微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (\ln (y) - \ln (x) + 1)}{x}$

ステップ 1

微分方程式を $\frac{y}{x}$ の関数で書き換えます。

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ステップ 1.1

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (\ln (\frac{y}{x}) + 1)}{x}$

ステップ 1.2

$\frac{y (\ln (\frac{y}{x}) + 1)}{x}$ から $\frac{y}{x}$ を因数分解します。

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ステップ 1.2.1

$\frac{y}{x}$ を $\frac{y (\ln (\frac{y}{x}) + 1)}{x}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} (\ln (\frac{y}{x}) + 1)$

ステップ 1.2.2

$\frac{y}{x}$ と $\ln (\frac{y}{x}) + 1$ を並べ替えます。

$\frac{d y}{d x} = (\ln (\frac{y}{x}) + 1) \frac{y}{x}$

ステップ 2

$V = \frac{y}{x}$ とします。 $V$ を $\frac{y}{x}$ に代入します。

$\frac{d y}{d x} = (\ln (V) + 1) V$

ステップ 3

$y$ について $V = \frac{y}{x}$ を解きます。

$y = V x$

ステップ 4

積の法則を利用し、 $x$ について $y = V x$ の微分係数を求めます。

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

ステップ 5

$x \frac{d V}{d x} + V$ を $\frac{d y}{d x}$ に代入します。

$x \frac{d V}{d x} + V = (\ln (V) + 1) V$

ステップ 6

代入された微分方程式の解を解きます。

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ステップ 6.1

変数を分けます。

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ステップ 6.1.1

$\frac{d V}{d x}$ について解きます。

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ステップ 6.1.1.1

$(\ln (V) + 1) V$ を簡約します。

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ステップ 6.1.1.1.1

書き換えます。

$x \frac{d V}{d x} + V = 0 + 0 + (\ln (V) + 1) V$

ステップ 6.1.1.1.2

0を加えて簡約します。

$x \frac{d V}{d x} + V = (\ln (V) + 1) V$

ステップ 6.1.1.1.3

分配則を当てはめます。

$x \frac{d V}{d x} + V = \ln (V) V + 1 V$

ステップ 6.1.1.1.4

式を簡約します。

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ステップ 6.1.1.1.4.1

$V$ に $1$ をかけます。

$x \frac{d V}{d x} + V = \ln (V) V + V$

ステップ 6.1.1.1.4.2

$\ln (V) V + V$ の因数を並べ替えます。

$x \frac{d V}{d x} + V = V \ln (V) + V$

ステップ 6.1.1.2

$\frac{d V}{d x}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 6.1.1.2.1

方程式の両辺から $V$ を引きます。

$x \frac{d V}{d x} = V \ln (V) + V - V$

ステップ 6.1.1.2.2

$V \ln (V) + V - V$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 6.1.1.2.2.1

$V$ から $V$ を引きます。

$x \frac{d V}{d x} = V \ln (V) + 0$

ステップ 6.1.1.2.2.2

$V \ln (V)$ と $0$ をたし算します。

$x \frac{d V}{d x} = V \ln (V)$

ステップ 6.1.1.3

$x \frac{d V}{d x} = V \ln (V)$ の各項を $x$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.1.1.3.1

$x \frac{d V}{d x} = V \ln (V)$ の各項を $x$ で割ります。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{V \ln (V)}{x}$

ステップ 6.1.1.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.1.1.3.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.1.1.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{V \ln (V)}{x}$

ステップ 6.1.1.3.2.1.2

$\frac{d V}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \ln (V)}{x}$

ステップ 6.1.2

両辺に $\frac{1}{V \ln (V)}$ を掛けます。

$\frac{1}{V \ln (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V \ln (V)} \cdot \frac{V \ln (V)}{x}$

ステップ 6.1.3

$V \ln (V)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{V \ln (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V \ln (V)} \cdot \frac{V \ln (V)}{x}$

ステップ 6.1.3.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{V \ln (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

ステップ 6.1.4

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{V \ln (V)} d V = \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2

両辺を積分します。

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ステップ 6.2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{V \ln (V)} d V = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2

左辺を積分します。

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ステップ 6.2.2.1

$u = \ln (V)$ とします。次に $d u = \frac{1}{V} d V$ すると、 $V d u = d V$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 6.2.2.1.1

$u = \ln (V)$ とします。 $\frac{d u}{d V}$ を求めます。

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ステップ 6.2.2.1.1.1

$\ln (V)$ を微分します。

$\frac{d}{d V} [\ln (V)]$

ステップ 6.2.2.1.1.2

$V$ に関する $\ln (V)$ の微分係数は $\frac{1}{V}$ です。

$\frac{1}{V}$

ステップ 6.2.2.1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.2

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$\ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.3

$u$ のすべての発生を $\ln (V)$ で置き換えます。

$\ln (| \ln (V) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.3

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$\ln (| \ln (V) |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

ステップ 6.2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\ln (| \ln (V) |) = \ln (| x |) + C$

ステップ 6.3

$V$ について解きます。

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ステップ 6.3.1

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$\ln (| \ln (V) |) - \ln (| x |) = C$

ステップ 6.3.2

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\ln (\frac{| \ln (V) |}{| x |}) = C$

ステップ 6.3.3

$V$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (\frac{| \ln (V) |}{| x |})} = e^{C}$

ステップ 6.3.4

対数の定義を利用して $\ln (\frac{| \ln (V) |}{| x |}) = C$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{C} = \frac{| \ln (V) |}{| x |}$

ステップ 6.3.5

$V$ について解きます。

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ステップ 6.3.5.1

方程式を $\frac{| \ln (V) |}{| x |} = e^{C}$ として書き換えます。

$\frac{| \ln (V) |}{| x |} = e^{C}$

ステップ 6.3.5.2

両辺に $| x |$ を掛けます。

$\frac{| \ln (V) |}{| x |} | x | = e^{C} | x |$

ステップ 6.3.5.3

左辺を簡約します。

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ステップ 6.3.5.3.1

$| x |$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.5.3.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{| \ln (V) |}{| x |} | x | = e^{C} | x |$

ステップ 6.3.5.3.1.2

式を書き換えます。

$| \ln (V) | = e^{C} | x |$

ステップ 6.3.5.4

$V$ について解きます。

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ステップ 6.3.5.4.1

$e^{C} | x |$ の因数を並べ替えます。

$| \ln (V) | = | x | e^{C}$

ステップ 6.3.5.4.2

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$\ln (V) = \pm | x | e^{C}$

ステップ 6.3.5.4.3

$V$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (V)} = e^{\pm | x | e^{C}}$

ステップ 6.3.5.4.4

対数の定義を利用して $\ln (V) = \pm | x | e^{C}$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{\pm | x | e^{C}} = V$

ステップ 6.3.5.4.5

$V$ について解きます。

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ステップ 6.3.5.4.5.1

方程式を $V = e^{\pm | x | e^{C}}$ として書き換えます。

$V = e^{\pm | x | e^{C}}$

ステップ 6.3.5.4.5.2

$e^{\pm | x | e^{C}}$ の因数を並べ替えます。

$V = e^{\pm e^{C} | x |}$

ステップ 6.4

定数項をまとめます。

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ステップ 6.4.1

積分定数を簡約します。

$V = e^{\pm C | x |}$

ステップ 6.4.2

定数を正または負でまとめます。

$V = e^{C | x |}$

ステップ 7

$\frac{y}{x}$ を $V$ に代入します。

$\frac{y}{x} = e^{C | x |}$

ステップ 8

$y$ について $\frac{y}{x} = e^{C | x |}$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

両辺に $x$ を掛けます。

$\frac{y}{x} x = e^{C | x |} x$

ステップ 8.2

簡約します。

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ステップ 8.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y}{x} x = e^{C | x |} x$

ステップ 8.2.1.1.2

式を書き換えます。

$y = e^{C | x |} x$

ステップ 8.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 8.2.2.1

$e^{C | x |} x$ の因数を並べ替えます。

$y = x e^{C | x |}$

微分積分 例

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