微分積分例

$\frac{d y}{d t} = y \sin^{3} (t)$ , $y (0) = 1$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

両辺に $\frac{1}{y}$ を掛けます。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y} (y \sin^{3} (t))$

ステップ 1.2

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.1

$y$ を $y \sin^{3} (t)$ で因数分解します。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y} (y (\sin^{3} (t)))$

ステップ 1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y} (y \sin^{3} (t))$

ステップ 1.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = \sin^{3} (t)$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{y} d y = \sin^{3} (t) d t$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{y} d y = \int \sin^{3} (t) d t$

ステップ 2.2

$\frac{1}{y}$ の $y$ に関する積分は $\ln (| y |)$ です。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \sin^{3} (t) d t$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$\sin^{2} (t)$ を因数分解します。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \sin^{2} (t) \sin (t) d t$

ステップ 2.3.2

ピタゴラスの恒等式を利用して、 $\sin^{2} (t)$ を $1 - \cos^{2} (t)$ に書き換えます。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int (1 - \cos^{2} (t)) \sin (t) d t$

ステップ 2.3.3

$u = \cos (t)$ とします。次に $d u = - \sin (t) d t$ すると、 $- \frac{1}{\sin (t)} d u = d t$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.3.3.1

$u = \cos (t)$ とします。 $\frac{d u}{d t}$ を求めます。

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ステップ 2.3.3.1.1

$\cos (t)$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [\cos (t)]$

ステップ 2.3.3.1.2

$t$ に関する $\cos (t)$ の微分係数は $- \sin (t)$ です。

$- \sin (t)$

ステップ 2.3.3.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - 1 + u^{2} d u$

ステップ 2.3.4

単一積分を複数積分に分割します。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - 1 d u + \int u^{2} d u$

ステップ 2.3.5

定数の法則を当てはめます。

$\ln (| y |) + C_{1} = - u + C_{2} + \int u^{2} d u$

ステップ 2.3.6

べき乗則では、 $u^{2}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{3} u^{3}$ です。

$\ln (| y |) + C_{1} = - u + C_{2} + \frac{1}{3} u^{3} + C_{3}$

ステップ 2.3.7

簡約します。

$\ln (| y |) + C_{1} = - u + \frac{1}{3} u^{3} + C_{4}$

ステップ 2.3.8

$u$ のすべての発生を $\cos (t)$ で置き換えます。

$\ln (| y |) + C_{1} = - \cos (t) + \frac{1}{3} \cos^{3} (t) + C_{4}$

ステップ 2.3.9

項を並べ替えます。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} \cos^{3} (t) - \cos (t) + C_{4}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\ln (| y |) = \frac{1}{3} \cos^{3} (t) - \cos (t) + C$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

$y$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (| y |)} = e^{\frac{1}{3} \cos^{3} (t) - \cos (t) + C}$

ステップ 3.2

対数の定義を利用して $\ln (| y |) = \frac{1}{3} \cos^{3} (t) - \cos (t) + C$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{\frac{1}{3} \cos^{3} (t) - \cos (t) + C} = | y |$

ステップ 3.3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.3.1

方程式を $| y | = e^{\frac{1}{3} \cdot \cos^{3} (t) - \cos (t) + C}$ として書き換えます。

$| y | = e^{\frac{1}{3} \cdot \cos^{3} (t) - \cos (t) + C}$

ステップ 3.3.2

$\frac{1}{3}$ と $\cos^{3} (t)$ をまとめます。

$| y | = e^{\frac{\cos^{3} (t)}{3} - \cos (t) + C}$

ステップ 3.3.3

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$y = \pm e^{\frac{\cos^{3} (t)}{3} - \cos (t) + C}$

ステップ 4

定数項をまとめます。

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ステップ 4.1

$e^{\frac{\cos^{3} (t)}{3} - \cos (t) + C}$ を $e^{\frac{\cos^{3} (t)}{3} - \cos (t)} e^{C}$ に書き換えます。

$y = \pm e^{\frac{\cos^{3} (t)}{3} - \cos (t)} e^{C}$

ステップ 4.2

$e^{\frac{\cos^{3} (t)}{3} - \cos (t)}$ と $e^{C}$ を並べ替えます。

$y = \pm e^{C} e^{\frac{\cos^{3} (t)}{3} - \cos (t)}$

ステップ 4.3

定数を正または負でまとめます。

$y = C e^{\frac{\cos^{3} (t)}{3} - \cos (t)}$

ステップ 5

初期条件を利用し、 $y = C e^{\frac{\cos^{3} (t)}{3} - \cos (t)}$ の $0$ を $t$ に、 $1$ を $y$ に代入し $C$ の値を求めます。

$1 = C e^{\frac{\cos^{3} (0)}{3} - \cos (0)}$

ステップ 6

$C$ について解きます。

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ステップ 6.1

方程式を $C e^{\frac{\cos^{3} (0)}{3} - \cos (0)} = 1$ として書き換えます。

$C e^{\frac{\cos^{3} (0)}{3} - \cos (0)} = 1$

ステップ 6.2

簡約します。

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ステップ 6.2.1

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$C e^{\frac{\cos^{3} (0)}{3} - 1 \cdot 1} = 1$

ステップ 6.2.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$C e^{\frac{\cos^{3} (0)}{3} - 1} = 1$

ステップ 6.2.3

分子を簡約します。

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ステップ 6.2.3.1

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$C e^{\frac{1^{3}}{3} - 1} = 1$

ステップ 6.2.3.2

1のすべての数の累乗は1です。

$C e^{\frac{1}{3} - 1} = 1$

ステップ 6.2.4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$C e^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} = 1$

ステップ 6.2.5

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$C e^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} = 1$

ステップ 6.2.6

公分母の分子をまとめます。

$C e^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} = 1$

ステップ 6.2.7

分子を簡約します。

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ステップ 6.2.7.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$C e^{\frac{1 - 3}{3}} = 1$

ステップ 6.2.7.2

$1$ から $3$ を引きます。

$C e^{\frac{- 2}{3}} = 1$

ステップ 6.3

$C e^{\frac{- 2}{3}} = 1$ の各項を $e^{- \frac{2}{3}}$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.3.1

$C e^{\frac{- 2}{3}} = 1$ の各項を $e^{- \frac{2}{3}}$ で割ります。

$\frac{C e^{\frac{- 2}{3}}}{e^{- \frac{2}{3}}} = \frac{1}{e^{- \frac{2}{3}}}$

ステップ 6.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.3.2.1

$e^{- \frac{2}{3}}$ を $C e^{\frac{- 2}{3}}$ で因数分解します。

$\frac{e^{- \frac{2}{3}} (C e^{\frac{0}{3}})}{e^{- \frac{2}{3}}} = \frac{1}{e^{- \frac{2}{3}}}$

ステップ 6.3.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.2.2.1

$1$ を掛けます。

$\frac{e^{- \frac{2}{3}} (C e^{\frac{0}{3}})}{e^{- \frac{2}{3}} \cdot 1} = \frac{1}{e^{- \frac{2}{3}}}$

ステップ 6.3.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{e^{- \frac{2}{3}} (C e^{\frac{0}{3}})}{e^{- \frac{2}{3}} \cdot 1} = \frac{1}{e^{- \frac{2}{3}}}$

ステップ 6.3.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{C e^{\frac{0}{3}}}{1} = \frac{1}{e^{- \frac{2}{3}}}$

ステップ 6.3.2.2.4

$C e^{\frac{0}{3}}$ を $1$ で割ります。

$C e^{\frac{0}{3}} = \frac{1}{e^{- \frac{2}{3}}}$

ステップ 6.3.2.3

$0$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.2.3.1

$3$ を $0$ で因数分解します。

$C e^{\frac{3 (0)}{3}} = \frac{1}{e^{- \frac{2}{3}}}$

ステップ 6.3.2.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.2.3.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$C e^{\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}} = \frac{1}{e^{- \frac{2}{3}}}$

ステップ 6.3.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$C e^{\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}} = \frac{1}{e^{- \frac{2}{3}}}$

ステップ 6.3.2.3.2.3

式を書き換えます。

$C e^{\frac{0}{1}} = \frac{1}{e^{- \frac{2}{3}}}$

ステップ 6.3.2.3.2.4

$0$ を $1$ で割ります。

$C e^{0} = \frac{1}{e^{- \frac{2}{3}}}$

ステップ 6.3.2.4

式を簡約します。

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ステップ 6.3.2.4.1

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$C \cdot 1 = \frac{1}{e^{- \frac{2}{3}}}$

ステップ 6.3.2.4.2

$C$ に $1$ をかけます。

$C = \frac{1}{e^{- \frac{2}{3}}}$

ステップ 6.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 6.3.3.1

負の指数法則 $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ を利用して $e^{- \frac{2}{3}}$ を分子に移動させます。

$C = e^{\frac{2}{3}}$

ステップ 7

$e^{\frac{2}{3}}$ を $y = C e^{\frac{\cos^{3} (t)}{3} - \cos (t)}$ の中の $C$ に代入し簡約します。

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ステップ 7.1

$e^{\frac{2}{3}}$ を $C$ に代入します。

$y = e^{\frac{2}{3}} e^{\frac{\cos^{3} (t)}{3} - \cos (t)}$

ステップ 7.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y = e^{\frac{2}{3} + \frac{\cos^{3} (t)}{3} - \cos (t)}$

微分積分 例

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