微分積分例

$8 x^{3} (y d) x + (2 y^{4} - 9 x^{4}) d y = 0$

ステップ 1

$M (x, y) = 8 x^{3} y$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [8 x^{3} y]$

ステップ 1.2

$8 x^{3}$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $8 x^{3} y$ の微分係数は $8 x^{3} \frac{d}{d y} [y]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 8 x^{3} \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 8 x^{3} \cdot 1$

ステップ 1.4

$8$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 8 x^{3}$

ステップ 2

$N (x, y) = 2 y^{4} - 9 x^{4}$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y^{4} - 9 x^{4}]$

ステップ 2.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

総和則では、 $2 y^{4} - 9 x^{4}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 y^{4}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{4}]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y^{4}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{4}]$

ステップ 2.2.2

$2 y^{4}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2 y^{4}$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [- 9 x^{4}]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- 9 x^{4}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$- 9$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 9 x^{4}$ の微分係数は $- 9 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 9 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 2.3.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 9 (4 x^{3})$

ステップ 2.3.3

$4$ に $- 9$ をかけます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 36 x^{3}$

ステップ 2.4

$0$ から $36 x^{3}$ を引きます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 36 x^{3}$

ステップ 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$8 x^{3}$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $- 36 x^{3}$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$8 x^{3} = - 36 x^{3}$

ステップ 3.2

方程式の左辺が右辺に等しくないので、方程式は恒等式ではありません。

$8 x^{3} = - 36 x^{3}$ は恒等式ではありません。

ステップ 4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$- 36 x^{3}$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$\frac{- 36 x^{3} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

ステップ 4.2

$8 x^{3}$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に代入します。

$\frac{- 36 x^{3} - (8 x^{3})}{M}$

ステップ 4.3

$8 x^{3} y$ を $M$ に代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$8 x^{3} y$ を $M$ に代入します。

$\frac{- 36 x^{3} - (8 x^{3})}{8 x^{3} y}$

ステップ 4.3.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

$x^{3}$ を $- 36 x^{3} - 1 \cdot 8 x^{3}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.1

$x^{3}$ を $- 36 x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{x^{3} \cdot - 36 - 1 \cdot 8 x^{3}}{8 x^{3} y}$

ステップ 4.3.2.1.2

$x^{3}$ を $- 1 \cdot 8 x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{x^{3} \cdot - 36 + x^{3} (- 1 \cdot 8)}{8 x^{3} y}$

ステップ 4.3.2.1.3

$x^{3}$ を $x^{3} \cdot - 36 + x^{3} (- 1 \cdot 8)$ で因数分解します。

$\frac{x^{3} (- 36 - 1 \cdot 8)}{8 x^{3} y}$

ステップ 4.3.2.2

$- 1$ に $8$ をかけます。

$\frac{x^{3} (- 36 - 8)}{8 x^{3} y}$

ステップ 4.3.2.3

$- 36$ から $8$ を引きます。

$\frac{x^{3} \cdot - 44}{8 x^{3} y}$

ステップ 4.3.3

$x^{3}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{x^{3} \cdot - 44}{8 x^{3} y}$

ステップ 4.3.3.2

式を書き換えます。

$\frac{- 44}{8 y}$

ステップ 4.3.4

$- 44$ と $8$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.4.1

$4$ を $- 44$ で因数分解します。

$\frac{4 (- 11)}{8 y}$

ステップ 4.3.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.4.2.1

$4$ を $8 y$ で因数分解します。

$\frac{4 (- 11)}{4 (2 y)}$

ステップ 4.3.4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{4 \cdot - 11}{4 (2 y)}$

ステップ 4.3.4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- 11}{2 y}$

ステップ 4.3.5

$8 x^{3} y$ を $M$ に代入します。

$- \frac{11}{2 y}$

ステップ 4.4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ を求めます。

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{11}{2 y} d y}$

ステップ 5

積分 $e^{\int - \frac{11}{2 y} d y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{11}{2 y} d y}$

ステップ 5.2

$\frac{11}{2}$ は $y$ に対して定数なので、 $\frac{11}{2}$ を積分の外に移動させます。

$μ (x, y) = e^{- (\frac{11}{2} \int \frac{1}{y} d y)}$

ステップ 5.3

$\frac{1}{y}$ の $y$ に関する積分は $\ln (| y |)$ です。

$μ (x, y) = e^{- \frac{11}{2} (\ln (| y |) + C)}$

ステップ 5.4

簡約します。

$μ (x, y) = e^{- \frac{11}{2} \ln (| y |)} + C$

ステップ 5.5

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1

$- \frac{11}{2} \ln (| y |)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1.1

$\ln (| y |)$ と $\frac{11}{2}$ を並べ替えます。

$μ (x, y) = e^{- (\frac{11}{2} \ln (| y |))} + C$

ステップ 5.5.1.2

対数の中の $\frac{11}{2}$ を移動させて $\frac{11}{2} \ln (| y |)$ を簡約します。

$μ (x, y) = e^{- \ln ({| y |}^{\frac{11}{2}})} + C$

ステップ 5.5.2

対数の中の $- 1$ を移動させて $- \ln ({| y |}^{\frac{11}{2}})$ を簡約します。

$μ (x, y) = e^{\ln ({({| y |}^{\frac{11}{2}})}^{- 1})} + C$

ステップ 5.5.3

指数関数と対数関数は逆関数です。

$μ (x, y) = {({| y |}^{\frac{11}{2}})}^{- 1} + C$

ステップ 5.5.4

${({| y |}^{\frac{11}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.4.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$μ (x, y) = {| y |}^{\frac{11}{2} \cdot - 1} + C$

ステップ 5.5.4.2

$\frac{11}{2} \cdot - 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.4.2.1

$\frac{11}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$μ (x, y) = {| y |}^{\frac{11 \cdot - 1}{2}} + C$

ステップ 5.5.4.2.2

$11$ に $- 1$ をかけます。

$μ (x, y) = {| y |}^{\frac{- 11}{2}} + C$

ステップ 5.5.4.3

分数の前に負数を移動させます。

$μ (x, y) = {| y |}^{- \frac{11}{2}} + C$

ステップ 5.5.5

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$μ (x, y) = \frac{1}{{| y |}^{\frac{11}{2}}} + C$

ステップ 6

$8 x^{3} y d x + (2 y^{4} - 9 x^{4}) d y = 0$ の両辺に積分因子 $\frac{1}{y^{\frac{11}{2}}}$ を掛けます。

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ステップ 6.1

$8 x^{3} y$ に $\frac{1}{y^{\frac{11}{2}}}$ をかけます。

$8 x^{3} y \frac{1}{y^{\frac{11}{2}}} d x + (2 y^{4} - 9 x^{4}) d y = 0$

ステップ 6.2

$8 x^{3} y \frac{1}{y^{\frac{11}{2}}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

$8$ と $\frac{1}{y^{\frac{11}{2}}}$ をまとめます。

$x^{3} y \frac{8}{y^{\frac{11}{2}}} d x + (2 y^{4} - 9 x^{4}) d y = 0$

ステップ 6.2.2

$x^{3}$ と $\frac{8}{y^{\frac{11}{2}}}$ をまとめます。

$y \frac{x^{3} \cdot 8}{y^{\frac{11}{2}}} d x + (2 y^{4} - 9 x^{4}) d y = 0$

ステップ 6.2.3

$y$ と $\frac{x^{3} \cdot 8}{y^{\frac{11}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{y (x^{3} \cdot 8)}{y^{\frac{11}{2}}} d x + (2 y^{4} - 9 x^{4}) d y = 0$

ステップ 6.3

負の指数法則 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ を利用して $y^{1}$ を分母に移動させます。

$\frac{x^{3} \cdot 8}{y^{\frac{11}{2}} y^{- 1}} d x + (2 y^{4} - 9 x^{4}) d y = 0$

ステップ 6.4

指数を足して $y^{\frac{11}{2}}$ に $y^{- 1}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{x^{3} \cdot 8}{y^{\frac{11}{2} - 1}} d x + (2 y^{4} - 9 x^{4}) d y = 0$

ステップ 6.4.2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{x^{3} \cdot 8}{y^{\frac{11}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}} d x + (2 y^{4} - 9 x^{4}) d y = 0$

ステップ 6.4.3

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{x^{3} \cdot 8}{y^{\frac{11}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}} d x + (2 y^{4} - 9 x^{4}) d y = 0$

ステップ 6.4.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x^{3} \cdot 8}{y^{\frac{11 - 1 \cdot 2}{2}}} d x + (2 y^{4} - 9 x^{4}) d y = 0$

ステップ 6.4.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.5.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{x^{3} \cdot 8}{y^{\frac{11 - 2}{2}}} d x + (2 y^{4} - 9 x^{4}) d y = 0$

ステップ 6.4.5.2

$11$ から $2$ を引きます。

$\frac{x^{3} \cdot 8}{y^{\frac{9}{2}}} d x + (2 y^{4} - 9 x^{4}) d y = 0$

ステップ 6.5

$8$ を $x^{3}$ の左に移動させます。

$\frac{8 x^{3}}{y^{\frac{9}{2}}} d x + (2 y^{4} - 9 x^{4}) d y = 0$

ステップ 6.6

$2 y^{4} - 9 x^{4}$ に $\frac{1}{y^{\frac{11}{2}}}$ をかけます。

$\frac{8 x^{3}}{y^{\frac{9}{2}}} d x + (2 y^{4} - 9 x^{4}) \frac{1}{y^{\frac{11}{2}}} d y = 0$

ステップ 6.7

$2 y^{4} - 9 x^{4}$ に $\frac{1}{y^{\frac{11}{2}}}$ をかけます。

$\frac{8 x^{3}}{y^{\frac{9}{2}}} d x + \frac{2 y^{4} - 9 x^{4}}{y^{\frac{11}{2}}} d y = 0$

ステップ 7

$f (x, y)$ は $M (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int \frac{8 x^{3}}{y^{\frac{9}{2}}} d x$

ステップ 8

$M (x, y) = \frac{8 x^{3}}{y^{\frac{9}{2}}}$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

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ステップ 8.1

$\frac{8}{y^{\frac{9}{2}}}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{8}{y^{\frac{9}{2}}}$ を積分の外に移動させます。

$f (x, y) = \frac{8}{y^{\frac{9}{2}}} \int x^{3} d x$

ステップ 8.2

べき乗則では、 $x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{4} x^{4}$ です。

$f (x, y) = \frac{8}{y^{\frac{9}{2}}} (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

ステップ 8.3

答えを簡約します。

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ステップ 8.3.1

$\frac{8}{y^{\frac{9}{2}}} (\frac{1}{4} x^{4} + C)$ を $\frac{8}{y^{\frac{9}{2}}} \cdot \frac{1}{4} x^{4} + C$ に書き換えます。

$f (x, y) = \frac{8}{y^{\frac{9}{2}}} \cdot \frac{1}{4} x^{4} + C$

ステップ 8.3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.2.1

$\frac{8}{y^{\frac{9}{2}}}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$f (x, y) = \frac{8}{y^{\frac{9}{2}} \cdot 4} x^{4} + C$

ステップ 8.3.2.2

$4$ を $y^{\frac{9}{2}}$ の左に移動させます。

$f (x, y) = \frac{8}{4 \cdot y^{\frac{9}{2}}} x^{4} + C$

ステップ 8.3.2.3

$4$ に $y^{\frac{9}{2}}$ をかけます。

$f (x, y) = \frac{8}{4 y^{\frac{9}{2}}} x^{4} + C$

ステップ 8.3.2.4

$4$ を $8$ で因数分解します。

$f (x, y) = \frac{4 \cdot 2}{4 y^{\frac{9}{2}}} x^{4} + C$

ステップ 8.3.2.5

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.2.5.1

$4$ を $4 y^{\frac{9}{2}}$ で因数分解します。

$f (x, y) = \frac{4 \cdot 2}{4 (y^{\frac{9}{2}})} x^{4} + C$

ステップ 8.3.2.5.2

共通因数を約分します。

$f (x, y) = \frac{4 \cdot 2}{4 y^{\frac{9}{2}}} x^{4} + C$

ステップ 8.3.2.5.3

式を書き換えます。

$f (x, y) = \frac{2}{y^{\frac{9}{2}}} x^{4} + C$

ステップ 8.3.2.6

$\frac{2}{y^{\frac{9}{2}}}$ と $x^{4}$ をまとめます。

$f (x, y) = \frac{2 x^{4}}{y^{\frac{9}{2}}} + C$

ステップ 9

$g (y)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (y)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = \frac{2 x^{4}}{y^{\frac{9}{2}}} + g (y)$

ステップ 10

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{2 y^{4} - 9 x^{4}}{y^{\frac{11}{2}}}$

ステップ 11

$\frac{\partial f}{\partial y}$ を求めます。

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ステップ 11.1

$y$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [\frac{2 x^{4}}{y^{\frac{9}{2}}} + g (y)] = \frac{2 y^{4} - 9 x^{4}}{y^{\frac{11}{2}}}$

ステップ 11.2

総和則では、 $\frac{2 x^{4}}{y^{\frac{9}{2}}} + g (y)$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [\frac{2 x^{4}}{y^{\frac{9}{2}}}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ です。

$\frac{d}{d y} [\frac{2 x^{4}}{y^{\frac{9}{2}}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y^{4} - 9 x^{4}}{y^{\frac{11}{2}}}$

ステップ 11.3

$\frac{d}{d y} [\frac{2 x^{4}}{y^{\frac{9}{2}}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.1

$2 x^{4}$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $\frac{2 x^{4}}{y^{\frac{9}{2}}}$ の微分係数は $2 x^{4} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{\frac{9}{2}}}]$ です。

$2 x^{4} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{\frac{9}{2}}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y^{4} - 9 x^{4}}{y^{\frac{11}{2}}}$

ステップ 11.3.2

$\frac{1}{y^{\frac{9}{2}}}$ を ${(y^{\frac{9}{2}})}^{- 1}$ に書き換えます。

$2 x^{4} \frac{d}{d y} [{(y^{\frac{9}{2}})}^{- 1}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y^{4} - 9 x^{4}}{y^{\frac{11}{2}}}$

ステップ 11.3.3

$f (y) = y^{- 1}$ および $g (y) = y^{\frac{9}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ は $f' (g (y)) g' (y)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y^{\frac{9}{2}}$ とします。

$2 x^{4} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [y^{\frac{9}{2}}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y^{4} - 9 x^{4}}{y^{\frac{11}{2}}}$

ステップ 11.3.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x^{4} (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{\frac{9}{2}}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y^{4} - 9 x^{4}}{y^{\frac{11}{2}}}$

ステップ 11.3.3.3

$u$ のすべての発生を $y^{\frac{9}{2}}$ で置き換えます。

$2 x^{4} (- {(y^{\frac{9}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{\frac{9}{2}}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y^{4} - 9 x^{4}}{y^{\frac{11}{2}}}$

ステップ 11.3.4

$n = \frac{9}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x^{4} (- {(y^{\frac{9}{2}})}^{- 2} (\frac{9}{2} y^{\frac{9}{2} - 1})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y^{4} - 9 x^{4}}{y^{\frac{11}{2}}}$

ステップ 11.3.5

${(y^{\frac{9}{2}})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.5.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$2 x^{4} (- y^{\frac{9}{2} \cdot - 2} (\frac{9}{2} y^{\frac{9}{2} - 1})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y^{4} - 9 x^{4}}{y^{\frac{11}{2}}}$

ステップ 11.3.5.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.5.2.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$2 x^{4} (- y^{\frac{9}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{9}{2} y^{\frac{9}{2} - 1})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y^{4} - 9 x^{4}}{y^{\frac{11}{2}}}$

ステップ 11.3.5.2.2

共通因数を約分します。

$2 x^{4} (- y^{\frac{9}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{9}{2} y^{\frac{9}{2} - 1})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y^{4} - 9 x^{4}}{y^{\frac{11}{2}}}$

ステップ 11.3.5.2.3

式を書き換えます。

$2 x^{4} (- y^{9 \cdot - 1} (\frac{9}{2} y^{\frac{9}{2} - 1})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y^{4} - 9 x^{4}}{y^{\frac{11}{2}}}$

ステップ 11.3.5.3

$9$ に $- 1$ をかけます。

$2 x^{4} (- y^{- 9} (\frac{9}{2} y^{\frac{9}{2} - 1})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y^{4} - 9 x^{4}}{y^{\frac{11}{2}}}$

ステップ 11.3.6

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$2 x^{4} (- y^{- 9} (\frac{9}{2} y^{\frac{9}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y^{4} - 9 x^{4}}{y^{\frac{11}{2}}}$

ステップ 11.3.7

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$2 x^{4} (- y^{- 9} (\frac{9}{2} y^{\frac{9}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y^{4} - 9 x^{4}}{y^{\frac{11}{2}}}$

ステップ 11.3.8

公分母の分子をまとめます。

$2 x^{4} (- y^{- 9} (\frac{9}{2} y^{\frac{9 - 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y^{4} - 9 x^{4}}{y^{\frac{11}{2}}}$

ステップ 11.3.9

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.9.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$2 x^{4} (- y^{- 9} (\frac{9}{2} y^{\frac{9 - 2}{2}})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y^{4} - 9 x^{4}}{y^{\frac{11}{2}}}$

ステップ 11.3.9.2

$9$ から $2$ を引きます。

$2 x^{4} (- y^{- 9} (\frac{9}{2} y^{\frac{7}{2}})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y^{4} - 9 x^{4}}{y^{\frac{11}{2}}}$

ステップ 11.3.10

$\frac{9}{2}$ と $y^{\frac{7}{2}}$ をまとめます。

$2 x^{4} (- y^{- 9} \frac{9 y^{\frac{7}{2}}}{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y^{4} - 9 x^{4}}{y^{\frac{11}{2}}}$

ステップ 11.3.11

$\frac{9 y^{\frac{7}{2}}}{2}$ と $y^{- 9}$ をまとめます。

$2 x^{4} (- \frac{9 y^{\frac{7}{2}} y^{- 9}}{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y^{4} - 9 x^{4}}{y^{\frac{11}{2}}}$

ステップ 11.3.12

指数を足して $y^{\frac{7}{2}}$ に $y^{- 9}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.12.1

$y^{- 9}$ を移動させます。

$2 x^{4} (- \frac{9 (y^{- 9} y^{\frac{7}{2}})}{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y^{4} - 9 x^{4}}{y^{\frac{11}{2}}}$

ステップ 11.3.12.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 x^{4} (- \frac{9 y^{- 9 + \frac{7}{2}}}{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y^{4} - 9 x^{4}}{y^{\frac{11}{2}}}$

ステップ 11.3.12.3

$- 9$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$2 x^{4} (- \frac{9 y^{- 9 \cdot \frac{2}{2} + \frac{7}{2}}}{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y^{4} - 9 x^{4}}{y^{\frac{11}{2}}}$

ステップ 11.3.12.4

$- 9$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$2 x^{4} (- \frac{9 y^{\frac{- 9 \cdot 2}{2} + \frac{7}{2}}}{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y^{4} - 9 x^{4}}{y^{\frac{11}{2}}}$

ステップ 11.3.12.5

公分母の分子をまとめます。

$2 x^{4} (- \frac{9 y^{\frac{- 9 \cdot 2 + 7}{2}}}{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y^{4} - 9 x^{4}}{y^{\frac{11}{2}}}$

ステップ 11.3.12.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.12.6.1

$- 9$ に $2$ をかけます。

$2 x^{4} (- \frac{9 y^{\frac{- 18 + 7}{2}}}{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y^{4} - 9 x^{4}}{y^{\frac{11}{2}}}$

ステップ 11.3.12.6.2

$- 18$ と $7$ をたし算します。

$2 x^{4} (- \frac{9 y^{\frac{- 11}{2}}}{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y^{4} - 9 x^{4}}{y^{\frac{11}{2}}}$

ステップ 11.3.12.7

分数の前に負数を移動させます。

$2 x^{4} (- \frac{9 y^{- \frac{11}{2}}}{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y^{4} - 9 x^{4}}{y^{\frac{11}{2}}}$

ステップ 11.3.13

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $y^{- \frac{11}{2}}$ を分母に移動させます。

$2 x^{4} (- \frac{9}{2 y^{\frac{11}{2}}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y^{4} - 9 x^{4}}{y^{\frac{11}{2}}}$

ステップ 11.3.14

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- 2 x^{4} \frac{9}{2 y^{\frac{11}{2}}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y^{4} - 9 x^{4}}{y^{\frac{11}{2}}}$

ステップ 11.3.15

$- 2$ と $\frac{9}{2 y^{\frac{11}{2}}}$ をまとめます。

$x^{4} \frac{- 2 \cdot 9}{2 y^{\frac{11}{2}}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y^{4} - 9 x^{4}}{y^{\frac{11}{2}}}$

ステップ 11.3.16

$- 2$ に $9$ をかけます。

$x^{4} \frac{- 18}{2 y^{\frac{11}{2}}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y^{4} - 9 x^{4}}{y^{\frac{11}{2}}}$

ステップ 11.3.17

$x^{4}$ と $\frac{- 18}{2 y^{\frac{11}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{x^{4} \cdot - 18}{2 y^{\frac{11}{2}}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y^{4} - 9 x^{4}}{y^{\frac{11}{2}}}$

ステップ 11.3.18

$- 18$ を $x^{4}$ の左に移動させます。

$\frac{- 18 \cdot x^{4}}{2 y^{\frac{11}{2}}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y^{4} - 9 x^{4}}{y^{\frac{11}{2}}}$

ステップ 11.3.19

$2$ を $- 18 x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{2 (- 9 x^{4})}{2 y^{\frac{11}{2}}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y^{4} - 9 x^{4}}{y^{\frac{11}{2}}}$

ステップ 11.3.20

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.20.1

$2$ を $2 y^{\frac{11}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{2 (- 9 x^{4})}{2 (y^{\frac{11}{2}})} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y^{4} - 9 x^{4}}{y^{\frac{11}{2}}}$

ステップ 11.3.20.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (- 9 x^{4})}{2 y^{\frac{11}{2}}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y^{4} - 9 x^{4}}{y^{\frac{11}{2}}}$

ステップ 11.3.20.3

式を書き換えます。

$\frac{- 9 x^{4}}{y^{\frac{11}{2}}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y^{4} - 9 x^{4}}{y^{\frac{11}{2}}}$

ステップ 11.3.21

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{9 x^{4}}{y^{\frac{11}{2}}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y^{4} - 9 x^{4}}{y^{\frac{11}{2}}}$

ステップ 11.4

$g (y)$ の微分係数は $\frac{d g}{d y}$ であるという関数の規則を使って微分します。

$- \frac{9 x^{4}}{y^{\frac{11}{2}}} + \frac{d g}{d y} = \frac{2 y^{4} - 9 x^{4}}{y^{\frac{11}{2}}}$

ステップ 11.5

項を並べ替えます。

$\frac{d g}{d y} - \frac{9 x^{4}}{y^{\frac{11}{2}}} = \frac{2 y^{4} - 9 x^{4}}{y^{\frac{11}{2}}}$

ステップ 12

$\frac{d g}{d y}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

$\frac{d g}{d y}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1

$\frac{d g}{d y} - \frac{9 x^{4}}{y^{\frac{11}{2}}} - \frac{2 y^{4} - 9 x^{4}}{y^{\frac{11}{2}}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1.1

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 9 x^{4} - (2 y^{4} - 9 x^{4})}{y^{\frac{11}{2}}} = 0$

ステップ 12.1.1.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 9 x^{4} - (2 y^{4}) - (- 9 x^{4})}{y^{\frac{11}{2}}} = 0$

ステップ 12.1.1.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 9 x^{4} - 2 y^{4} - (- 9 x^{4})}{y^{\frac{11}{2}}} = 0$

ステップ 12.1.1.2.3

$- 9$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 9 x^{4} - 2 y^{4} + 9 x^{4}}{y^{\frac{11}{2}}} = 0$

ステップ 12.1.1.3

$- 9 x^{4} - 2 y^{4} + 9 x^{4}$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1.3.1

$- 9 x^{4}$ と $9 x^{4}$ をたし算します。

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 2 y^{4} + 0}{y^{\frac{11}{2}}} = 0$

ステップ 12.1.1.3.2

$- 2 y^{4}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 2 y^{4}}{y^{\frac{11}{2}}} = 0$

ステップ 12.1.1.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1.4.1

負の指数法則 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ を利用して $y^{4}$ を分母に移動させます。

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 2}{y^{\frac{11}{2}} y^{- 4}} = 0$

ステップ 12.1.1.4.2

指数を足して $y^{\frac{11}{2}}$ に $y^{- 4}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1.4.2.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 2}{y^{\frac{11}{2} - 4}} = 0$

ステップ 12.1.1.4.2.2

$- 4$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 2}{y^{\frac{11}{2} - 4 \cdot \frac{2}{2}}} = 0$

ステップ 12.1.1.4.2.3

$- 4$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 2}{y^{\frac{11}{2} + \frac{- 4 \cdot 2}{2}}} = 0$

ステップ 12.1.1.4.2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 2}{y^{\frac{11 - 4 \cdot 2}{2}}} = 0$

ステップ 12.1.1.4.2.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1.4.2.5.1

$- 4$ に $2$ をかけます。

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 2}{y^{\frac{11 - 8}{2}}} = 0$

ステップ 12.1.1.4.2.5.2

$11$ から $8$ を引きます。

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 2}{y^{\frac{3}{2}}} = 0$

ステップ 12.1.1.4.3

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{d g}{d y} - \frac{2}{y^{\frac{3}{2}}} = 0$

ステップ 12.1.2

方程式の両辺に $\frac{2}{y^{\frac{3}{2}}}$ を足します。

$\frac{d g}{d y} = \frac{2}{y^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 13

$\frac{2}{y^{\frac{3}{2}}}$ の不定積分を求めて $g (y)$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

$\frac{d g}{d y} = \frac{2}{y^{\frac{3}{2}}}$ の両辺を積分します。

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \frac{2}{y^{\frac{3}{2}}} d y$

ステップ 13.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ の値を求めます。

$g (y) = \int \frac{2}{y^{\frac{3}{2}}} d y$

ステップ 13.3

$2$ は $y$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$g (y) = 2 \int \frac{1}{y^{\frac{3}{2}}} d y$

ステップ 13.4

$y^{\frac{3}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$g (y) = 2 \int {(y^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d y$

ステップ 13.5

${(y^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.5.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$g (y) = 2 \int y^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d y$

ステップ 13.5.2

$\frac{3}{2} \cdot - 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.5.2.1

$\frac{3}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$g (y) = 2 \int y^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d y$

ステップ 13.5.2.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$g (y) = 2 \int y^{\frac{- 3}{2}} d y$

ステップ 13.5.3

分数の前に負数を移動させます。

$g (y) = 2 \int y^{- \frac{3}{2}} d y$

ステップ 13.6

べき乗則では、 $y^{- \frac{3}{2}}$ の $y$ に関する積分は $- 2 y^{- \frac{1}{2}}$ です。

$g (y) = 2 (- 2 y^{- \frac{1}{2}} + C)$

ステップ 13.7

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.7.1

$2 (- 2 y^{- \frac{1}{2}} + C)$ を $2 (- 2 \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}) + C$ に書き換えます。

$g (y) = 2 (- 2 \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}) + C$

ステップ 13.7.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.7.2.1

$- 2$ と $\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$g (y) = 2 \frac{- 2}{y^{\frac{1}{2}}} + C$

ステップ 13.7.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$g (y) = 2 (- \frac{2}{y^{\frac{1}{2}}}) + C$

ステップ 13.7.2.3

$- 1$ に $2$ をかけます。

$g (y) = - 2 \frac{2}{y^{\frac{1}{2}}} + C$

ステップ 13.7.2.4

$- 2$ と $\frac{2}{y^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$g (y) = \frac{- 2 \cdot 2}{y^{\frac{1}{2}}} + C$

ステップ 13.7.2.5

$- 2$ に $2$ をかけます。

$g (y) = \frac{- 4}{y^{\frac{1}{2}}} + C$

ステップ 13.7.2.6

分数の前に負数を移動させます。

$g (y) = - \frac{4}{y^{\frac{1}{2}}} + C$

ステップ 14

$f (x, y) = \frac{2 x^{4}}{y^{\frac{9}{2}}} + g (y)$ の $g (y)$ に代入します。

$f (x, y) = \frac{2 x^{4}}{y^{\frac{9}{2}}} - \frac{4}{y^{\frac{1}{2}}} + C$

微分積分 例

微分積分例