微分積分例

$x y y' + 4 x^{2} + y^{2} = 0$

ステップ 1

微分方程式の解を書き換えます。

$x y \frac{d y}{d x} + 4 x^{2} + y^{2} = 0$

ステップ 2

微分方程式を $\frac{y}{x}$ の関数で書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\frac{d y}{d x}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$\frac{d y}{d x}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.1

方程式の両辺から $4 x^{2}$ を引きます。

$x y \frac{d y}{d x} + y^{2} = - 4 x^{2}$

ステップ 2.1.1.2

方程式の両辺から $y^{2}$ を引きます。

$x y \frac{d y}{d x} = - 4 x^{2} - y^{2}$

ステップ 2.1.2

$x y \frac{d y}{d x} = - 4 x^{2} - y^{2}$ の各項を $x y$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

$x y \frac{d y}{d x} = - 4 x^{2} - y^{2}$ の各項を $x y$ で割ります。

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{- 4 x^{2}}{x y} + \frac{- y^{2}}{x y}$

ステップ 2.1.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{- 4 x^{2}}{x y} + \frac{- y^{2}}{x y}$

ステップ 2.1.2.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{- 4 x^{2}}{x y} + \frac{- y^{2}}{x y}$

ステップ 2.1.2.2.2

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{- 4 x^{2}}{x y} + \frac{- y^{2}}{x y}$

ステップ 2.1.2.2.2.2

$\frac{d y}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 4 x^{2}}{x y} + \frac{- y^{2}}{x y}$

ステップ 2.1.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.3.1.1

$x^{2}$ と $x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.3.1.1.1

$x$ を $- 4 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (- 4 x)}{x y} + \frac{- y^{2}}{x y}$

ステップ 2.1.2.3.1.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.3.1.1.2.1

$x$ を $x y$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (- 4 x)}{x (y)} + \frac{- y^{2}}{x y}$

ステップ 2.1.2.3.1.1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (- 4 x)}{x y} + \frac{- y^{2}}{x y}$

ステップ 2.1.2.3.1.1.2.3

式を書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 4 x}{y} + \frac{- y^{2}}{x y}$

ステップ 2.1.2.3.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x}{y} + \frac{- y^{2}}{x y}$

ステップ 2.1.2.3.1.3

$y^{2}$ と $y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.3.1.3.1

$y$ を $- y^{2}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x}{y} + \frac{y (- y)}{x y}$

ステップ 2.1.2.3.1.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.3.1.3.2.1

$y$ を $x y$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x}{y} + \frac{y (- y)}{y x}$

ステップ 2.1.2.3.1.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x}{y} + \frac{y (- y)}{y x}$

ステップ 2.1.2.3.1.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x}{y} + \frac{- y}{x}$

ステップ 2.1.2.3.1.4

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x}{y} - \frac{y}{x}$

ステップ 2.2

微分方程式を $f (\frac{y}{x})$ として書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$\frac{4 x}{y}$ から $\frac{x}{y}$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

$\frac{x}{y}$ を $\frac{4 x}{y}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{x}{y} \cdot 4) - \frac{y}{x}$

ステップ 2.2.1.2

$\frac{x}{y}$ と $4$ を並べ替えます。

$\frac{d y}{d x} = - (4 \cdot \frac{x}{y}) - \frac{y}{x}$

ステップ 2.2.2

$\frac{x}{y}$ を ${(\frac{y}{x})}^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - (4 \cdot {(\frac{y}{x})}^{- 1}) - \frac{y}{x}$

ステップ 3

$V = \frac{y}{x}$ とします。 $V$ を $\frac{y}{x}$ に代入します。

$\frac{d y}{d x} = - (4 \cdot V^{- 1}) - V$

ステップ 4

$y$ について $V = \frac{y}{x}$ を解きます。

$y = V x$

ステップ 5

積の法則を利用し、 $x$ について $y = V x$ の微分係数を求めます。

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

ステップ 6

$x \frac{d V}{d x} + V$ を $\frac{d y}{d x}$ に代入します。

$x \frac{d V}{d x} + V = - (4 \cdot V^{- 1}) - V$

ステップ 7

代入された微分方程式の解を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

変数を分けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1

$\frac{d V}{d x}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.1.1

$- 1$ に $4$ をかけます。

$x \frac{d V}{d x} + V = - 4 \cdot V^{- 1} - V$

ステップ 7.1.1.1.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$x \frac{d V}{d x} + V = - 4 \cdot \frac{1}{V} - V$

ステップ 7.1.1.1.3

$- 4$ と $\frac{1}{V}$ をまとめます。

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{- 4}{V} - V$

ステップ 7.1.1.1.4

分数の前に負数を移動させます。

$x \frac{d V}{d x} + V = - \frac{4}{V} - V$

ステップ 7.1.1.2

$\frac{d V}{d x}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.2.1

方程式の両辺から $V$ を引きます。

$x \frac{d V}{d x} = - \frac{4}{V} - V - V$

ステップ 7.1.1.2.2

$- V$ から $V$ を引きます。

$x \frac{d V}{d x} = - \frac{4}{V} - 2 V$

ステップ 7.1.1.3

$x \frac{d V}{d x} = - \frac{4}{V} - 2 V$ の各項を $x$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.3.1

$x \frac{d V}{d x} = - \frac{4}{V} - 2 V$ の各項を $x$ で割ります。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{- \frac{4}{V}}{x} + \frac{- 2 V}{x}$

ステップ 7.1.1.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.3.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{- \frac{4}{V}}{x} + \frac{- 2 V}{x}$

ステップ 7.1.1.3.2.1.2

$\frac{d V}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{4}{V}}{x} + \frac{- 2 V}{x}$

ステップ 7.1.1.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.3.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.3.3.1.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{d V}{d x} = - \frac{4}{V} \cdot \frac{1}{x} + \frac{- 2 V}{x}$

ステップ 7.1.1.3.3.1.2

$\frac{1}{x}$ に $\frac{4}{V}$ をかけます。

$\frac{d V}{d x} = - \frac{4}{x V} + \frac{- 2 V}{x}$

ステップ 7.1.1.3.3.1.3

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{d V}{d x} = - \frac{4}{x V} - \frac{2 V}{x}$

ステップ 7.1.2

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.2.1

$- 1$ を $- \frac{4}{x V} - \frac{2 V}{x}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.2.1.1

$- \frac{4}{x V}$ と $- \frac{2 V}{x}$ を並べ替えます。

$\frac{d V}{d x} = - \frac{2 V}{x} - \frac{4}{x V}$

ステップ 7.1.2.1.2

$- 1$ を $- \frac{2 V}{x}$ で因数分解します。

$\frac{d V}{d x} = - (\frac{2 V}{x}) - \frac{4}{x V}$

ステップ 7.1.2.1.3

$- 1$ を $- \frac{4}{x V}$ で因数分解します。

$\frac{d V}{d x} = - (\frac{2 V}{x}) - (\frac{4}{x V})$

ステップ 7.1.2.1.4

$- 1$ を $- (\frac{2 V}{x}) - (\frac{4}{x V})$ で因数分解します。

$\frac{d V}{d x} = - (\frac{2 V}{x} + \frac{4}{x V})$

ステップ 7.1.2.2

$\frac{2 V}{x}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{V}{V}$ を掛けます。

$\frac{d V}{d x} = - (\frac{2 V}{x} \cdot \frac{V}{V} + \frac{4}{x V})$

ステップ 7.1.2.3

$\frac{2 V}{x}$ に $\frac{V}{V}$ をかけます。

$\frac{d V}{d x} = - (\frac{2 V \cdot V}{x V} + \frac{4}{x V})$

ステップ 7.1.2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d V}{d x} = - \frac{2 V \cdot V + 4}{x V}$

ステップ 7.1.2.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.2.5.1

$2$ を $2 V \cdot V + 4$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.2.5.1.1

$2$ を $2 V \cdot V$ で因数分解します。

$\frac{d V}{d x} = - \frac{2 (V \cdot V) + 4}{x V}$

ステップ 7.1.2.5.1.2

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{d V}{d x} = - \frac{2 (V \cdot V) + 2 \cdot 2}{x V}$

ステップ 7.1.2.5.1.3

$2$ を $2 (V \cdot V) + 2 \cdot 2$ で因数分解します。

$\frac{d V}{d x} = - \frac{2 (V \cdot V + 2)}{x V}$

ステップ 7.1.2.5.2

$V$ に $V$ をかけます。

$\frac{d V}{d x} = - \frac{2 (V^{2} + 2)}{x V}$

ステップ 7.1.3

因数をもう一度まとめます。

$\frac{d V}{d x} = - \frac{2 (V^{2} + 2)}{V} \cdot \frac{1}{x}$

ステップ 7.1.4

両辺に $\frac{V}{2 (V^{2} + 2)}$ を掛けます。

$\frac{V}{2 (V^{2} + 2)} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{2 (V^{2} + 2)} (- \frac{2 (V^{2} + 2)}{V} \cdot \frac{1}{x})$

ステップ 7.1.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.5.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{V}{2 (V^{2} + 2)} \frac{d V}{d x} = - \frac{V}{2 (V^{2} + 2)} (\frac{2 (V^{2} + 2)}{V} \cdot \frac{1}{x})$

ステップ 7.1.5.2

まとめる。

$\frac{V}{2 (V^{2} + 2)} \frac{d V}{d x} = - \frac{V}{2 (V^{2} + 2)} \cdot \frac{2 (V^{2} + 2) \cdot 1}{V x}$

ステップ 7.1.5.3

$V$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.5.3.1

$- \frac{V}{2 (V^{2} + 2)}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{V}{2 (V^{2} + 2)} \frac{d V}{d x} = \frac{- V}{2 (V^{2} + 2)} \cdot \frac{2 (V^{2} + 2) \cdot 1}{V x}$

ステップ 7.1.5.3.2

$V$ を $- V$ で因数分解します。

$\frac{V}{2 (V^{2} + 2)} \frac{d V}{d x} = \frac{V \cdot - 1}{2 (V^{2} + 2)} \cdot \frac{2 (V^{2} + 2) \cdot 1}{V x}$

ステップ 7.1.5.3.3

$V$ を $V x$ で因数分解します。

$\frac{V}{2 (V^{2} + 2)} \frac{d V}{d x} = \frac{V \cdot - 1}{2 (V^{2} + 2)} \cdot \frac{2 (V^{2} + 2) \cdot 1}{V (x)}$

ステップ 7.1.5.3.4

共通因数を約分します。

$\frac{V}{2 (V^{2} + 2)} \frac{d V}{d x} = \frac{V \cdot - 1}{2 (V^{2} + 2)} \cdot \frac{2 (V^{2} + 2) \cdot 1}{V x}$

ステップ 7.1.5.3.5

式を書き換えます。

$\frac{V}{2 (V^{2} + 2)} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{2 (V^{2} + 2)} \cdot \frac{2 (V^{2} + 2) \cdot 1}{x}$

ステップ 7.1.5.4

$2 (V^{2} + 2)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.5.4.1

$2 (V^{2} + 2)$ を $2 (V^{2} + 2) \cdot 1$ で因数分解します。

$\frac{V}{2 (V^{2} + 2)} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{2 (V^{2} + 2)} \cdot \frac{2 (V^{2} + 2) (1)}{x}$

ステップ 7.1.5.4.2

共通因数を約分します。

$\frac{V}{2 (V^{2} + 2)} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{2 (V^{2} + 2)} \cdot \frac{2 (V^{2} + 2) \cdot 1}{x}$

ステップ 7.1.5.4.3

式を書き換えます。

$\frac{V}{2 (V^{2} + 2)} \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{x}$

ステップ 7.1.6

方程式を書き換えます。

$\frac{V}{2 (V^{2} + 2)} d V = - \frac{1}{x} d x$

ステップ 7.2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{V}{2 (V^{2} + 2)} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 7.2.2

左辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1

$\frac{1}{2}$ は $V$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int \frac{V}{V^{2} + 2} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 7.2.2.2

$u = V^{2} + 2$ とします。次に $d u = 2 V d V$ すると、 $\frac{1}{2} d u = V d V$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.2.1

$u = V^{2} + 2$ とします。 $\frac{d u}{d V}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.2.1.1

$V^{2} + 2$ を微分します。

$\frac{d}{d V} [V^{2} + 2]$

ステップ 7.2.2.2.1.2

総和則では、 $V^{2} + 2$ の $V$ に関する積分は $\frac{d}{d V} [V^{2}] + \frac{d}{d V} [2]$ です。

$\frac{d}{d V} [V^{2}] + \frac{d}{d V} [2]$

ステップ 7.2.2.2.1.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ は $n V^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 V + \frac{d}{d V} [2]$

ステップ 7.2.2.2.1.4

$2$ は $V$ について定数なので、 $V$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$2 V + 0$

ステップ 7.2.2.2.1.5

$2 V$ と $0$ をたし算します。

$2 V$

ステップ 7.2.2.2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 7.2.2.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.3.1

$\frac{1}{u}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 7.2.2.3.2

$2$ を $u$ の左に移動させます。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{2 u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 7.2.2.4

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 7.2.2.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.5.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\frac{1}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 7.2.2.5.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 7.2.2.6

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$\frac{1}{4} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 7.2.2.7

簡約します。

$\frac{1}{4} \ln (| u |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 7.2.2.8

$u$ のすべての発生を $V^{2} + 2$ で置き換えます。

$\frac{1}{4} \ln (| V^{2} + 2 |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 7.2.3

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{4} \ln (| V^{2} + 2 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 7.2.3.2

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$\frac{1}{4} \ln (| V^{2} + 2 |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

ステップ 7.2.3.3

簡約します。

$\frac{1}{4} \ln (| V^{2} + 2 |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

ステップ 7.2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\frac{1}{4} \ln (| V^{2} + 2 |) = - \ln (| x |) + C$

ステップ 7.3

$V$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1

方程式の両辺に $4$ を掛けます。

$4 (\frac{1}{4} \ln (| V^{2} + 2 |)) = 4 (- \ln (| x |) + C)$

ステップ 7.3.2

方程式の両辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.2.1.1

$4 (\frac{1}{4} \ln (| V^{2} + 2 |))$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.2.1.1.1

$\frac{1}{4}$ と $\ln (| V^{2} + 2 |)$ をまとめます。

$4 \frac{\ln (| V^{2} + 2 |)}{4} = 4 (- \ln (| x |) + C)$

ステップ 7.3.2.1.1.2

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$4 \frac{\ln (| V^{2} + 2 |)}{4} = 4 (- \ln (| x |) + C)$

ステップ 7.3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$\ln (| V^{2} + 2 |) = 4 (- \ln (| x |) + C)$

ステップ 7.3.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.2.2.1

$4 (- \ln (| x |) + C)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.2.2.1.1

分配則を当てはめます。

$\ln (| V^{2} + 2 |) = 4 (- \ln (| x |)) + 4 C$

ステップ 7.3.2.2.1.2

$- 1$ に $4$ をかけます。

$\ln (| V^{2} + 2 |) = - 4 \ln (| x |) + 4 C$

ステップ 7.3.3

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$\ln (| V^{2} + 2 |) + 4 \ln (| x |) = 4 C$

ステップ 7.3.4

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.4.1

$\ln (| V^{2} + 2 |) + 4 \ln (| x |)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.4.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.4.1.1.1

対数の中の $4$ を移動させて $4 \ln (| x |)$ を簡約します。

$\ln (| V^{2} + 2 |) + \ln ({| x |}^{4}) = 4 C$

ステップ 7.3.4.1.1.2

偶数乗をもつ累乗法は常に正なので、 ${| x |}^{4}$ の絶対値を削除します。

$\ln (| V^{2} + 2 |) + \ln (x^{4}) = 4 C$

ステップ 7.3.4.1.2

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$\ln (| V^{2} + 2 | x^{4}) = 4 C$

ステップ 7.3.4.1.3

$\ln (| V^{2} + 2 | x^{4})$ の因数を並べ替えます。

$\ln (x^{4} | V^{2} + 2 |) = 4 C$

ステップ 7.3.5

$V$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (x^{4} | V^{2} + 2 |)} = e^{4 C}$

ステップ 7.3.6

対数の定義を利用して $\ln (x^{4} | V^{2} + 2 |) = 4 C$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{4 C} = x^{4} | V^{2} + 2 |$

ステップ 7.3.7

$V$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.7.1

方程式を $x^{4} | V^{2} + 2 | = e^{4 C}$ として書き換えます。

$x^{4} | V^{2} + 2 | = e^{4 C}$

ステップ 7.3.7.2

$x^{4} | V^{2} + 2 | = e^{4 C}$ の各項を $x^{4}$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.7.2.1

$x^{4} | V^{2} + 2 | = e^{4 C}$ の各項を $x^{4}$ で割ります。

$\frac{x^{4} | V^{2} + 2 |}{x^{4}} = \frac{e^{4 C}}{x^{4}}$

ステップ 7.3.7.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.7.2.2.1

$x^{4}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.7.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x^{4} | V^{2} + 2 |}{x^{4}} = \frac{e^{4 C}}{x^{4}}$

ステップ 7.3.7.2.2.1.2

$| V^{2} + 2 |$ を $1$ で割ります。

$| V^{2} + 2 | = \frac{e^{4 C}}{x^{4}}$

ステップ 7.3.7.3

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$V^{2} + 2 = \pm \frac{e^{4 C}}{x^{4}}$

ステップ 7.3.7.4

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$V^{2} = \pm \frac{e^{4 C}}{x^{4}} - 2$

ステップ 7.3.7.5

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$V = \pm \sqrt{\pm \frac{e^{4 C}}{x^{4}} - 2}$

ステップ 7.4

定数項をまとめます。

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ステップ 7.4.1

積分定数を簡約します。

$V = \pm \sqrt{\pm \frac{C}{x^{4}} - 2}$

ステップ 7.4.2

定数を正または負でまとめます。

$V = \pm \sqrt{C \frac{1}{x^{4}} - 2}$

ステップ 8

$\frac{y}{x}$ を $V$ に代入します。

$\frac{y}{x} = \pm \sqrt{C \frac{1}{x^{4}} - 2}$

ステップ 9

$y$ について $\frac{y}{x} = \pm \sqrt{C \frac{1}{x^{4}} - 2}$ を解きます。

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ステップ 9.1

両辺に $x$ を掛けます。

$\frac{y}{x} x = (\pm \sqrt{C (\frac{1}{x^{4}}) - 2}) x$

ステップ 9.2

簡約します。

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ステップ 9.2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 9.2.1.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y}{x} x = (\pm \sqrt{C (\frac{1}{x^{4}}) - 2}) x$

ステップ 9.2.1.1.2

式を書き換えます。

$y = (\pm \sqrt{C (\frac{1}{x^{4}}) - 2}) x$

ステップ 9.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 9.2.2.1

$(\pm \sqrt{C (\frac{1}{x^{4}}) - 2}) x$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.2.1.1

$C$ と $\frac{1}{x^{4}}$ をまとめます。

$y = (\pm \sqrt{\frac{C}{x^{4}} - 2}) x$

ステップ 9.2.2.1.2

$- 2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x^{4}}{x^{4}}$ を掛けます。

$y = (\pm \sqrt{\frac{C}{x^{4}} - 2 \cdot \frac{x^{4}}{x^{4}}}) x$

ステップ 9.2.2.1.3

$- 2$ と $\frac{x^{4}}{x^{4}}$ をまとめます。

$y = (\pm \sqrt{\frac{C}{x^{4}} + \frac{- 2 x^{4}}{x^{4}}}) x$

ステップ 9.2.2.1.4

公分母の分子をまとめます。

$y = (\pm \sqrt{\frac{C - 2 x^{4}}{x^{4}}}) x$

ステップ 9.2.2.1.5

$\frac{C - 2 x^{4}}{x^{4}}$ を ${(\frac{1}{x^{2}})}^{2} (C - 2 x^{4})$ に書き換えます。

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ステップ 9.2.2.1.5.1

$C - 2 x^{4}$ から完全累乗 $1^{2}$ を因数分解します。

$y = (\pm \sqrt{\frac{1^{2} (C - 2 x^{4})}{x^{4}}}) x$

ステップ 9.2.2.1.5.2

$x^{4}$ から完全累乗 ${(x^{2})}^{2}$ を因数分解します。

$y = (\pm \sqrt{\frac{1^{2} (C - 2 x^{4})}{{(x^{2})}^{2} \cdot 1}}) x$

ステップ 9.2.2.1.5.3

分数 $\frac{1^{2} (C - 2 x^{4})}{{(x^{2})}^{2} \cdot 1}$ を並べ替えます。

$y = (\pm \sqrt{{(\frac{1}{x^{2}})}^{2} (C - 2 x^{4})}) x$

ステップ 9.2.2.1.6

累乗根の下から項を取り出します。

$y = (\pm \frac{1}{x^{2}} \sqrt{C - 2 x^{4}}) x$

ステップ 9.2.2.1.7

$\frac{1}{x^{2}}$ と $\sqrt{C - 2 x^{4}}$ をまとめます。

$y = (\pm \frac{\sqrt{C - 2 x^{4}}}{x^{2}}) x$

微分積分 例

微分積分例