微分積分例

$y d x + (x^{2} y - x) d y = 0$

ステップ 1

$M (x, y) = y$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 1.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

ステップ 2

$N (x, y) = x^{2} y - x$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} y - x]$

ステップ 2.2

総和則では、 $x^{2} y - x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- x]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$y$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $x^{2} y$ の微分係数は $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 2.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 x) + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 2.3.3

$2$ を $y$ の左に移動させます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 2.4

$\frac{d}{d x} [- x]$ の値を求めます。

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ステップ 2.4.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x - \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x - 1 \cdot 1$

ステップ 2.4.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x - 1$

ステップ 2.5

項を並べ替えます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x y - 1$

ステップ 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$1$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $2 x y - 1$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$1 = 2 x y - 1$

ステップ 3.2

方程式の左辺が右辺に等しくないので、方程式は恒等式ではありません。

$1 = 2 x y - 1$ は恒等式ではありません。

ステップ 4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$1$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に代入します。

$\frac{1 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

ステップ 4.2

$2 x y - 1$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$\frac{1 - (2 x y - 1)}{N}$

ステップ 4.3

$x^{2} y - x$ を $N$ に代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$x^{2} y - x$ を $N$ に代入します。

$\frac{1 - (2 x y - 1)}{x^{2} y - x}$

ステップ 4.3.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1 - (2 x y) - - 1}{x^{2} y - x}$

ステップ 4.3.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1 - 2 (x y) - - 1}{x^{2} y - x}$

ステップ 4.3.2.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1 - 2 (x y) + 1}{x^{2} y - x}$

ステップ 4.3.2.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{- 2 x y + 2}{x^{2} y - x}$

ステップ 4.3.2.5

$2$ を $- 2 x y + 2$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.5.1

$2$ を $- 2 x y$ で因数分解します。

$\frac{2 (- x y) + 2}{x^{2} y - x}$

ステップ 4.3.2.5.2

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 (- x y) + 2 (1)}{x^{2} y - x}$

ステップ 4.3.2.5.3

$2$ を $2 (- x y) + 2 (1)$ で因数分解します。

$\frac{2 (- x y + 1)}{x^{2} y - x}$

ステップ 4.3.3

$x$ を $x^{2} y - x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.1

$x$ を $x^{2} y$ で因数分解します。

$\frac{2 (- x y + 1)}{x (x y) - x}$

ステップ 4.3.3.2

$x$ を $- x$ で因数分解します。

$\frac{2 (- x y + 1)}{x (x y) + x \cdot - 1}$

ステップ 4.3.3.3

$x$ を $x (x y) + x \cdot - 1$ で因数分解します。

$\frac{2 (- x y + 1)}{x (x y - 1)}$

ステップ 4.3.4

$- x y + 1$ と $x y - 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.4.1

$- 1$ を $- x y$ で因数分解します。

$\frac{2 (- (x y) + 1)}{x (x y - 1)}$

ステップ 4.3.4.2

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$\frac{2 (- (x y) - 1 (- 1))}{x (x y - 1)}$

ステップ 4.3.4.3

$- 1$ を $- (x y) - 1 (- 1)$ で因数分解します。

$\frac{2 (- (x y - 1))}{x (x y - 1)}$

ステップ 4.3.4.4

$- (x y - 1)$ を $- 1 (x y - 1)$ に書き換えます。

$\frac{2 (- 1 (x y - 1))}{x (x y - 1)}$

ステップ 4.3.4.5

共通因数を約分します。

$\frac{2 (- 1 (x y - 1))}{x (x y - 1)}$

ステップ 4.3.4.6

式を書き換えます。

$\frac{2 \cdot (- 1)}{x}$

ステップ 4.3.5

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- 2}{x}$

ステップ 4.3.6

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2}{x}$

ステップ 4.4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ を求めます。

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

ステップ 5

積分 $e^{\int - \frac{2}{x} d x}$ を求めます。

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ステップ 5.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

ステップ 5.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

ステップ 5.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

ステップ 5.4

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

ステップ 5.5

簡約します。

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| x |)} + C$

ステップ 5.6

各項を簡約します。

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ステップ 5.6.1

対数の中の $- 2$ を移動させて $- 2 \ln (| x |)$ を簡約します。

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 2})} + C$

ステップ 5.6.2

指数関数と対数関数は逆関数です。

$μ (x, y) = {| x |}^{- 2} + C$

ステップ 5.6.3

偶数乗をもつ累乗法は常に正なので、 ${| x |}^{- 2}$ の絶対値を削除します。

$μ (x, y) = x^{- 2} + C$

ステップ 5.6.4

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$μ (x, y) = \frac{1}{x^{2}} + C$

ステップ 6

$y d x + (x^{2} y - x) d y = 0$ の両辺に積分因子 $\frac{1}{x^{2}}$ を掛けます。

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ステップ 6.1

$y$ に $\frac{1}{x^{2}}$ をかけます。

$y \frac{1}{x^{2}} d x + (x^{2} y - x) d y = 0$

ステップ 6.2

$y$ と $\frac{1}{x^{2}}$ をまとめます。

$\frac{y}{x^{2}} d x + (x^{2} y - x) d y = 0$

ステップ 6.3

$x^{2} y - x$ に $\frac{1}{x^{2}}$ をかけます。

$\frac{y}{x^{2}} d x + (x^{2} y - x) \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

ステップ 6.4

$x^{2} y - x$ に $\frac{1}{x^{2}}$ をかけます。

$\frac{y}{x^{2}} d x + \frac{x^{2} y - x}{x^{2}} d y = 0$

ステップ 6.5

$x$ を $x^{2} y - x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.1

$x$ を $x^{2} y$ で因数分解します。

$\frac{y}{x^{2}} d x + \frac{x (x y) - x}{x^{2}} d y = 0$

ステップ 6.5.2

$x$ を $- x$ で因数分解します。

$\frac{y}{x^{2}} d x + \frac{x (x y) + x \cdot - 1}{x^{2}} d y = 0$

ステップ 6.5.3

$x$ を $x (x y) + x \cdot - 1$ で因数分解します。

$\frac{y}{x^{2}} d x + \frac{x (x y - 1)}{x^{2}} d y = 0$

ステップ 6.6

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.6.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{y}{x^{2}} d x + \frac{x (x y - 1)}{x \cdot x} d y = 0$

ステップ 6.6.2

共通因数を約分します。

$\frac{y}{x^{2}} d x + \frac{x (x y - 1)}{x \cdot x} d y = 0$

ステップ 6.6.3

式を書き換えます。

$\frac{y}{x^{2}} d x + \frac{x y - 1}{x} d y = 0$

ステップ 7

$f (x, y)$ は $M (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int \frac{y}{x^{2}} d x$

ステップ 8

$M (x, y) = \frac{y}{x^{2}}$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

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ステップ 8.1

$y$ は $x$ に対して定数なので、 $y$ を積分の外に移動させます。

$f (x, y) = y \int \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 8.2

$x^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$f (x, y) = y \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

ステップ 8.3

${(x^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 8.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (x, y) = y \int x^{2 \cdot - 1} d x$

ステップ 8.3.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f (x, y) = y \int x^{- 2} d x$

ステップ 8.4

べき乗則では、 $x^{- 2}$ の $x$ に関する積分は $- x^{- 1}$ です。

$f (x, y) = y (- x^{- 1} + C)$

ステップ 8.5

答えを簡約します。

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ステップ 8.5.1

$y (- x^{- 1} + C)$ を $y (- \frac{1}{x}) + C$ に書き換えます。

$f (x, y) = y (- \frac{1}{x}) + C$

ステップ 8.5.2

$y$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$f (x, y) = - \frac{y}{x} + C$

ステップ 9

$g (y)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (y)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = - \frac{y}{x} + g (y)$

ステップ 10

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x y - 1}{x}$

ステップ 11

$\frac{\partial f}{\partial y}$ を求めます。

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ステップ 11.1

$y$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [- \frac{y}{x} + g (y)] = \frac{x y - 1}{x}$

ステップ 11.2

総和則では、 $- \frac{y}{x} + g (y)$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [- \frac{y}{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ です。

$\frac{d}{d y} [- \frac{y}{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y - 1}{x}$

ステップ 11.3

$\frac{d}{d y} [- \frac{y}{x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.1

$- \frac{1}{x}$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $- \frac{y}{x}$ の微分係数は $- \frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$ です。

$- \frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y - 1}{x}$

ステップ 11.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y - 1}{x}$

ステップ 11.3.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- \frac{1}{x} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y - 1}{x}$

ステップ 11.4

$g (y)$ の微分係数は $\frac{d g}{d y}$ であるという関数の規則を使って微分します。

$- \frac{1}{x} + \frac{d g}{d y} = \frac{x y - 1}{x}$

ステップ 11.5

項を並べ替えます。

$\frac{d g}{d y} - \frac{1}{x} = \frac{x y - 1}{x}$

ステップ 12

$\frac{d g}{d y}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

$\frac{d g}{d y}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1

変数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1.1

方程式の両辺から $\frac{x y - 1}{x}$ を引きます。

$\frac{d g}{d y} - \frac{1}{x} - \frac{x y - 1}{x} = 0$

ステップ 12.1.1.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 1 - (x y - 1)}{x} = 0$

ステップ 12.1.1.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 1 - (x y) - - 1}{x} = 0$

ステップ 12.1.1.3.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 1 - x y + 1}{x} = 0$

ステップ 12.1.1.4

$- 1 - x y + 1$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1.4.1

$- 1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x y + 0}{x} = 0$

ステップ 12.1.1.4.2

$- x y$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x y}{x} = 0$

ステップ 12.1.1.5

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1.5.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1.5.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x y}{x} = 0$

ステップ 12.1.1.5.1.2

$- 1 y$ を $1$ で割ります。

$\frac{d g}{d y} - 1 y = 0$

ステップ 12.1.1.5.2

$- 1 y$ を $- y$ に書き換えます。

$\frac{d g}{d y} - y = 0$

ステップ 12.1.2

方程式の両辺に $y$ を足します。

$\frac{d g}{d y} = y$

ステップ 13

$y$ の不定積分を求めて $g (y)$ を求めます。

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ステップ 13.1

$\frac{d g}{d y} = y$ の両辺を積分します。

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int y d y$

ステップ 13.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ の値を求めます。

$g (y) = \int y d y$

ステップ 13.3

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$g (y) = \frac{1}{2} y^{2} + C$

ステップ 14

$f (x, y) = - \frac{y}{x} + g (y)$ の $g (y)$ に代入します。

$f (x, y) = - \frac{y}{x} + \frac{1}{2} y^{2} + C$

ステップ 15

$\frac{1}{2}$ と $y^{2}$ をまとめます。

$f (x, y) = - \frac{y}{x} + \frac{y^{2}}{2} + C$

微分積分 例

微分積分例