微分積分例

$\sin (x) d y + y^{2} \cos (x) d x = 0$

ステップ 1

微分方程式を完全微分方程式法に合うように書き換えます。

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ステップ 1.1

書き換えます。

$y^{2} \cos (x) d x + \sin (x) d y = 0$

ステップ 2

$M (x, y) = y^{2} \cos (x)$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

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ステップ 2.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2} \cos (x)]$

ステップ 2.2

$\cos (x)$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $y^{2} \cos (x)$ の微分係数は $\cos (x) \frac{d}{d y} [y^{2}]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (x) \frac{d}{d y} [y^{2}]$

ステップ 2.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (x) (2 y)$

ステップ 2.4

並べ替えます。

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ステップ 2.4.1

$2$ を $\cos (x)$ の左に移動させます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 \cdot \cos (x) y$

ステップ 2.4.2

$2 \cos (x) y$ の因数を並べ替えます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y \cos (x)$

ステップ 3

$N (x, y) = \sin (x)$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

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ステップ 3.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 3.2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (x)$

ステップ 4

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

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ステップ 4.1

$2 y \cos (x)$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $\cos (x)$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$2 y \cos (x) = \cos (x)$

ステップ 4.2

方程式の左辺が右辺に等しくないので、方程式は恒等式ではありません。

$2 y \cos (x) = \cos (x)$ は恒等式ではありません。

ステップ 5

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ を求めます。

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ステップ 5.1

$\cos (x)$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$\frac{\cos (x) - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

ステップ 5.2

$2 y \cos (x)$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に代入します。

$\frac{\cos (x) - (2 y \cos (x))}{M}$

ステップ 5.3

$y^{2} \cos (x)$ を $M$ に代入します。

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ステップ 5.3.1

$y^{2} \cos (x)$ を $M$ に代入します。

$\frac{\cos (x) - (2 y \cos (x))}{y^{2} \cos (x)}$

ステップ 5.3.2

分子を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1

$\cos (x)$ を $\cos (x) - 1 \cdot 2 y \cos (x)$ で因数分解します。

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ステップ 5.3.2.1.1

$1$ を掛けます。

$\frac{\cos (x) \cdot 1 - 1 \cdot 2 y \cos (x)}{y^{2} \cos (x)}$

ステップ 5.3.2.1.2

$\cos (x)$ を $- 1 \cdot 2 y \cos (x)$ で因数分解します。

$\frac{\cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- 1 \cdot 2 y)}{y^{2} \cos (x)}$

ステップ 5.3.2.1.3

$\cos (x)$ を $\cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- 1 \cdot 2 y)$ で因数分解します。

$\frac{\cos (x) (1 - 1 \cdot 2 y)}{y^{2} \cos (x)}$

ステップ 5.3.2.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{\cos (x) (1 - 2 y)}{y^{2} \cos (x)}$

ステップ 5.3.3

$y^{2} \cos (x)$ を $M$ に代入します。

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ステップ 5.3.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{\cos (x) (1 - 2 y)}{y^{2} \cos (x)}$

ステップ 5.3.3.2

式を書き換えます。

$\frac{1 - 2 y}{y^{2}}$

ステップ 5.4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ を求めます。

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1 - 2 y}{y^{2}} d y}$

ステップ 6

積分 $e^{\int \frac{1 - 2 y}{y^{2}} d y}$ を求めます。

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ステップ 6.1

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 6.1.1

$y^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$μ (x, y) = e^{\int (1 - 2 y) {(y^{2})}^{- 1} d y}$

ステップ 6.1.2

${(y^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 6.1.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$μ (x, y) = e^{\int (1 - 2 y) y^{2 \cdot - 1} d y}$

ステップ 6.1.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$μ (x, y) = e^{\int (1 - 2 y) y^{- 2} d y}$

ステップ 6.2

$(1 - 2 y) y^{- 2}$ を掛けます。

$μ (x, y) = e^{\int 1 y^{- 2} - 2 y \cdot y^{- 2} d y}$

ステップ 6.3

簡約します。

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ステップ 6.3.1

$y^{- 2}$ に $1$ をかけます。

$μ (x, y) = e^{\int y^{- 2} - 2 y \cdot y^{- 2} d y}$

ステップ 6.3.2

指数を足して $y$ に $y^{- 2}$ を掛けます。

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ステップ 6.3.2.1

$y^{- 2}$ を移動させます。

$μ (x, y) = e^{\int y^{- 2} - 2 (y^{- 2} y) d y}$

ステップ 6.3.2.2

$y^{- 2}$ に $y$ をかけます。

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ステップ 6.3.2.2.1

$y$ を $1$ 乗します。

$μ (x, y) = e^{\int y^{- 2} - 2 (y^{- 2} y^{1}) d y}$

ステップ 6.3.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$μ (x, y) = e^{\int y^{- 2} - 2 y^{- 2 + 1} d y}$

ステップ 6.3.2.3

$- 2$ と $1$ をたし算します。

$μ (x, y) = e^{\int y^{- 2} - 2 y^{- 1} d y}$

ステップ 6.4

単一積分を複数積分に分割します。

$μ (x, y) = e^{\int y^{- 2} d y + \int - 2 y^{- 1} d y}$

ステップ 6.5

べき乗則では、 $y^{- 2}$ の $y$ に関する積分は $- y^{- 1}$ です。

$μ (x, y) = e^{- y^{- 1} + C + \int - 2 y^{- 1} d y}$

ステップ 6.6

$- 2$ は $y$ に対して定数なので、 $- 2$ を積分の外に移動させます。

$μ (x, y) = e^{- y^{- 1} + C - 2 \int y^{- 1} d y}$

ステップ 6.7

$y^{- 1}$ の $y$ に関する積分は $\ln (| y |)$ です。

$μ (x, y) = e^{- y^{- 1} + C - 2 (\ln (| y |) + C)}$

ステップ 6.8

簡約します。

$μ (x, y) = e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (| y |)} + C$

ステップ 6.9

各項を簡約します。

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ステップ 6.9.1

対数の中の $2$ を移動させて $- 2 \ln (| y |)$ を簡約します。

$μ (x, y) = e^{- \frac{1}{y} - \ln ({| y |}^{2})} + C$

ステップ 6.9.2

偶数乗をもつ累乗法は常に正なので、 ${| y |}^{2}$ の絶対値を削除します。

$μ (x, y) = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} + C$

ステップ 7

$y^{2} \cos (x) d x + \sin (x) d y = 0$ の両辺に積分因子 $e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})}$ を掛けます。

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ステップ 7.1

$y^{2} \cos (x)$ に $e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})}$ をかけます。

$y^{2} \cos (x) e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} d x + \sin (x) d y = 0$

ステップ 7.2

$y^{2} \cos (x) e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})}$ の因数を並べ替えます。

$y^{2} e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \cos (x) d x + \sin (x) d y = 0$

ステップ 7.3

$\sin (x)$ に $e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})}$ をかけます。

$y^{2} e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \cos (x) d x + \sin (x) e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} d y = 0$

ステップ 7.4

$\sin (x) e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})}$ の因数を並べ替えます。

$y^{2} e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \cos (x) d x + e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x) d y = 0$

ステップ 8

$f (x, y)$ は $M (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int y^{2} e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \cos (x) d x$

ステップ 9

$M (x, y) = y^{2} e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \cos (x)$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

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ステップ 9.1

$y^{2} e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \cos (x)$ を $y^{2} e^{- \frac{1}{y} - (2 \ln (y))} \cos (x)$ に書き換えます。

$f (x, y) = \int y^{2} e^{- \frac{1}{y} - (2 \ln (y))} \cos (x) d x$

ステップ 9.2

$y^{2} e^{- \frac{1}{y} - (2 \ln (y))}$ は $x$ に対して定数なので、 $y^{2} e^{- \frac{1}{y} - (2 \ln (y))}$ を積分の外に移動させます。

$f (x, y) = y^{2} e^{- \frac{1}{y} - (2 \ln (y))} \int \cos (x) d x$

ステップ 9.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f (x, y) = y^{2} e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \int \cos (x) d x$

ステップ 9.4

$\cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\sin (x)$ です。

$f (x, y) = y^{2} e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (\sin (x) + C)$

ステップ 9.5

簡約します。

$f (x, y) = y^{2} e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x) + C$

ステップ 10

$g (y)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (y)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = y^{2} e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x) + g (y)$

ステップ 11

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial y} = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

ステップ 12

$\frac{\partial f}{\partial y}$ を求めます。

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ステップ 12.1

$y$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [y^{2} e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x) + g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

ステップ 12.2

総和則では、 $y^{2} e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x) + g (y)$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [y^{2} e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x)] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ です。

$\frac{d}{d y} [y^{2} e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x)] + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

ステップ 12.3

$\frac{d}{d y} [y^{2} e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 12.3.1

$\sin (x)$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $y^{2} e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x)$ の微分係数は $\sin (x) \frac{d}{d y} [y^{2} e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)}]$ です。

$\sin (x) \frac{d}{d y} [y^{2} e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

ステップ 12.3.2

$f (y) = y^{2}$ および $g (y) = e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)}$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ は $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\sin (x) (y^{2} \frac{d}{d y} [e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)}] + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

ステップ 12.3.3

$f (y) = e^{y}$ および $g (y) = - \frac{1}{y} - 2 \ln (y)$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ は $f' (g (y)) g' (y)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 12.3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)$ とします。

$\sin (x) (y^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)]) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

ステップ 12.3.3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\sin (x) (y^{2} (e^{u} \frac{d}{d y} [- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)]) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

ステップ 12.3.3.3

$u$ のすべての発生を $- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)$ で置き換えます。

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \frac{d}{d y} [- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)]) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

ステップ 12.3.4

総和則では、 $- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [- \frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [- 2 \ln (y)]$ です。

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (\frac{d}{d y} [- \frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [- 2 \ln (y)])) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

ステップ 12.3.5

$f (y) = - 1$ および $g (y) = \frac{1}{y}$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ は $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (- \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{1}{y} \frac{d}{d y} [- 1] + \frac{d}{d y} [- 2 \ln (y)])) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

ステップ 12.3.6

$\frac{1}{y}$ を $y^{- 1}$ に書き換えます。

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (- \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{1}{y} \frac{d}{d y} [- 1] + \frac{d}{d y} [- 2 \ln (y)])) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

ステップ 12.3.7

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (- - y^{- 2} + \frac{1}{y} \frac{d}{d y} [- 1] + \frac{d}{d y} [- 2 \ln (y)])) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

ステップ 12.3.8

$- 1$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (- - y^{- 2} + \frac{1}{y} \cdot 0 + \frac{d}{d y} [- 2 \ln (y)])) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

ステップ 12.3.9

$- 2$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $- 2 \ln (y)$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d y} [\ln (y)]$ です。

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (- - y^{- 2} + \frac{1}{y} \cdot 0 - 2 \frac{d}{d y} [\ln (y)])) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

ステップ 12.3.10

$y$ に関する $\ln (y)$ の微分係数は $\frac{1}{y}$ です。

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (- - y^{- 2} + \frac{1}{y} \cdot 0 - 2 \frac{1}{y})) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

ステップ 12.3.11

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (- - y^{- 2} + \frac{1}{y} \cdot 0 - 2 \frac{1}{y})) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

ステップ 12.3.12

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (1 y^{- 2} + \frac{1}{y} \cdot 0 - 2 \frac{1}{y})) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

ステップ 12.3.13

$y^{- 2}$ に $1$ をかけます。

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (y^{- 2} + \frac{1}{y} \cdot 0 - 2 \frac{1}{y})) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

ステップ 12.3.14

$\frac{1}{y}$ に $0$ をかけます。

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (y^{- 2} + 0 - 2 \frac{1}{y})) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

ステップ 12.3.15

$y^{- 2}$ と $0$ をたし算します。

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (y^{- 2} - 2 \frac{1}{y})) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

ステップ 12.3.16

$- 2$ と $\frac{1}{y}$ をまとめます。

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (y^{- 2} + \frac{- 2}{y})) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

ステップ 12.3.17

分数の前に負数を移動させます。

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (y^{- 2} - \frac{2}{y})) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

ステップ 12.4

$g (y)$ の微分係数は $\frac{d g}{d y}$ であるという関数の規則を使って微分します。

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (y^{- 2} - \frac{2}{y})) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (2 y)) + \frac{d g}{d y} = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

ステップ 12.5

簡約します。

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ステップ 12.5.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y})) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (2 y)) + \frac{d g}{d y} = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

ステップ 12.5.2

分配則を当てはめます。

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y}))) + \sin (x) (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (2 y)) + \frac{d g}{d y} = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

ステップ 12.5.3

括弧を削除します。

$\sin (x) y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y})) + \sin (x) e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (2 y) + \frac{d g}{d y} = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

ステップ 12.5.4

項を並べ替えます。

$\frac{d g}{d y} + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y^{2} \sin (x) (\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y}) + 2 e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y \sin (x) = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

ステップ 12.5.5

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.5.5.1

分配則を当てはめます。

$\frac{d g}{d y} + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y^{2} \sin (x) \frac{1}{y^{2}} + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y^{2} \sin (x) (- \frac{2}{y}) + 2 e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y \sin (x) = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

ステップ 12.5.5.2

$y^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.5.5.2.1

$y^{2}$ を $e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y^{2} \sin (x)$ で因数分解します。

$\frac{d g}{d y} + y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x)) \frac{1}{y^{2}} + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y^{2} \sin (x) (- \frac{2}{y}) + 2 e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y \sin (x) = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

ステップ 12.5.5.2.2

共通因数を約分します。

ステップ 12.5.5.2.3

式を書き換えます。

$\frac{d g}{d y} + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y^{2} \sin (x) (- \frac{2}{y}) + 2 e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y \sin (x) = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

ステップ 12.5.5.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{d g}{d y} + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x) - e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y^{2} \sin (x) \frac{2}{y} + 2 e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y \sin (x) = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

ステップ 12.5.5.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.5.5.4.1

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.5.5.4.1.1

$y$ を $- e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y^{2} \sin (x)$ で因数分解します。

$\frac{d g}{d y} + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x) + y (- e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y \sin (x)) \frac{2}{y} + 2 e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y \sin (x) = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

ステップ 12.5.5.4.1.2

共通因数を約分します。

ステップ 12.5.5.4.1.3

式を書き換えます。

$\frac{d g}{d y} + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x) - e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y \sin (x) \cdot 2 + 2 e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y \sin (x) = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

ステップ 12.5.5.4.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{d g}{d y} + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x) - 2 e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y \sin (x) + 2 e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y \sin (x) = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

ステップ 12.5.6

$\frac{d g}{d y} + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x) - 2 e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y \sin (x) + 2 e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y \sin (x)$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.5.6.1

$- 2 e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y \sin (x)$ と $2 e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y \sin (x)$ をたし算します。

$\frac{d g}{d y} + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x) + 0 = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

ステップ 12.5.6.2

$\frac{d g}{d y} + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x)$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d g}{d y} + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x) = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

ステップ 13

$\frac{d g}{d y}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

$\frac{d g}{d y}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.1

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x) - e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x) = - \frac{d g}{d y}$

ステップ 13.1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.2.1

$e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x) - e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.2.1.1

対数の中の $2$ を移動させて $- 2 \ln (y)$ を簡約します。

$e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x) - e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x) = - \frac{d g}{d y}$

ステップ 13.1.2.1.2

$e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$ から $e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$ を引きます。

$0 = - \frac{d g}{d y}$

ステップ 13.1.3

$\frac{d g}{d y}$ が方程式の右辺にあるので、両辺を入れ替えると左辺になります。

$- \frac{d g}{d y} = 0$

ステップ 13.1.4

$- \frac{d g}{d y} = 0$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.4.1

$- \frac{d g}{d y} = 0$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- \frac{d g}{d y}}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

ステップ 13.1.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.4.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{\frac{d g}{d y}}{1} = \frac{0}{- 1}$

ステップ 13.1.4.2.2

$\frac{d g}{d y}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d g}{d y} = \frac{0}{- 1}$

ステップ 13.1.4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.4.3.1

$0$ を $- 1$ で割ります。

$\frac{d g}{d y} = 0$

ステップ 14

$0$ の不定積分を求めて $g (y)$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1

$\frac{d g}{d y} = 0$ の両辺を積分します。

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 0 d y$

ステップ 14.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ の値を求めます。

$g (y) = \int 0 d y$

ステップ 14.3

$0$ の $y$ に関する積分は $0$ です。

$g (y) = 0 + C$

ステップ 14.4

$0$ と $C$ をたし算します。

$g (y) = C$

ステップ 15

$f (x, y) = y^{2} e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x) + g (y)$ の $g (y)$ に代入します。

$f (x, y) = y^{2} e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x) + C$

ステップ 16

対数の中の $2$ を移動させて $- 2 \ln (y)$ を簡約します。

$f (x, y) = y^{2} e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x) + C$

微分積分 例

微分積分例