微分積分例

$\frac{d y}{d x} = x - 2 y \cot (2 x)$

ステップ 1

微分方程式を $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ として書き換えます。

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ステップ 1.1

方程式の両辺に $2 y \cot (2 x)$ を足します。

$\frac{d y}{d x} + 2 y \cot (2 x) = x$

ステップ 1.2

$y$ を $2 y \cot (2 x)$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} + y (2 \cot (2 x)) = x$

ステップ 1.3

$y$ と $2 \cot (2 x)$ を並べ替えます。

$\frac{d y}{d x} + 2 \cot (2 x) y = x$

ステップ 2

$P (x) = 2 \cot (2 x)$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

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ステップ 2.1

積分を設定します。

$e^{\int 2 \cot (2 x) d x}$

ステップ 2.2

$2 \cot (2 x)$ を積分します。

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ステップ 2.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$e^{2 \int \cot (2 x) d x}$

ステップ 2.2.2

$u = 2 x$ とします。次に $d u = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.2.2.1

$u = 2 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.2.2.1.1

$2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 2.2.2.1.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.2.2.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 2.2.2.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 2.2.2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$e^{2 \int \cot (u) \frac{1}{2} d u}$

ステップ 2.2.3

$\cot (u)$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$e^{2 \int \frac{\cot (u)}{2} d u}$

ステップ 2.2.4

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$e^{2 (\frac{1}{2} \int \cot (u) d u)}$

ステップ 2.2.5

簡約します。

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ステップ 2.2.5.1

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$e^{\frac{2}{2} \int \cot (u) d u}$

ステップ 2.2.5.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.5.2.1

共通因数を約分します。

$e^{\frac{2}{2} \int \cot (u) d u}$

ステップ 2.2.5.2.2

式を書き換えます。

$e^{1 \int \cot (u) d u}$

ステップ 2.2.5.3

$\int \cot (u) d u$ に $1$ をかけます。

$e^{\int \cot (u) d u}$

ステップ 2.2.6

$\cot (u)$ の $u$ に関する積分は $\ln (| \sin (u) |)$ です。

$e^{\ln (| \sin (u) |) + C}$

ステップ 2.2.7

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$e^{\ln (| \sin (2 x) |) + C}$

ステップ 2.3

積分定数を削除します。

$e^{\ln (\sin (2 x))}$

ステップ 2.4

指数関数と対数関数は逆関数です。

$\sin (2 x)$

ステップ 3

各項に積分因数 $\sin (2 x)$ を掛けます。

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ステップ 3.1

各項に $\sin (2 x)$ を掛けます。

$\sin (2 x) \frac{d y}{d x} + \sin (2 x) (2 \cot (2 x) y) = \sin (2 x) x$

ステップ 3.2

正弦と余弦について書き換え、次に共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1

括弧を移動させます。

$\sin (2 x) \frac{d y}{d x} + \sin (2 x) (2 \cot (2 x)) y = \sin (2 x) x$

ステップ 3.2.2

$\sin (2 x)$ と $2 \cot (2 x)$ を並べ替えます。

$\sin (2 x) \frac{d y}{d x} + 2 \cot (2 x) \sin (2 x) y = \sin (2 x) x$

ステップ 3.2.3

括弧を付けます。

$\sin (2 x) \frac{d y}{d x} + 2 (\cot (2 x) \sin (2 x)) y = \sin (2 x) x$

ステップ 3.2.4

正弦と余弦に関して $\sin (2 x) (2 \cot (2 x) y)$ を書き換えます。

$\sin (2 x) \frac{d y}{d x} + 2 (\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \sin (2 x)) y = \sin (2 x) x$

ステップ 3.2.5

共通因数を約分します。

$\sin (2 x) \frac{d y}{d x} + 2 \cos (2 x) y = \sin (2 x) x$

ステップ 3.3

$\sin (2 x) \frac{d y}{d x} + 2 \cos (2 x) y = \sin (2 x) x$ の因数を並べ替えます。

$\sin (2 x) \frac{d y}{d x} + 2 y \cos (2 x) = x \sin (2 x)$

ステップ 4

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x) y] = x \sin (2 x)$

ステップ 5

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [\sin (2 x) y] d x = \int x \sin (2 x) d x$

ステップ 6

左辺を積分します。

$\sin (2 x) y = \int x \sin (2 x) d x$

ステップ 7

右辺を積分します。

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ステップ 7.1

$u = x$ と $d v = \sin (2 x)$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\sin (2 x) y = x (- \frac{1}{2} \cos (2 x)) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

ステップ 7.2

簡約します。

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ステップ 7.2.1

$\cos (2 x)$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\sin (2 x) y = x (- \frac{\cos (2 x)}{2}) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

ステップ 7.2.2

$x$ と $\frac{\cos (2 x)}{2}$ をまとめます。

$\sin (2 x) y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

ステップ 7.3

$- \frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $- \frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\sin (2 x) y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} - (- \frac{1}{2} \int \cos (2 x) d x)$

ステップ 7.4

簡約します。

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ステップ 7.4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\sin (2 x) y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} + 1 (\frac{1}{2} \int \cos (2 x) d x)$

ステップ 7.4.2

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$\sin (2 x) y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \cos (2 x) d x$

ステップ 7.5

$u = 2 x$ とします。次に $d u = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 7.5.1

$u = 2 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 7.5.1.1

$2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 7.5.1.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 7.5.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 7.5.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 7.5.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\sin (2 x) y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \cos (u) \frac{1}{2} d u$

ステップ 7.6

$\cos (u)$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\sin (2 x) y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \frac{\cos (u)}{2} d u$

ステップ 7.7

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\sin (2 x) y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

ステップ 7.8

簡約します。

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ステップ 7.8.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\sin (2 x) y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2 \cdot 2} \int \cos (u) d u$

ステップ 7.8.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\sin (2 x) y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} \int \cos (u) d u$

ステップ 7.9

$\cos (u)$ の $u$ に関する積分は $\sin (u)$ です。

$\sin (2 x) y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u) + C)$

ステップ 7.10

簡約します。

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ステップ 7.10.1

$- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u) + C)$ を $- \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u) + C$ に書き換えます。

$\sin (2 x) y = - \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u) + C$

ステップ 7.10.2

簡約します。

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ステップ 7.10.2.1

$x$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\sin (2 x) y = - \frac{x}{2} \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u) + C$

ステップ 7.10.2.2

$\cos (2 x)$ と $\frac{x}{2}$ をまとめます。

$\sin (2 x) y = - \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} \sin (u) + C$

ステップ 7.11

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$\sin (2 x) y = - \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

ステップ 7.12

$\frac{\cos (2 x) x}{2}$ の因数を並べ替えます。

$\sin (2 x) y = - \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

ステップ 8

$y$ について解きます。

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ステップ 8.1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.1

$x$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\sin (2 x) y = - \frac{x}{2} \cdot \cos (2 x) + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x) + C$

ステップ 8.1.2

$\cos (2 x)$ と $\frac{x}{2}$ をまとめます。

$\sin (2 x) y = - \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x) + C$

ステップ 8.2

$\sin (2 x) y = - \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x) + C$ の各項を $\sin (2 x)$ で割り、簡約します。

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ステップ 8.2.1

$\sin (2 x) y = - \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x) + C$ の各項を $\sin (2 x)$ で割ります。

$\frac{\sin (2 x) y}{\sin (2 x)} = \frac{- \frac{\cos (2 x) x}{2}}{\sin (2 x)} + \frac{\frac{1}{4} \cdot \sin (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{C}{\sin (2 x)}$

ステップ 8.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 8.2.2.1

$\sin (2 x)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sin (2 x) y}{\sin (2 x)} = \frac{- \frac{\cos (2 x) x}{2}}{\sin (2 x)} + \frac{\frac{1}{4} \cdot \sin (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{C}{\sin (2 x)}$

ステップ 8.2.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{- \frac{\cos (2 x) x}{2}}{\sin (2 x)} + \frac{\frac{1}{4} \cdot \sin (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{C}{\sin (2 x)}$

ステップ 8.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 8.2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 8.2.3.1.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$y = - \frac{\cos (2 x) x}{2} \cdot \frac{1}{\sin (2 x)} + \frac{\frac{1}{4} \cdot \sin (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{C}{\sin (2 x)}$

ステップ 8.2.3.1.2

$\frac{1}{\sin (2 x)}$ を $\csc (2 x)$ に変換します。

$y = - \frac{\cos (2 x) x}{2} \csc (2 x) + \frac{\frac{1}{4} \cdot \sin (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{C}{\sin (2 x)}$

ステップ 8.2.3.1.3

$\csc (2 x)$ と $\frac{\cos (2 x) x}{2}$ をまとめます。

$y = - \frac{\csc (2 x) (\cos (2 x) x)}{2} + \frac{\frac{1}{4} \cdot \sin (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{C}{\sin (2 x)}$

ステップ 8.2.3.1.4

$\sin (2 x)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.3.1.4.1

共通因数を約分します。

$y = - \frac{\csc (2 x) \cos (2 x) x}{2} + \frac{\frac{1}{4} \cdot \sin (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{C}{\sin (2 x)}$

ステップ 8.2.3.1.4.2

$\frac{1}{4}$ を $1$ で割ります。

$y = - \frac{\csc (2 x) \cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} + \frac{C}{\sin (2 x)}$

ステップ 8.2.3.1.5

分数を分解します。

$y = - \frac{\csc (2 x) \cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\sin (2 x)}$

ステップ 8.2.3.1.6

$\frac{1}{\sin (2 x)}$ を $\csc (2 x)$ に変換します。

$y = - \frac{\csc (2 x) \cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} + \frac{C}{1} \csc (2 x)$

ステップ 8.2.3.1.7

$C$ を $1$ で割ります。

$y = - \frac{\csc (2 x) \cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} + C \csc (2 x)$

ステップ 8.2.3.2

$- \frac{\csc (2 x) \cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} + C \csc (2 x)$ の因数を並べ替えます。

$y = - \frac{x \csc (2 x) \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} + C \csc (2 x)$

微分積分 例

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