微分積分例

$\frac{d u}{d v} = \frac{3 v \sqrt{1 + u^{2}}}{u}$

ステップ 1

変数を分けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

因数をもう一度まとめます。

$\frac{d u}{d v} = 3 v \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{u}$

ステップ 1.2

両辺に $\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ を掛けます。

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} (3 v \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{u})$

ステップ 1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = 3 \frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} (v \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{u})$

ステップ 1.3.2

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ に $\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ をかけます。

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = 3 (\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{\sqrt{1 + u^{2}}}) (v \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{u})$

ステップ 1.3.3

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.1

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ に $\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ をかけます。

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = 3 \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{\sqrt{1 + u^{2}} \sqrt{1 + u^{2}}} (v \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{u})$

ステップ 1.3.3.2

$\sqrt{1 + u^{2}}$ を $1$ 乗します。

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = 3 \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{\sqrt{1 + u^{2}}}^{1} \sqrt{1 + u^{2}}} (v \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{u})$

ステップ 1.3.3.3

$\sqrt{1 + u^{2}}$ を $1$ 乗します。

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = 3 \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{\sqrt{1 + u^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + u^{2}}}^{1}} (v \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{u})$

ステップ 1.3.3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = 3 \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{\sqrt{1 + u^{2}}}^{1 + 1}} (v \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{u})$

ステップ 1.3.3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = 3 \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{\sqrt{1 + u^{2}}}^{2}} (v \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{u})$

ステップ 1.3.3.6

${\sqrt{1 + u^{2}}}^{2}$ を $1 + u^{2}$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{1 + u^{2}}$ を ${(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = 3 \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{({(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (v \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{u})$

ステップ 1.3.3.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = 3 \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} (v \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{u})$

ステップ 1.3.3.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = 3 \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{(1 + u^{2})}^{\frac{2}{2}}} (v \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{u})$

ステップ 1.3.3.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.6.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = 3 \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{(1 + u^{2})}^{\frac{2}{2}}} (v \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{u})$

ステップ 1.3.3.6.4.2

式を書き換えます。

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = 3 \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{(1 + u^{2})}^{1}} (v \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{u})$

ステップ 1.3.3.6.5

簡約します。

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = 3 \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}} (v \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{u})$

ステップ 1.3.4

$3$ と $\frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}}$ をまとめます。

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{3 (u \sqrt{1 + u^{2}})}{1 + u^{2}} (v \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{u})$

ステップ 1.3.5

$v$ と $\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{u}$ をまとめます。

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{3 u \sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}} \cdot \frac{v \sqrt{1 + u^{2}}}{u}$

ステップ 1.3.6

$u$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.6.1

$u$ を $3 u \sqrt{1 + u^{2}}$ で因数分解します。

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{u (3 \sqrt{1 + u^{2}})}{1 + u^{2}} \cdot \frac{v \sqrt{1 + u^{2}}}{u}$

ステップ 1.3.6.2

共通因数を約分します。

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{u (3 \sqrt{1 + u^{2}})}{1 + u^{2}} \cdot \frac{v \sqrt{1 + u^{2}}}{u}$

ステップ 1.3.6.3

式を書き換えます。

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{3 \sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}} (v \sqrt{1 + u^{2}})$

ステップ 1.3.7

$v$ と $\frac{3 \sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}}$ をまとめます。

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{v (3 \sqrt{1 + u^{2}})}{1 + u^{2}} \sqrt{1 + u^{2}}$

ステップ 1.3.8

$\frac{v (3 \sqrt{1 + u^{2}})}{1 + u^{2}}$ と $\sqrt{1 + u^{2}}$ をまとめます。

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{v (3 \sqrt{1 + u^{2}}) \sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}}$

ステップ 1.3.9

$\sqrt{1 + u^{2}}$ を $1$ 乗します。

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{v (3 ({\sqrt{1 + u^{2}}}^{1} \sqrt{1 + u^{2}}))}{1 + u^{2}}$

ステップ 1.3.10

$\sqrt{1 + u^{2}}$ を $1$ 乗します。

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{v (3 ({\sqrt{1 + u^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + u^{2}}}^{1}))}{1 + u^{2}}$

ステップ 1.3.11

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{v (3 {\sqrt{1 + u^{2}}}^{1 + 1})}{1 + u^{2}}$

ステップ 1.3.12

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{v (3 {\sqrt{1 + u^{2}}}^{2})}{1 + u^{2}}$

ステップ 1.3.13

${\sqrt{1 + u^{2}}}^{2}$ を $1 + u^{2}$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.13.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{1 + u^{2}}$ を ${(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{v \cdot 3 {({(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{1 + u^{2}}$

ステップ 1.3.13.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{v \cdot 3 {(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{1 + u^{2}}$

ステップ 1.3.13.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{v \cdot 3 {(1 + u^{2})}^{\frac{2}{2}}}{1 + u^{2}}$

ステップ 1.3.13.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.13.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{v \cdot 3 {(1 + u^{2})}^{\frac{2}{2}}}{1 + u^{2}}$

ステップ 1.3.13.4.2

式を書き換えます。

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{v \cdot 3 {(1 + u^{2})}^{1}}{1 + u^{2}}$

ステップ 1.3.13.5

簡約します。

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{v \cdot 3 (1 + u^{2})}{1 + u^{2}}$

ステップ 1.3.14

$1 + u^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.14.1

共通因数を約分します。

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{v \cdot 3 (1 + u^{2})}{1 + u^{2}}$

ステップ 1.3.14.2

$v \cdot 3$ を $1$ で割ります。

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = v \cdot 3$

ステップ 1.3.15

$3$ を $v$ の左に移動させます。

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = 3 v$

ステップ 1.4

方程式を書き換えます。

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} d u = 3 v d v$

ステップ 2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} d u = \int 3 v d v$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$u_{1} = 1 + u^{2}$ とします。次に $d u_{1} = 2 u d u$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{1} = u d u$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

$u_{1} = 1 + u^{2}$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d u}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1.1

$1 + u^{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d u} [1 + u^{2}]$

ステップ 2.2.1.1.2

総和則では、 $1 + u^{2}$ の $u$ に関する積分は $\frac{d}{d u} [1] + \frac{d}{d u} [u^{2}]$ です。

$\frac{d}{d u} [1] + \frac{d}{d u} [u^{2}]$

ステップ 2.2.1.1.3

$1$ は $u$ について定数なので、 $u$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d u} [u^{2}]$

ステップ 2.2.1.1.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 2 u$

ステップ 2.2.1.1.5

$0$ と $2 u$ をたし算します。

$2 u$

ステップ 2.2.1.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{1}{\sqrt{u_{1}}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int 3 v d v$

ステップ 2.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

$\frac{1}{\sqrt{u_{1}}}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\int \frac{1}{\sqrt{u_{1}} \cdot 2} d u_{1} = \int 3 v d v$

ステップ 2.2.2.2

$2$ を $\sqrt{u_{1}}$ の左に移動させます。

$\int \frac{1}{2 \sqrt{u_{1}}} d u_{1} = \int 3 v d v$

ステップ 2.2.3

$\frac{1}{2}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u_{1}}} d u_{1} = \int 3 v d v$

ステップ 2.2.4

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u_{1}}$ を ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1} = \int 3 v d v$

ステップ 2.2.4.2

${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{1} = \int 3 v d v$

ステップ 2.2.4.3

${({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{1} = \int 3 v d v$

ステップ 2.2.4.3.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{1} = \int 3 v d v$

ステップ 2.2.4.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{- \frac{1}{2}} d u_{1} = \int 3 v d v$

ステップ 2.2.5

べき乗則では、 ${u_{1}}^{- \frac{1}{2}}$ の $u_{1}$ に関する積分は $2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ です。

$\frac{1}{2} (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1}) = \int 3 v d v$

ステップ 2.2.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.6.1

$\frac{1}{2} (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1})$ を $\frac{1}{2} \cdot 2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1}$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} \cdot 2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 3 v d v$

ステップ 2.2.6.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.6.2.1

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{2}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 3 v d v$

ステップ 2.2.6.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.6.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{2}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 3 v d v$

ステップ 2.2.6.2.2.2

式を書き換えます。

$1 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 3 v d v$

ステップ 2.2.6.2.3

${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ に $1$ をかけます。

${u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 3 v d v$

ステップ 2.2.7

$u_{1}$ のすべての発生を $1 + u^{2}$ で置き換えます。

${(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 3 v d v$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$3$ は $v$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

${(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 3 \int v d v$

ステップ 2.3.2

べき乗則では、 $v$ の $v$ に関する積分は $\frac{1}{2} v^{2}$ です。

${(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 3 (\frac{1}{2} v^{2} + C_{2})$

ステップ 2.3.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1

$3 (\frac{1}{2} v^{2} + C_{2})$ を $3 (\frac{1}{2}) v^{2} + C_{2}$ に書き換えます。

${(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 3 (\frac{1}{2}) v^{2} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2

$3$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

${(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{3}{2} v^{2} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

${(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}} = \frac{3}{2} v^{2} + K$

ステップ 3

$u$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式の両辺を $2$ 乗し、左辺の分数指数を消去します。

${({(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{3}{2} v^{2} + K)}^{2}$

ステップ 3.2

指数を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

${({(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1.1

${({(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{3}{2} v^{2} + K)}^{2}$

ステップ 3.2.1.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{3}{2} v^{2} + K)}^{2}$

ステップ 3.2.1.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(1 + u^{2})}^{1} = {(\frac{3}{2} v^{2} + K)}^{2}$

ステップ 3.2.1.1.2

簡約します。

$1 + u^{2} = {(\frac{3}{2} v^{2} + K)}^{2}$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

${(\frac{3}{2} v^{2} + K)}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1.1

$\frac{3}{2}$ と $v^{2}$ をまとめます。

$1 + u^{2} = {(\frac{3 v^{2}}{2} + K)}^{2}$

ステップ 3.2.2.1.1.2

${(\frac{3 v^{2}}{2} + K)}^{2}$ を $(\frac{3 v^{2}}{2} + K) (\frac{3 v^{2}}{2} + K)$ に書き換えます。

$1 + u^{2} = (\frac{3 v^{2}}{2} + K) (\frac{3 v^{2}}{2} + K)$

ステップ 3.2.2.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(\frac{3 v^{2}}{2} + K) (\frac{3 v^{2}}{2} + K)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.2.1

分配則を当てはめます。

$1 + u^{2} = \frac{3 v^{2}}{2} (\frac{3 v^{2}}{2} + K) + K (\frac{3 v^{2}}{2} + K)$

ステップ 3.2.2.1.2.2

分配則を当てはめます。

$1 + u^{2} = \frac{3 v^{2}}{2} \cdot \frac{3 v^{2}}{2} + \frac{3 v^{2}}{2} K + K (\frac{3 v^{2}}{2} + K)$

ステップ 3.2.2.1.2.3

分配則を当てはめます。

$1 + u^{2} = \frac{3 v^{2}}{2} \cdot \frac{3 v^{2}}{2} + \frac{3 v^{2}}{2} K + K \frac{3 v^{2}}{2} + K \cdot K$

ステップ 3.2.2.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.3.1.1

まとめる。

$1 + u^{2} = \frac{3 v^{2} (3 v^{2})}{2 \cdot 2} + \frac{3 v^{2}}{2} K + K \frac{3 v^{2}}{2} + K \cdot K$

ステップ 3.2.2.1.3.1.2

指数を足して $v^{2}$ に $v^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.3.1.2.1

$v^{2}$ を移動させます。

$1 + u^{2} = \frac{3 (v^{2} v^{2}) \cdot 3}{2 \cdot 2} + \frac{3 v^{2}}{2} K + K \frac{3 v^{2}}{2} + K \cdot K$

ステップ 3.2.2.1.3.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$1 + u^{2} = \frac{3 v^{2 + 2} \cdot 3}{2 \cdot 2} + \frac{3 v^{2}}{2} K + K \frac{3 v^{2}}{2} + K \cdot K$

ステップ 3.2.2.1.3.1.2.3

$2$ と $2$ をたし算します。

$1 + u^{2} = \frac{3 v^{4} \cdot 3}{2 \cdot 2} + \frac{3 v^{2}}{2} K + K \frac{3 v^{2}}{2} + K \cdot K$

ステップ 3.2.2.1.3.1.3

$3$ に $3$ をかけます。

$1 + u^{2} = \frac{9 v^{4}}{2 \cdot 2} + \frac{3 v^{2}}{2} K + K \frac{3 v^{2}}{2} + K \cdot K$

ステップ 3.2.2.1.3.1.4

$2$ に $2$ をかけます。

$1 + u^{2} = \frac{9 v^{4}}{4} + \frac{3 v^{2}}{2} K + K \frac{3 v^{2}}{2} + K \cdot K$

ステップ 3.2.2.1.3.1.5

$\frac{3 v^{2}}{2}$ と $K$ をまとめます。

$1 + u^{2} = \frac{9 v^{4}}{4} + \frac{3 v^{2} K}{2} + K \frac{3 v^{2}}{2} + K \cdot K$

ステップ 3.2.2.1.3.1.6

$K$ と $\frac{3 v^{2}}{2}$ をまとめます。

$1 + u^{2} = \frac{9 v^{4}}{4} + \frac{3 v^{2} K}{2} + \frac{K (3 v^{2})}{2} + K (K)$

ステップ 3.2.2.1.3.1.7

$3$ を $K$ の左に移動させます。

$1 + u^{2} = \frac{9 v^{4}}{4} + \frac{3 v^{2} K}{2} + \frac{3 \cdot K v^{2}}{2} + K \cdot K$

ステップ 3.2.2.1.3.1.8

$K$ に $K$ をかけます。

$1 + u^{2} = \frac{9 v^{4}}{4} + \frac{3 v^{2} K}{2} + \frac{3 K v^{2}}{2} + K^{2}$

ステップ 3.2.2.1.3.2

$\frac{3 v^{2} K}{2}$ と $\frac{3 K v^{2}}{2}$ をたし算します。

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ステップ 3.2.2.1.3.2.1

$v^{2}$ を移動させます。

$1 + u^{2} = \frac{9 v^{4}}{4} + \frac{3 K v^{2}}{2} + \frac{3 K v^{2}}{2} + K^{2}$

ステップ 3.2.2.1.3.2.2

$\frac{3 K v^{2}}{2}$ と $\frac{3 K v^{2}}{2}$ をたし算します。

$1 + u^{2} = \frac{9 v^{4}}{4} + 2 \frac{3 K v^{2}}{2} + K^{2}$

ステップ 3.2.2.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.1.4.1

共通因数を約分します。

$1 + u^{2} = \frac{9 v^{4}}{4} + 2 \frac{3 K v^{2}}{2} + K^{2}$

ステップ 3.2.2.1.4.2

式を書き換えます。

$1 + u^{2} = \frac{9 v^{4}}{4} + 3 K v^{2} + K^{2}$

ステップ 3.3

$u$ について解きます。

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ステップ 3.3.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$u^{2} = \frac{9 v^{4}}{4} + 3 K v^{2} + K^{2} - 1$

ステップ 3.3.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$u = \pm \sqrt{\frac{9 v^{4}}{4} + 3 K v^{2} + K^{2} - 1}$

ステップ 3.3.3

$\pm \sqrt{\frac{9 v^{4}}{4} + 3 K v^{2} + K^{2} - 1}$ を簡約します。

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ステップ 3.3.3.1

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 3.3.3.1.1

$9 v^{4}$ を ${(3 v^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$u = \pm \sqrt{\frac{{(3 v^{2})}^{2}}{4} + 3 K v^{2} + K^{2} - 1}$

ステップ 3.3.3.1.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$u = \pm \sqrt{\frac{{(3 v^{2})}^{2}}{2^{2}} + 3 K v^{2} + K^{2} - 1}$

ステップ 3.3.3.1.3

$\frac{{(3 v^{2})}^{2}}{2^{2}}$ を ${(\frac{3 v^{2}}{2})}^{2}$ に書き換えます。

$u = \pm \sqrt{{(\frac{3 v^{2}}{2})}^{2} + 3 K v^{2} + K^{2} - 1}$

ステップ 3.3.3.1.4

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$3 K v^{2} = 2 \cdot \frac{3 v^{2}}{2} \cdot K$

ステップ 3.3.3.1.5

多項式を書き換えます。

$u = \pm \sqrt{{(\frac{3 v^{2}}{2})}^{2} + 2 \cdot \frac{3 v^{2}}{2} \cdot K + K^{2} - 1}$

ステップ 3.3.3.1.6

$a = \frac{3 v^{2}}{2}$ と $b = K$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$u = \pm \sqrt{{(\frac{3 v^{2}}{2} + K)}^{2} - 1}$

ステップ 3.3.3.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$u = \pm \sqrt{{(\frac{3 v^{2}}{2} + K)}^{2} - 1^{2}}$

ステップ 3.3.3.3

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = \frac{3 v^{2}}{2} + K$ であり、 $b = 1$ です。

$u = \pm \sqrt{(\frac{3 v^{2}}{2} + K + 1) (\frac{3 v^{2}}{2} + K - 1)}$

ステップ 3.3.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 3.3.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。