微分積分例

$x (y d) y + (y^{2} - 1) d x = 0$

ステップ 1

方程式の両辺から $(y^{2} - 1) d x$ を引きます。

$x y d y = - (y^{2} - 1) d x$

ステップ 2

両辺に $\frac{1}{x (y^{2} - 1)}$ を掛けます。

$\frac{1}{x (y^{2} - 1)} (x y) d y = \frac{1}{x (y^{2} - 1)} (- (y^{2} - 1)) d x$

ステップ 3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

$x$ を $x y$ で因数分解します。

$\frac{1}{x (y^{2} - 1)} (x (y)) d y = \frac{1}{x (y^{2} - 1)} (- (y^{2} - 1)) d x$

ステップ 3.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{x (y^{2} - 1)} (x y) d y = \frac{1}{x (y^{2} - 1)} (- (y^{2} - 1)) d x$

ステップ 3.1.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{y^{2} - 1} y d y = \frac{1}{x (y^{2} - 1)} (- (y^{2} - 1)) d x$

ステップ 3.2

$\frac{1}{y^{2} - 1}$ と $y$ をまとめます。

$\frac{y}{y^{2} - 1} d y = \frac{1}{x (y^{2} - 1)} (- (y^{2} - 1)) d x$

ステップ 3.3

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{y}{y^{2} - 1^{2}} d y = \frac{1}{x (y^{2} - 1)} (- (y^{2} - 1)) d x$

ステップ 3.3.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = y$ であり、 $b = 1$ です。

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{1}{x (y^{2} - 1)} (- (y^{2} - 1)) d x$

ステップ 3.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = - \frac{1}{x (y^{2} - 1)} (y^{2} - 1) d x$

ステップ 3.5

$y^{2} - 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

$- \frac{1}{x (y^{2} - 1)}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{- 1}{x (y^{2} - 1)} (y^{2} - 1) d x$

ステップ 3.5.2

$y^{2} - 1$ を $x (y^{2} - 1)$ で因数分解します。

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{- 1}{(y^{2} - 1) x} (y^{2} - 1) d x$

ステップ 3.5.3

共通因数を約分します。

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{- 1}{(y^{2} - 1) x} (y^{2} - 1) d x$

ステップ 3.5.4

式を書き換えます。

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{- 1}{x} d x$

ステップ 3.6

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = - \frac{1}{x} d x$

ステップ 4

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2

左辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$u = (y + 1) (y - 1)$ とします。次に $d u = 2 y d y$ すると、 $\frac{1}{2} d u = y d y$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

$u = (y + 1) (y - 1)$ とします。 $\frac{d u}{d y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1.1

$(y + 1) (y - 1)$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [(y + 1) (y - 1)]$

ステップ 4.2.1.1.2

$f (y) = y + 1$ および $g (y) = y - 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ は $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(y + 1) \frac{d}{d y} [y - 1] + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

ステップ 4.2.1.1.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1.3.1

総和則では、 $y - 1$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ です。

$(y + 1) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]) + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

ステップ 4.2.1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(y + 1) (1 + \frac{d}{d y} [- 1]) + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

ステップ 4.2.1.1.3.3

$- 1$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$(y + 1) (1 + 0) + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

ステップ 4.2.1.1.3.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1.3.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$(y + 1) \cdot 1 + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

ステップ 4.2.1.1.3.4.2

$y + 1$ に $1$ をかけます。

$y + 1 + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

ステップ 4.2.1.1.3.5

総和則では、 $y + 1$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ です。

$y + 1 + (y - 1) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1])$

ステップ 4.2.1.1.3.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$y + 1 + (y - 1) (1 + \frac{d}{d y} [1])$

ステップ 4.2.1.1.3.7

$1$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$y + 1 + (y - 1) (1 + 0)$

ステップ 4.2.1.1.3.8

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1.3.8.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$y + 1 + (y - 1) \cdot 1$

ステップ 4.2.1.1.3.8.2

$y - 1$ に $1$ をかけます。

$y + 1 + y - 1$

ステップ 4.2.1.1.3.8.3

$y$ と $y$ をたし算します。

$2 y + 1 - 1$

ステップ 4.2.1.1.3.8.4

数を引いて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1.3.8.4.1

$1$ から $1$ を引きます。

$2 y + 0$

ステップ 4.2.1.1.3.8.4.2

$2 y$ と $0$ をたし算します。

$2 y$

ステップ 4.2.1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

$\frac{1}{u}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2.2.2

$2$ を $u$ の左に移動させます。

$\int \frac{1}{2 u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2.3

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2.4

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2.5

簡約します。

$\frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2.6

$u$ のすべての発生を $(y + 1) (y - 1)$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.3

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.3.2

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

ステップ 4.3.3

簡約します。

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

ステップ 4.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) = - \ln (| x |) + C$

ステップ 5

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

方程式の両辺に $2$ を掛けます。

$2 (\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |)) = 2 (- \ln (| x |) + C)$

ステップ 5.2

方程式の両辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$2 (\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |))$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1.1

分配法則（FOIL法）を使って $(y + 1) (y - 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1.1.1

分配則を当てはめます。

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y (y - 1) + 1 (y - 1) |)) = 2 (- \ln (| x |) + C)$

ステップ 5.2.1.1.1.2

分配則を当てはめます。

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y \cdot y + y \cdot - 1 + 1 (y - 1) |)) = 2 (- \ln (| x |) + C)$

ステップ 5.2.1.1.1.3

分配則を当てはめます。

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y \cdot y + y \cdot - 1 + 1 y + 1 \cdot - 1 |)) = 2 (- \ln (| x |) + C)$

ステップ 5.2.1.1.2

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1.2.1.1

$y$ に $y$ をかけます。

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + y \cdot - 1 + 1 y + 1 \cdot - 1 |)) = 2 (- \ln (| x |) + C)$

ステップ 5.2.1.1.2.1.2

$- 1$ を $y$ の左に移動させます。

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} - 1 \cdot y + 1 y + 1 \cdot - 1 |)) = 2 (- \ln (| x |) + C)$

ステップ 5.2.1.1.2.1.3

$- 1 y$ を $- y$ に書き換えます。

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} - y + 1 y + 1 \cdot - 1 |)) = 2 (- \ln (| x |) + C)$

ステップ 5.2.1.1.2.1.4

$y$ に $1$ をかけます。

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} - y + y + 1 \cdot - 1 |)) = 2 (- \ln (| x |) + C)$

ステップ 5.2.1.1.2.1.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} - y + y - 1 |)) = 2 (- \ln (| x |) + C)$

ステップ 5.2.1.1.2.2

$- y$ と $y$ をたし算します。

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 0 - 1 |)) = 2 (- \ln (| x |) + C)$

ステップ 5.2.1.1.2.3

$y^{2}$ と $0$ をたし算します。

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} - 1 |)) = 2 (- \ln (| x |) + C)$

ステップ 5.2.1.1.3

$\frac{1}{2}$ と $\ln (| y^{2} - 1 |)$ をまとめます。

$2 \frac{\ln (| y^{2} - 1 |)}{2} = 2 (- \ln (| x |) + C)$

ステップ 5.2.1.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1.4.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{\ln (| y^{2} - 1 |)}{2} = 2 (- \ln (| x |) + C)$

ステップ 5.2.1.1.4.2

式を書き換えます。

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (- \ln (| x |) + C)$

ステップ 5.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

$2 (- \ln (| x |) + C)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.1

分配則を当てはめます。

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (- \ln (| x |)) + 2 C$

ステップ 5.2.2.1.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\ln (| y^{2} - 1 |) = - 2 \ln (| x |) + 2 C$

ステップ 5.3

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$\ln (| y^{2} - 1 |) + 2 \ln (| x |) = 2 C$

ステップ 5.4

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

$\ln (| y^{2} - 1 |) + 2 \ln (| x |)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1.1.1

対数の中の $2$ を移動させて $2 \ln (| x |)$ を簡約します。

$\ln (| y^{2} - 1 |) + \ln ({| x |}^{2}) = 2 C$

ステップ 5.4.1.1.2

偶数乗をもつ累乗法は常に正なので、 ${| x |}^{2}$ の絶対値を削除します。

$\ln (| y^{2} - 1 |) + \ln (x^{2}) = 2 C$

ステップ 5.4.1.2

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$\ln (| y^{2} - 1 | x^{2}) = 2 C$

ステップ 5.4.1.3

$\ln (| y^{2} - 1 | x^{2})$ の因数を並べ替えます。

$\ln (x^{2} | y^{2} - 1 |) = 2 C$

ステップ 5.5

$y$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (x^{2} | y^{2} - 1 |)} = e^{2 C}$

ステップ 5.6

対数の定義を利用して $\ln (x^{2} | y^{2} - 1 |) = 2 C$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{2 C} = x^{2} | y^{2} - 1 |$

ステップ 5.7

$y$ について解きます。

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ステップ 5.7.1

方程式を $x^{2} | y^{2} - 1 | = e^{2 C}$ として書き換えます。

$x^{2} | y^{2} - 1 | = e^{2 C}$

ステップ 5.7.2

$x^{2} | y^{2} - 1 | = e^{2 C}$ の各項を $x^{2}$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.7.2.1

$x^{2} | y^{2} - 1 | = e^{2 C}$ の各項を $x^{2}$ で割ります。

$\frac{x^{2} | y^{2} - 1 |}{x^{2}} = \frac{e^{2 C}}{x^{2}}$

ステップ 5.7.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.7.2.2.1

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.7.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x^{2} | y^{2} - 1 |}{x^{2}} = \frac{e^{2 C}}{x^{2}}$

ステップ 5.7.2.2.1.2

$| y^{2} - 1 |$ を $1$ で割ります。

$| y^{2} - 1 | = \frac{e^{2 C}}{x^{2}}$

ステップ 5.7.3

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$y^{2} - 1 = \pm \frac{e^{2 C}}{x^{2}}$

ステップ 5.7.4

方程式の両辺に $1$ を足します。

$y^{2} = \pm \frac{e^{2 C}}{x^{2}} + 1$

ステップ 5.7.5

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \pm \sqrt{\pm \frac{e^{2 C}}{x^{2}} + 1}$

ステップ 6

定数項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

積分定数を簡約します。

$y = \pm \sqrt{\pm \frac{C}{x^{2}} + 1}$

ステップ 6.2

定数を正または負でまとめます。

$y = \pm \sqrt{C \frac{1}{x^{2}} + 1}$

微分積分 例

微分積分例