微分積分例

$\frac{1}{y} d x - \frac{x}{y^{2}} d y = 0$

ステップ 1

方程式の両辺から $\frac{1}{y} d x$ を引きます。

$- \frac{x}{y^{2}} d y = - \frac{1}{y} d x$

ステップ 2

両辺に $\frac{y}{x}$ を掛けます。

$\frac{y}{x} (- \frac{x}{y^{2}}) d y = \frac{y}{x} (- \frac{1}{y}) d x$

ステップ 3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$- \frac{y}{x} \cdot \frac{x}{y^{2}} d y = \frac{y}{x} (- \frac{1}{y}) d x$

ステップ 3.2

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$- \frac{y}{x}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- y}{x} \cdot \frac{x}{y^{2}} d y = \frac{y}{x} (- \frac{1}{y}) d x$

ステップ 3.2.2

$y$ を $- y$ で因数分解します。

$\frac{y \cdot - 1}{x} \cdot \frac{x}{y^{2}} d y = \frac{y}{x} (- \frac{1}{y}) d x$

ステップ 3.2.3

$y$ を $y^{2}$ で因数分解します。

$\frac{y \cdot - 1}{x} \cdot \frac{x}{y \cdot y} d y = \frac{y}{x} (- \frac{1}{y}) d x$

ステップ 3.2.4

共通因数を約分します。

$\frac{y \cdot - 1}{x} \cdot \frac{x}{y \cdot y} d y = \frac{y}{x} (- \frac{1}{y}) d x$

ステップ 3.2.5

式を書き換えます。

$\frac{- 1}{x} \cdot \frac{x}{y} d y = \frac{y}{x} (- \frac{1}{y}) d x$

ステップ 3.3

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 1}{x} \cdot \frac{x}{y} d y = \frac{y}{x} (- \frac{1}{y}) d x$

ステップ 3.3.2

式を書き換えます。

$- \frac{1}{y} d y = \frac{y}{x} (- \frac{1}{y}) d x$

ステップ 3.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$- \frac{1}{y} d y = - \frac{y}{x} \cdot \frac{1}{y} d x$

ステップ 3.5

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

$- \frac{y}{x}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- y}{x} \cdot \frac{1}{y} d x$

ステップ 3.5.2

$y$ を $- y$ で因数分解します。

$- \frac{1}{y} d y = \frac{y \cdot - 1}{x} \cdot \frac{1}{y} d x$

ステップ 3.5.3

共通因数を約分します。

$- \frac{1}{y} d y = \frac{y \cdot - 1}{x} \cdot \frac{1}{y} d x$

ステップ 3.5.4

式を書き換えます。

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{x} d x$

ステップ 3.6

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{y} d y = - \frac{1}{x} d x$

ステップ 4

両辺を積分します。

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ステップ 4.1

各辺の積分を設定します。

$\int - \frac{1}{y} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2

左辺を積分します。

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ステップ 4.2.1

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2.2

$\frac{1}{y}$ の $y$ に関する積分は $\ln (| y |)$ です。

$- (\ln (| y |) + C_{1}) = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2.3

簡約します。

$- \ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.3

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.3.2

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$- \ln (| y |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

ステップ 4.3.3

簡約します。

$- \ln (| y |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

ステップ 4.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$- \ln (| y |) = - \ln (| x |) + C$

ステップ 5

$y$ について解きます。

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ステップ 5.1

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$- \ln (| y |) + \ln (| x |) = C$

ステップ 5.2

方程式の両辺から $\ln (| x |)$ を引きます。

$- \ln (| y |) = C - \ln (| x |)$

ステップ 5.3

$- \ln (| y |) = C - \ln (| x |)$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.3.1

$- \ln (| y |) = C - \ln (| x |)$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- \ln (| y |)}{- 1} = \frac{C}{- 1} + \frac{- \ln (| x |)}{- 1}$

ステップ 5.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{\ln (| y |)}{1} = \frac{C}{- 1} + \frac{- \ln (| x |)}{- 1}$

ステップ 5.3.2.2

$\ln (| y |)$ を $1$ で割ります。

$\ln (| y |) = \frac{C}{- 1} + \frac{- \ln (| x |)}{- 1}$

ステップ 5.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.3.3.1.1

$\frac{C}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$\ln (| y |) = - 1 \cdot C + \frac{- \ln (| x |)}{- 1}$

ステップ 5.3.3.1.2

$- 1 \cdot C$ を $- C$ に書き換えます。

$\ln (| y |) = - C + \frac{- \ln (| x |)}{- 1}$

ステップ 5.3.3.1.3

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\ln (| y |) = - C + \frac{\ln (| x |)}{1}$

ステップ 5.3.3.1.4

$\ln (| x |)$ を $1$ で割ります。

$\ln (| y |) = - C + \ln (| x |)$

ステップ 5.4

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$\ln (| y |) - \ln (| x |) = - C$

ステップ 5.5

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\ln (\frac{| y |}{| x |}) = - C$

ステップ 5.6

$y$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (\frac{| y |}{| x |})} = e^{- C}$

ステップ 5.7

対数の定義を利用して $\ln (\frac{| y |}{| x |}) = - C$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{- C} = \frac{| y |}{| x |}$

ステップ 5.8

$y$ について解きます。

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ステップ 5.8.1

方程式を $\frac{| y |}{| x |} = e^{- C}$ として書き換えます。

$\frac{| y |}{| x |} = e^{- C}$

ステップ 5.8.2

両辺に $| x |$ を掛けます。

$\frac{| y |}{| x |} | x | = e^{- C} | x |$

ステップ 5.8.3

左辺を簡約します。

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ステップ 5.8.3.1

$| x |$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.8.3.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{| y |}{| x |} | x | = e^{- C} | x |$

ステップ 5.8.3.1.2

式を書き換えます。

$| y | = e^{- C} | x |$

ステップ 5.8.4

$y$ について解きます。

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ステップ 5.8.4.1

$e^{- C} | x |$ の因数を並べ替えます。

$| y | = | x | e^{- C}$

ステップ 5.8.4.2

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$y = \pm | x | e^{- C}$

ステップ 6

定数項をまとめます。

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ステップ 6.1

積分定数を簡約します。

$y = \pm | x | C$

ステップ 6.2

定数を正または負でまとめます。

$y = C | x |$

微分積分 例

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