微分積分例

$2 x y \frac{d y}{d x} + y^{2} - 2 x = 0$

ステップ 1

$v = y^{2}$ とします。 $v$ を $y^{2}$ に代入します。

$2 x y \frac{d y}{d x} + v - 2 x = 0$

ステップ 2

$y^{2}$ を微分し、 $\frac{d v}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{d v}{d x} = 2 u \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.1.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$\frac{d v}{d x} = 2 y \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$\frac{d v}{d x} = 2 y y'$

ステップ 3

微分係数を微分方程式に戻し入れます。

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ステップ 3.1

$2 y$ を $2 x y$ で因数分解します。

$2 y (x) \frac{\frac{d v}{d x}}{2 y} + v - 2 x = 0$

ステップ 3.2

共通因数を約分します。

$2 y x \frac{\frac{d v}{d x}}{2 y} + v - 2 x = 0$

ステップ 3.3

式を書き換えます。

$x \frac{d v}{d x} + v - 2 x = 0$

ステップ 4

方程式の両辺に $2 x$ を足します。

$x \frac{d v}{d x} + v = 2 x$

ステップ 5

方程式の左辺は項 $x v$ の微分係数の結果か確認します。

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ステップ 5.1

$f (x) = x$ および $g (x) = v$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x \frac{d}{d x} [v] + v \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 5.2

$\frac{d}{d x} [v]$ を $v'$ に書き換えます。

$x v' + v \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 5.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x v' + v \cdot 1$

ステップ 5.4

$\frac{d v}{d x}$ を $v'$ に代入します。

$x \frac{d v}{d x} + v \cdot 1$

ステップ 5.5

$v$ と $1$ を並べ替えます。

$x \frac{d v}{d x} + 1 \cdot v$

ステップ 5.6

$v$ に $1$ をかけます。

$x \frac{d v}{d x} + v$

ステップ 6

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [x v] = 2 x$

ステップ 7

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [x v] d x = \int 2 x d x$

ステップ 8

左辺を積分します。

$x v = \int 2 x d x$

ステップ 9

右辺を積分します。

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ステップ 9.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$x v = 2 \int x d x$

ステップ 9.2

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$x v = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

ステップ 9.3

答えを簡約します。

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ステップ 9.3.1

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ を $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ に書き換えます。

$x v = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

ステップ 9.3.2

簡約します。

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ステップ 9.3.2.1

$2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$x v = \frac{2}{2} x^{2} + C$

ステップ 9.3.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$x v = \frac{2}{2} x^{2} + C$

ステップ 9.3.2.2.2

式を書き換えます。

$x v = 1 x^{2} + C$

ステップ 9.3.2.3

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$x v = x^{2} + C$

ステップ 10

$x v = x^{2} + C$ の各項を $x$ で割り、簡約します。

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ステップ 10.1

$x v = x^{2} + C$ の各項を $x$ で割ります。

$\frac{x v}{x} = \frac{x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

ステップ 10.2

左辺を簡約します。

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ステップ 10.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 10.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x v}{x} = \frac{x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

ステップ 10.2.1.2

$v$ を $1$ で割ります。

$v = \frac{x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

ステップ 10.3

右辺を簡約します。

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ステップ 10.3.1

$x^{2}$ と $x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 10.3.1.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$v = \frac{x \cdot x}{x} + \frac{C}{x}$

ステップ 10.3.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 10.3.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$v = \frac{x \cdot x}{x^{1}} + \frac{C}{x}$

ステップ 10.3.1.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$v = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

ステップ 10.3.1.2.3

共通因数を約分します。

$v = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

ステップ 10.3.1.2.4

式を書き換えます。

$v = \frac{x}{1} + \frac{C}{x}$

ステップ 10.3.1.2.5

$x$ を $1$ で割ります。

$v = x + \frac{C}{x}$

ステップ 11

$v$ のすべての発生を $y^{2}$ で置き換えます。

$y^{2} = x + \frac{C}{x}$

ステップ 12

$y$ について解きます。

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ステップ 12.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \pm \sqrt{x + \frac{C}{x}}$

ステップ 12.2

$\pm \sqrt{x + \frac{C}{x}}$ を簡約します。

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ステップ 12.2.1

$x$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x}{x}$ を掛けます。

$y = \pm \sqrt{\frac{x \cdot x}{x} + \frac{C}{x}}$

ステップ 12.2.2

公分母の分子をまとめます。

$y = \pm \sqrt{\frac{x \cdot x + C}{x}}$

ステップ 12.2.3

$x$ に $x$ をかけます。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} + C}{x}}$

ステップ 12.2.4

$\sqrt{\frac{x^{2} + C}{x}}$ を $\frac{\sqrt{x^{2} + C}}{\sqrt{x}}$ に書き換えます。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C}}{\sqrt{x}}$

ステップ 12.2.5

$\frac{\sqrt{x^{2} + C}}{\sqrt{x}}$ に $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ をかけます。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C}}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

ステップ 12.2.6

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 12.2.6.1

$\frac{\sqrt{x^{2} + C}}{\sqrt{x}}$ に $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ をかけます。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C} \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}}$

ステップ 12.2.6.2

$\sqrt{x}$ を $1$ 乗します。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}}$

ステップ 12.2.6.3

$\sqrt{x}$ を $1$ 乗します。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}}$

ステップ 12.2.6.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}}$

ステップ 12.2.6.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

ステップ 12.2.6.6

${\sqrt{x}}^{2}$ を $x$ に書き換えます。

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ステップ 12.2.6.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C} \sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 12.2.6.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C} \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 12.2.6.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 12.2.6.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 12.2.6.6.4.1

共通因数を約分します。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 12.2.6.6.4.2

式を書き換えます。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C} \sqrt{x}}{x^{1}}$

ステップ 12.2.6.6.5

簡約します。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C} \sqrt{x}}{x}$

ステップ 12.2.7

根の積の法則を使ってまとめます。

$y = \pm \frac{\sqrt{(x^{2} + C) x}}{x}$

ステップ 12.2.8

$\pm \frac{\sqrt{(x^{2} + C) x}}{x}$ の因数を並べ替えます。

$y = \pm \frac{\sqrt{x (x^{2} + C)}}{x}$

ステップ 12.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 12.3.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = \frac{\sqrt{x (x^{2} + C)}}{x}$

ステップ 12.3.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - \frac{\sqrt{x (x^{2} + C)}}{x}$

ステップ 12.3.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = \frac{\sqrt{x (x^{2} + C)}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt{x (x^{2} + C)}}{x}$

$y = \frac{\sqrt{x (x^{2} + C)}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt{x (x^{2} + C)}}{x}$

$y = \frac{\sqrt{x (x^{2} + C)}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt{x (x^{2} + C)}}{x}$

微分積分 例

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