微分積分例

$(x^{2} - 1) \frac{d y}{d x} + 2 x y = x$

ステップ 1

方程式の左辺は項 $(x^{2} - 1) y$ の微分係数の結果か確認します。

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ステップ 1.1

$f (x) = x^{2} - 1$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$(x^{2} - 1) y' + y \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

ステップ 1.3

総和則では、 $x^{2} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$(x^{2} - 1) y' + y (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 1.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(x^{2} - 1) y' + y (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 1.5

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$(x^{2} - 1) y' + y (2 x + 0)$

ステップ 1.6

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$(x^{2} - 1) y' + y (2 x)$

ステップ 1.7

$\frac{d y}{d x}$ を $y'$ に代入します。

$(x^{2} - 1) \frac{d y}{d x} + y (2 x)$

ステップ 1.8

括弧を削除します。

$(x^{2} - 1) \frac{d y}{d x} + y \cdot 2 x$

ステップ 1.9

$y$ を移動させます。

$(x^{2} - 1) \frac{d y}{d x} + 2 x y$

ステップ 2

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [(x^{2} - 1) y] = x$

ステップ 3

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [(x^{2} - 1) y] d x = \int x d x$

ステップ 4

左辺を積分します。

$(x^{2} - 1) y = \int x d x$

ステップ 5

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$(x^{2} - 1) y = \frac{1}{2} x^{2} + C$

ステップ 6

$(x^{2} - 1) y = \frac{1}{2} x^{2} + C$ の各項を $x^{2} - 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.1

$(x^{2} - 1) y = \frac{1}{2} x^{2} + C$ の各項を $x^{2} - 1$ で割ります。

$\frac{(x^{2} - 1) y}{x^{2} - 1} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{x^{2} - 1} + \frac{C}{x^{2} - 1}$

ステップ 6.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.2.1

$x^{2} - 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{(x^{2} - 1) y}{x^{2} - 1} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{x^{2} - 1} + \frac{C}{x^{2} - 1}$

ステップ 6.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{x^{2} - 1} + \frac{C}{x^{2} - 1}$

ステップ 6.3

右辺を簡約します。

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ステップ 6.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.3.1.1

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$y = \frac{\frac{x^{2}}{2}}{x^{2} - 1} + \frac{C}{x^{2} - 1}$

ステップ 6.3.1.2

分母を簡約します。

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ステップ 6.3.1.2.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{\frac{x^{2}}{2}}{x^{2} - 1^{2}} + \frac{C}{x^{2} - 1}$

ステップ 6.3.1.2.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$y = \frac{\frac{x^{2}}{2}}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{C}{x^{2} - 1}$

ステップ 6.3.1.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$y = \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{C}{x^{2} - 1}$

ステップ 6.3.1.4

まとめる。

$y = \frac{x^{2} \cdot 1}{2 ((x + 1) (x - 1))} + \frac{C}{x^{2} - 1}$

ステップ 6.3.1.5

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{x^{2}}{2 (x + 1) (x - 1)} + \frac{C}{x^{2} - 1}$

ステップ 6.3.1.6

分母を簡約します。

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ステップ 6.3.1.6.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{x^{2}}{2 (x + 1) (x - 1)} + \frac{C}{x^{2} - 1^{2}}$

ステップ 6.3.1.6.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$y = \frac{x^{2}}{2 (x + 1) (x - 1)} + \frac{C}{(x + 1) (x - 1)}$

微分積分 例

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