微分積分例

$y d x - 2 (x + y) d y = 0$

ステップ 1

$M (x, y) = y$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 1.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

ステップ 2

$N (x, y) = - 2 (x + y)$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- 2 (x + y)]$

ステップ 2.2

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 (x + y)$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x + y]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 \frac{d}{d x} [x + y]$

ステップ 2.3

総和則では、 $x + y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 (1 + \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 2.5

$y$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $y$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 (1 + 0)$

ステップ 2.6

式を簡約します。

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ステップ 2.6.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 \cdot 1$

ステップ 2.6.2

$- 2$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2$

ステップ 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

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ステップ 3.1

$1$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $- 2$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$1 = - 2$

ステップ 3.2

方程式の左辺が右辺に等しくないので、方程式は恒等式ではありません。

$1 = - 2$ は恒等式ではありません。

ステップ 4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ を求めます。

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ステップ 4.1

$- 2$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$\frac{- 2 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

ステップ 4.2

$1$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に代入します。

$\frac{- 2 - 1}{M}$

ステップ 4.3

$y$ を $M$ に代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$y$ を $M$ に代入します。

$\frac{- 2 - 1}{y}$

ステップ 4.3.2

$- 2$ から $1$ を引きます。

$\frac{- 3}{y}$

ステップ 4.3.3

$y$ を $M$ に代入します。

$- \frac{3}{y}$

ステップ 4.4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ を求めます。

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{3}{y} d y}$

ステップ 5

積分 $e^{\int - \frac{3}{y} d y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{3}{y} d y}$

ステップ 5.2

$3$ は $y$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$μ (x, y) = e^{- (3 \int \frac{1}{y} d y)}$

ステップ 5.3

$3$ に $- 1$ をかけます。

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{y} d y}$

ステップ 5.4

$\frac{1}{y}$ の $y$ に関する積分は $\ln (| y |)$ です。

$μ (x, y) = e^{- 3 (\ln (| y |) + C)}$

ステップ 5.5

簡約します。

$μ (x, y) = e^{- 3 \ln (| y |)} + C$

ステップ 5.6

各項を簡約します。

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ステップ 5.6.1

対数の中の $- 3$ を移動させて $- 3 \ln (| y |)$ を簡約します。

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 3})} + C$

ステップ 5.6.2

指数関数と対数関数は逆関数です。

$μ (x, y) = {| y |}^{- 3} + C$

ステップ 5.6.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$μ (x, y) = \frac{1}{{| y |}^{3}} + C$

ステップ 6

$y d x - 2 (x + y) d y = 0$ の両辺に積分因子 $\frac{1}{y^{3}}$ を掛けます。

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ステップ 6.1

$y$ に $\frac{1}{y^{3}}$ をかけます。

$y \frac{1}{y^{3}} d x - 2 (x + y) d y = 0$

ステップ 6.2

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.1

$y$ を $y^{3}$ で因数分解します。

$y \frac{1}{y \cdot y^{2}} d x - 2 (x + y) d y = 0$

ステップ 6.2.2

共通因数を約分します。

$y \frac{1}{y \cdot y^{2}} d x - 2 (x + y) d y = 0$

ステップ 6.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{y^{2}} d x - 2 (x + y) d y = 0$

ステップ 6.3

$- 2 (x + y)$ に $\frac{1}{y^{3}}$ をかけます。

$\frac{1}{y^{2}} d x - 2 (x + y) \frac{1}{y^{3}} d y = 0$

ステップ 6.4

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{y^{2}} d x + (- 2 x - 2 y) \frac{1}{y^{3}} d y = 0$

ステップ 6.5

$- 2 x - 2 y$ に $\frac{1}{y^{3}}$ をかけます。

$\frac{1}{y^{2}} d x + \frac{- 2 x - 2 y}{y^{3}} d y = 0$

ステップ 6.6

$2$ を $- 2 x - 2 y$ で因数分解します。

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ステップ 6.6.1

$2$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$\frac{1}{y^{2}} d x + \frac{2 (- x) - 2 y}{y^{3}} d y = 0$

ステップ 6.6.2

$2$ を $- 2 y$ で因数分解します。

$\frac{1}{y^{2}} d x + \frac{2 (- x) + 2 (- y)}{y^{3}} d y = 0$

ステップ 6.6.3

$2$ を $2 (- x) + 2 (- y)$ で因数分解します。

$\frac{1}{y^{2}} d x + \frac{2 (- x - y)}{y^{3}} d y = 0$

ステップ 6.7

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$\frac{1}{y^{2}} d x + \frac{2 (- (x) - y)}{y^{3}} d y = 0$

ステップ 6.8

$- 1$ を $- y$ で因数分解します。

$\frac{1}{y^{2}} d x + \frac{2 (- (x) - (y))}{y^{3}} d y = 0$

ステップ 6.9

$- 1$ を $- (x) - (y)$ で因数分解します。

$\frac{1}{y^{2}} d x + \frac{2 (- (x + y))}{y^{3}} d y = 0$

ステップ 6.10

$- (x + y)$ を $- 1 (x + y)$ に書き換えます。

$\frac{1}{y^{2}} d x + \frac{2 (- 1 (x + y))}{y^{3}} d y = 0$

ステップ 6.11

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{y^{2}} d x - \frac{2 (x + y)}{y^{3}} d y = 0$

ステップ 7

$f (x, y)$ は $M (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int \frac{1}{y^{2}} d x$

ステップ 8

$M (x, y) = \frac{1}{y^{2}}$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

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ステップ 8.1

定数の法則を当てはめます。

$f (x, y) = \frac{1}{y^{2}} x + C$

ステップ 8.2

$\frac{1}{y^{2}}$ と $x$ をまとめます。

$f (x, y) = \frac{x}{y^{2}} + C$

ステップ 9

$g (y)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (y)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = \frac{x}{y^{2}} + g (y)$

ステップ 10

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{2 (x + y)}{y^{3}}$

ステップ 11

$\frac{\partial f}{\partial y}$ を求めます。

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ステップ 11.1

$y$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{2}} + g (y)] = - \frac{2 (x + y)}{y^{3}}$

ステップ 11.2

総和則では、 $\frac{x}{y^{2}} + g (y)$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ です。

$\frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{2 (x + y)}{y^{3}}$

ステップ 11.3

$\frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{2}}]$ の値を求めます。

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ステップ 11.3.1

$x$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $\frac{x}{y^{2}}$ の微分係数は $x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}]$ です。

$x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{2 (x + y)}{y^{3}}$

ステップ 11.3.2

$\frac{1}{y^{2}}$ を ${(y^{2})}^{- 1}$ に書き換えます。

$x \frac{d}{d y} [{(y^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{2 (x + y)}{y^{3}}$

ステップ 11.3.3

$f (y) = y^{- 1}$ および $g (y) = y^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ は $f' (g (y)) g' (y)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 11.3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y^{2}$ とします。

$x (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{2 (x + y)}{y^{3}}$

ステップ 11.3.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{2 (x + y)}{y^{3}}$

ステップ 11.3.3.3

$u$ のすべての発生を $y^{2}$ で置き換えます。

$x (- {(y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{2 (x + y)}{y^{3}}$

ステップ 11.3.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{2 (x + y)}{y^{3}}$

ステップ 11.3.5

${(y^{2})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 11.3.5.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x (- y^{2 \cdot - 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{2 (x + y)}{y^{3}}$

ステップ 11.3.5.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$x (- y^{- 4} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{2 (x + y)}{y^{3}}$

ステップ 11.3.6

$2$ に $- 1$ をかけます。

$x (- 2 y^{- 4} y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{2 (x + y)}{y^{3}}$

ステップ 11.3.7

$y$ を $1$ 乗します。

$x (- 2 (y^{1} y^{- 4})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{2 (x + y)}{y^{3}}$

ステップ 11.3.8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x (- 2 y^{1 - 4}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{2 (x + y)}{y^{3}}$

ステップ 11.3.9

$1$ から $4$ を引きます。

$x (- 2 y^{- 3}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{2 (x + y)}{y^{3}}$

ステップ 11.4

$g (y)$ の微分係数は $\frac{d g}{d y}$ であるという関数の規則を使って微分します。

$x (- 2 y^{- 3}) + \frac{d g}{d y} = - \frac{2 (x + y)}{y^{3}}$

ステップ 11.5

簡約します。

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ステップ 11.5.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$x (- 2 \frac{1}{y^{3}}) + \frac{d g}{d y} = - \frac{2 (x + y)}{y^{3}}$

ステップ 11.5.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.5.2.1

$- 2$ と $\frac{1}{y^{3}}$ をまとめます。

$x \frac{- 2}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = - \frac{2 (x + y)}{y^{3}}$

ステップ 11.5.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$x (- \frac{2}{y^{3}}) + \frac{d g}{d y} = - \frac{2 (x + y)}{y^{3}}$

ステップ 11.5.2.3

$x$ と $\frac{2}{y^{3}}$ をまとめます。

$- \frac{x \cdot 2}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = - \frac{2 (x + y)}{y^{3}}$

ステップ 11.5.2.4

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$- \frac{2 x}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = - \frac{2 (x + y)}{y^{3}}$

ステップ 11.5.3

項を並べ替えます。

$\frac{d g}{d y} - \frac{2 x}{y^{3}} = - \frac{2 (x + y)}{y^{3}}$

ステップ 12

$\frac{d g}{d y}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

$\frac{d g}{d y}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1

変数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1.1

方程式の両辺に $\frac{2 (x + y)}{y^{3}}$ を足します。

$\frac{d g}{d y} - \frac{2 x}{y^{3}} + \frac{2 (x + y)}{y^{3}} = 0$

ステップ 12.1.1.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 2 x + 2 (x + y)}{y^{3}} = 0$

ステップ 12.1.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 2 x + 2 x + 2 y}{y^{3}} = 0$

ステップ 12.1.1.4

$- 2 x$ と $2 x$ をたし算します。

$\frac{d g}{d y} + \frac{0 + 2 y}{y^{3}} = 0$

ステップ 12.1.1.5

$0$ と $2 y$ をたし算します。

$\frac{d g}{d y} + \frac{2 y}{y^{3}} = 0$

ステップ 12.1.1.6

$y$ と $y^{3}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1.6.1

$y$ を $2 y$ で因数分解します。

$\frac{d g}{d y} + \frac{y \cdot 2}{y^{3}} = 0$

ステップ 12.1.1.6.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1.6.2.1

$y$ を $y^{3}$ で因数分解します。

$\frac{d g}{d y} + \frac{y \cdot 2}{y \cdot y^{2}} = 0$

ステップ 12.1.1.6.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{d g}{d y} + \frac{y \cdot 2}{y \cdot y^{2}} = 0$

ステップ 12.1.1.6.2.3

式を書き換えます。

$\frac{d g}{d y} + \frac{2}{y^{2}} = 0$

ステップ 12.1.2

方程式の両辺から $\frac{2}{y^{2}}$ を引きます。

$\frac{d g}{d y} = - \frac{2}{y^{2}}$

ステップ 13

$- \frac{2}{y^{2}}$ の不定積分を求めて $g (y)$ を求めます。

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ステップ 13.1

$\frac{d g}{d y} = - \frac{2}{y^{2}}$ の両辺を積分します。

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - \frac{2}{y^{2}} d y$

ステップ 13.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ の値を求めます。

$g (y) = \int - \frac{2}{y^{2}} d y$

ステップ 13.3

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$g (y) = - \int \frac{2}{y^{2}} d y$

ステップ 13.4

$2$ は $y$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$g (y) = - (2 \int \frac{1}{y^{2}} d y)$

ステップ 13.5

$2$ に $- 1$ をかけます。

$g (y) = - 2 \int \frac{1}{y^{2}} d y$

ステップ 13.6

$y^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$g (y) = - 2 \int {(y^{2})}^{- 1} d y$

ステップ 13.7

${(y^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 13.7.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$g (y) = - 2 \int y^{2 \cdot - 1} d y$

ステップ 13.7.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$g (y) = - 2 \int y^{- 2} d y$

ステップ 13.8

べき乗則では、 $y^{- 2}$ の $y$ に関する積分は $- y^{- 1}$ です。

$g (y) = - 2 (- y^{- 1} + C)$

ステップ 13.9

答えを簡約します。

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ステップ 13.9.1

$- 2 (- y^{- 1} + C)$ を $- 2 (- \frac{1}{y}) + C$ に書き換えます。

$g (y) = - 2 (- \frac{1}{y}) + C$

ステップ 13.9.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.9.2.1

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$g (y) = 2 \frac{1}{y} + C$

ステップ 13.9.2.2

$2$ と $\frac{1}{y}$ をまとめます。

$g (y) = \frac{2}{y} + C$

ステップ 14

$f (x, y) = \frac{x}{y^{2}} + g (y)$ の $g (y)$ に代入します。

$f (x, y) = \frac{x}{y^{2}} + \frac{2}{y} + C$

微分積分 例

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