微分積分例

$x (1 - y) \frac{d y}{d x} + (1 - x) y = 0$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

$\frac{d y}{d x}$ について解きます。

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ステップ 1.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.1.1

分配則を当てはめます。

$(x \cdot 1 + x (- y)) \frac{d y}{d x} + (1 - x) y = 0$

ステップ 1.1.1.2

$x$ に $1$ をかけます。

$(x + x (- y)) \frac{d y}{d x} + (1 - x) y = 0$

ステップ 1.1.1.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$(x - x y) \frac{d y}{d x} + (1 - x) y = 0$

ステップ 1.1.1.4

分配則を当てはめます。

$x \frac{d y}{d x} - x y \frac{d y}{d x} + (1 - x) y = 0$

ステップ 1.1.1.5

分配則を当てはめます。

$x \frac{d y}{d x} - x y \frac{d y}{d x} + 1 y - x y = 0$

ステップ 1.1.1.6

$y$ に $1$ をかけます。

$x \frac{d y}{d x} - x y \frac{d y}{d x} + y - x y = 0$

ステップ 1.1.2

$\frac{d y}{d x}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 1.1.2.1

方程式の両辺から $y$ を引きます。

$x \frac{d y}{d x} - x y \frac{d y}{d x} - x y = - y$

ステップ 1.1.2.2

方程式の両辺に $x y$ を足します。

$x \frac{d y}{d x} - x y \frac{d y}{d x} = - y + x y$

ステップ 1.1.3

$x \frac{d y}{d x}$ を $x \frac{d y}{d x} - x y \frac{d y}{d x}$ で因数分解します。

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ステップ 1.1.3.1

$x \frac{d y}{d x}$ を $x \frac{d y}{d x}$ で因数分解します。

$x \frac{d y}{d x} \cdot 1 - x y \frac{d y}{d x} = - y + x y$

ステップ 1.1.3.2

$x \frac{d y}{d x}$ を $- x y \frac{d y}{d x}$ で因数分解します。

$x \frac{d y}{d x} \cdot 1 + x \frac{d y}{d x} (- 1 y) = - y + x y$

ステップ 1.1.3.3

$x \frac{d y}{d x}$ を $x \frac{d y}{d x} \cdot 1 + x \frac{d y}{d x} (- 1 y)$ で因数分解します。

$x \frac{d y}{d x} (1 - 1 y) = - y + x y$

ステップ 1.1.4

$- 1 y$ を $- y$ に書き換えます。

$x \frac{d y}{d x} (1 - y) = - y + x y$

ステップ 1.1.5

$x \frac{d y}{d x} (1 - y) = - y + x y$ の各項を $x (1 - y)$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.1.5.1

$x \frac{d y}{d x} (1 - y) = - y + x y$ の各項を $x (1 - y)$ で割ります。

$\frac{x \frac{d y}{d x} (1 - y)}{x (1 - y)} = \frac{- y}{x (1 - y)} + \frac{x y}{x (1 - y)}$

ステップ 1.1.5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.1.5.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x \frac{d y}{d x} (1 - y)}{x (1 - y)} = \frac{- y}{x (1 - y)} + \frac{x y}{x (1 - y)}$

ステップ 1.1.5.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{\frac{d y}{d x} (1 - y)}{1 - y} = \frac{- y}{x (1 - y)} + \frac{x y}{x (1 - y)}$

ステップ 1.1.5.2.2

$1 - y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.5.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{d y}{d x} (1 - y)}{1 - y} = \frac{- y}{x (1 - y)} + \frac{x y}{x (1 - y)}$

ステップ 1.1.5.2.2.2

$\frac{d y}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} = \frac{- y}{x (1 - y)} + \frac{x y}{x (1 - y)}$

ステップ 1.1.5.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.1.5.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.5.3.1.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x (1 - y)} + \frac{x y}{x (1 - y)}$

ステップ 1.1.5.3.1.2

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.5.3.1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x (1 - y)} + \frac{x y}{x (1 - y)}$

ステップ 1.1.5.3.1.2.2

式を書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x (1 - y)} + \frac{y}{1 - y}$

ステップ 1.1.5.3.2

$\frac{y}{1 - y}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x}{x}$ を掛けます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x (1 - y)} + \frac{y}{1 - y} \cdot \frac{x}{x}$

ステップ 1.1.5.3.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $x (1 - y)$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 1.1.5.3.3.1

$\frac{y}{1 - y}$ に $\frac{x}{x}$ をかけます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x (1 - y)} + \frac{y x}{(1 - y) x}$

ステップ 1.1.5.3.3.2

$(1 - y) x$ の因数を並べ替えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x (1 - y)} + \frac{y x}{x (1 - y)}$

ステップ 1.1.5.3.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{- y + y x}{x (1 - y)}$

ステップ 1.1.5.3.5

$y$ を $- y + y x$ で因数分解します。

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ステップ 1.1.5.3.5.1

$y$ を $- y$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot - 1 + y x}{x (1 - y)}$

ステップ 1.1.5.3.5.2

$y$ を $y x$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot - 1 + y (x)}{x (1 - y)}$

ステップ 1.1.5.3.5.3

$y$ を $y \cdot - 1 + y (x)$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- 1 + x)}{x (1 - y)}$

ステップ 1.1.5.3.6

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- 1 (1) + x)}{x (1 - y)}$

ステップ 1.1.5.3.7

$- 1$ を $x$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- 1 (1) - 1 (- x))}{x (1 - y)}$

ステップ 1.1.5.3.8

$- 1$ を $- 1 (1) - 1 (- x)$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- 1 (1 - x))}{x (1 - y)}$

ステップ 1.1.5.3.9

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (1 - x)}{x (1 - y)}$

ステップ 1.2

因数をもう一度まとめます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{1 - y} \cdot \frac{1 - x}{x}$

ステップ 1.3

両辺に $\frac{1 - y}{y}$ を掛けます。

$\frac{1 - y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 - y}{y} (- \frac{y}{1 - y} \cdot \frac{1 - x}{x})$

ステップ 1.4

簡約します。

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ステップ 1.4.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{1 - y}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1 - y}{y} (\frac{y}{1 - y} \cdot \frac{1 - x}{x})$

ステップ 1.4.2

$\frac{y}{1 - y}$ に $\frac{1 - x}{x}$ をかけます。

$\frac{1 - y}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1 - y}{y} \cdot \frac{y (1 - x)}{(1 - y) x}$

ステップ 1.4.3

$1 - y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.3.1

$- \frac{1 - y}{y}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{1 - y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- (1 - y)}{y} \cdot \frac{y (1 - x)}{(1 - y) x}$

ステップ 1.4.3.2

$1 - y$ を $- (1 - y)$ で因数分解します。

$\frac{1 - y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y) \cdot - 1}{y} \cdot \frac{y (1 - x)}{(1 - y) x}$

ステップ 1.4.3.3

$1 - y$ を $(1 - y) x$ で因数分解します。

$\frac{1 - y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y) \cdot - 1}{y} \cdot \frac{y (1 - x)}{(1 - y) (x)}$

ステップ 1.4.3.4

共通因数を約分します。

$\frac{1 - y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y) \cdot - 1}{y} \cdot \frac{y (1 - x)}{(1 - y) x}$

ステップ 1.4.3.5

式を書き換えます。

$\frac{1 - y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} \cdot \frac{y (1 - x)}{x}$

ステップ 1.4.4

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{1 - y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} \cdot \frac{y (1 - x)}{x}$

ステップ 1.4.4.2

式を書き換えます。

$\frac{1 - y}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1 - x}{x}$

ステップ 1.5

方程式を書き換えます。

$\frac{1 - y}{y} d y = - \frac{1 - x}{x} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1 - y}{y} d y = \int - \frac{1 - x}{x} d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

分数を複数の分数に分割します。

$\int \frac{1}{y} + \frac{- y}{y} d y = \int - \frac{1 - x}{x} d x$

ステップ 2.2.2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{- y}{y} d y = \int - \frac{1 - x}{x} d x$

ステップ 2.2.3

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.3.1

共通因数を約分します。

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{- y}{y} d y = \int - \frac{1 - x}{x} d x$

ステップ 2.2.3.2

$- 1$ を $1$ で割ります。

$\int \frac{1}{y} d y + \int - 1 d y = \int - \frac{1 - x}{x} d x$

ステップ 2.2.4

$\frac{1}{y}$ の $y$ に関する積分は $\ln (| y |)$ です。

$\ln (| y |) + C_{1} + \int - 1 d y = \int - \frac{1 - x}{x} d x$

ステップ 2.2.5

定数の法則を当てはめます。

$\ln (| y |) + C_{1} - y + C_{2} = \int - \frac{1 - x}{x} d x$

ステップ 2.2.6

簡約します。

$\ln (| y |) - y + C_{3} = \int - \frac{1 - x}{x} d x$

ステップ 2.2.7

項を並べ替えます。

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = \int - \frac{1 - x}{x} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - \int \frac{1 - x}{x} d x$

ステップ 2.3.2

$1$ と $- x$ を並べ替えます。

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - \int \frac{- x + 1}{x} d x$

ステップ 2.3.3

$- x + 1$ を $x$ で割ります。

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ステップ 2.3.3.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$0$

$x$

$1$

ステップ 2.3.3.2

被除数 $- x$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				-	$1$
	$x$	+	$0$	-	$x$	+	$1$

ステップ 2.3.3.3

新しい商の項に除数を掛けます。

			-	$1$
$x$	+	$0$	-	$x$	+	$1$
			-	$x$	+	$0$

ステップ 2.3.3.4

式は被除数から引く必要があるので、 $- x + 0$ の符号をすべて変更します。

			-	$1$
$x$	+	$0$	-	$x$	+	$1$
			+	$x$	-	$0$

ステップ 2.3.3.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

			-	$1$
$x$	+	$0$	-	$x$	+	$1$
			+	$x$	-	$0$
					+	$1$

ステップ 2.3.3.6

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - \int - 1 + \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.3.4

単一積分を複数積分に分割します。

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (\int - 1 d x + \int \frac{1}{x} d x)$

ステップ 2.3.5

定数の法則を当てはめます。

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (- x + C_{4} + \int \frac{1}{x} d x)$

ステップ 2.3.6

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (- x + C_{4} + \ln (| x |) + C_{5})$

ステップ 2.3.7

簡約します。

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (- x + \ln (| x |)) + C_{6}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$- y + \ln (| y |) = - (- x + \ln (| x |)) + C$

微分積分 例

微分積分例