係数は $- \sin (u)$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 0 - \sin (u) \frac{d}{d x} [x + y]$

ステップ 2.3.1.3

$u$ のすべての発生を $x + y$ で置き換えます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 0 - \sin (x + y) \frac{d}{d x} [x + y]$

ステップ 2.3.2

総和則では、 $x + y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 0 - \sin (x + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 2.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 0 - \sin (x + y) (1 + \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 2.3.4

$y$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $y$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 0 - \sin (x + y) (1 + 0)$

ステップ 2.3.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 0 - \sin (x + y) \cdot 1$

ステップ 2.3.6

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 0 - \sin (x + y)$

ステップ 2.4

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - \sin (x + y)$

ステップ 2.4.2

$0$ から $\sin (x + y)$ を引きます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \sin (x + y)$

ステップ 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$- \sin (x + y)$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $- \sin (x + y)$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$- \sin (x + y) = - \sin (x + y)$

ステップ 3.2

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$- \sin (x + y) = - \sin (x + y)$ は恒等式です。

ステップ 4

$f (x, y)$ は $M (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int \cos (x + y) d x$

ステップ 5

$M (x, y) = \cos (x + y)$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$u = x + y$ とします。次に $d u = d x$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

$u = x + y$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1.1

$x + y$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x + y]$

ステップ 5.1.1.2

総和則では、 $x + y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 5.1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 5.1.1.4

$y$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $y$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 5.1.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 5.1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$f (x, y) = \int \cos (u) d u$

ステップ 5.2

$\cos (u)$ の $u$ に関する積分は $\sin (u)$ です。

$f (x, y) = \sin (u) + C$

ステップ 5.3

$u$ のすべての発生を $x + y$ で置き換えます。

$f (x, y) = \sin (x + y) + C$

ステップ 6

$g (y)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (y)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = \sin (x + y) + g (y)$

ステップ 7

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial y} = 3 y^{2} + 2 y + \cos (x + y)$

ステップ 8

$\frac{\partial f}{\partial y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$y$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [\sin (x + y) + g (y)] = 3 y^{2} + 2 y + \cos (x + y)$

ステップ 8.2

総和則では、 $\sin (x + y) + g (y)$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [\sin (x + y)] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ です。

$\frac{d}{d y} [\sin (x + y)] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 y^{2} + 2 y + \cos (x + y)$

ステップ 8.3

$\frac{d}{d y} [\sin (x + y)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1

$f (y) = \sin (y)$ および $g (y) = x + y$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ は $f' (g (y)) g' (y)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + y$ とします。

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d y} [x + y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 y^{2} + 2 y + \cos (x + y)$

ステップ 8.3.1.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$\cos (u) \frac{d}{d y} [x + y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 y^{2} + 2 y + \cos (x + y)$

ステップ 8.3.1.3

$u$ のすべての発生を $x + y$ で置き換えます。

$\cos (x + y) \frac{d}{d y} [x + y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 y^{2} + 2 y + \cos (x + y)$

ステップ 8.3.2

総和則では、 $x + y$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ です。

$\cos (x + y) (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 y^{2} + 2 y + \cos (x + y)$

ステップ 8.3.3

$x$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $x$ の微分係数は $0$ です。

$\cos (x + y) (0 + \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 y^{2} + 2 y + \cos (x + y)$

ステップ 8.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\cos (x + y) (0 + 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 y^{2} + 2 y + \cos (x + y)$

ステップ 8.3.5

$0$ と $1$ をたし算します。

$\cos (x + y) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 y^{2} + 2 y + \cos (x + y)$

ステップ 8.3.6

$\cos (x + y)$ に $1$ をかけます。

$\cos (x + y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 y^{2} + 2 y + \cos (x + y)$

ステップ 8.4

$g (y)$ の微分係数は $\frac{d g}{d y}$ であるという関数の規則を使って微分します。

$\cos (x + y) + \frac{d g}{d y} = 3 y^{2} + 2 y + \cos (x + y)$

ステップ 8.5

項を並べ替えます。

$\frac{d g}{d y} + \cos (x + y) = 3 y^{2} + 2 y + \cos (x + y)$

ステップ 9

$\frac{d g}{d y}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

$\frac{d g}{d y}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

方程式の両辺から $\cos (x + y)$ を引きます。

$\frac{d g}{d y} = 3 y^{2} + 2 y + \cos (x + y) - \cos (x + y)$

ステップ 9.1.2

$3 y^{2} + 2 y + \cos (x + y) - \cos (x + y)$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.2.1

$\cos (x + y)$ から $\cos (x + y)$ を引きます。

$\frac{d g}{d y} = 3 y^{2} + 2 y + 0$

ステップ 9.1.2.2

$3 y^{2} + 2 y$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d g}{d y} = 3 y^{2} + 2 y$

ステップ 10

$3 y^{2} + 2 y$ の不定積分を求めて $g (y)$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

$\frac{d g}{d y} = 3 y^{2} + 2 y$ の両辺を積分します。

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 3 y^{2} + 2 y d y$

ステップ 10.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ の値を求めます。

$g (y) = \int 3 y^{2} + 2 y d y$

ステップ 10.3

単一積分を複数積分に分割します。

$g (y) = \int 3 y^{2} d y + \int 2 y d y$

ステップ 10.4

$3$ は $y$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$g (y) = 3 \int y^{2} d y + \int 2 y d y$

ステップ 10.5

べき乗則では、 $y^{2}$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{3} y^{3}$ です。

$g (y) = 3 (\frac{1}{3} y^{3} + C) + \int 2 y d y$

ステップ 10.6

$2$ は $y$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$g (y) = 3 (\frac{1}{3} y^{3} + C) + 2 \int y d y$

ステップ 10.7

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$g (y) = 3 (\frac{1}{3} y^{3} + C) + 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

ステップ 10.8

簡約します。

$g (y) = 3 (\frac{1}{3}) y^{3} + 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

ステップ 10.9

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.9.1

$3$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$g (y) = \frac{3}{3} y^{3} + 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

ステップ 10.9.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.9.2.1

共通因数を約分します。

$g (y) = \frac{3}{3} y^{3} + 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

ステップ 10.9.2.2

式を書き換えます。

$g (y) = 1 y^{3} + 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

ステップ 10.9.3

$y^{3}$ に $1$ をかけます。

$g (y) = y^{3} + 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

ステップ 10.9.4

$2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$g (y) = y^{3} + \frac{2}{2} y^{2} + C$

ステップ 10.9.5

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.9.5.1

共通因数を約分します。

$g (y) = y^{3} + \frac{2}{2} y^{2} + C$

ステップ 10.9.5.2

式を書き換えます。

$g (y) = y^{3} + 1 y^{2} + C$

ステップ 10.9.6

$y^{2}$ に $1$ をかけます。

$g (y) = y^{3} + y^{2} + C$

ステップ 11

$f (x, y) = \sin (x + y) + g (y)$ の $g (y)$ に代入します。

$f (x, y) = \sin (x + y) + y^{3} + y^{2} + C$

微分積分 例

微分積分例