微分積分例

$4 y \frac{d y}{d x} = 3 x^{2}$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$4 y d y = 3 x^{2} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int 4 y d y = \int 3 x^{2} d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$4$ は $y$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$4 \int y d y = \int 3 x^{2} d x$

ステップ 2.2.2

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$4 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int 3 x^{2} d x$

ステップ 2.2.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

$4 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ を $4 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1}$ に書き換えます。

$4 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1} = \int 3 x^{2} d x$

ステップ 2.2.3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.2.1

$4$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{4}{2} y^{2} + C_{1} = \int 3 x^{2} d x$

ステップ 2.2.3.2.2

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.2.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 2}{2} y^{2} + C_{1} = \int 3 x^{2} d x$

ステップ 2.2.3.2.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.2.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} y^{2} + C_{1} = \int 3 x^{2} d x$

ステップ 2.2.3.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} y^{2} + C_{1} = \int 3 x^{2} d x$

ステップ 2.2.3.2.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{2}{1} y^{2} + C_{1} = \int 3 x^{2} d x$

ステップ 2.2.3.2.2.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$2 y^{2} + C_{1} = \int 3 x^{2} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$2 y^{2} + C_{1} = 3 \int x^{2} d x$

ステップ 2.3.2

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$2 y^{2} + C_{1} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$

ステップ 2.3.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1

$3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$ を $3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$ に書き換えます。

$2 y^{2} + C_{1} = 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.2.1

$3$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$2 y^{2} + C_{1} = \frac{3}{3} x^{3} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$2 y^{2} + C_{1} = \frac{3}{3} x^{3} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2.2.2

式を書き換えます。

$2 y^{2} + C_{1} = 1 x^{3} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2.3

$x^{3}$ に $1$ をかけます。

$2 y^{2} + C_{1} = x^{3} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$2 y^{2} = x^{3} + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

$2 y^{2} = x^{3} + K$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.1.1

$2 y^{2} = x^{3} + K$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 y^{2}}{2} = \frac{x^{3}}{2} + \frac{K}{2}$

ステップ 3.1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 y^{2}}{2} = \frac{x^{3}}{2} + \frac{K}{2}$

ステップ 3.1.2.1.2

$y^{2}$ を $1$ で割ります。

$y^{2} = \frac{x^{3}}{2} + \frac{K}{2}$

ステップ 3.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{3}}{2} + \frac{K}{2}}$

ステップ 3.3

$\pm \sqrt{\frac{x^{3}}{2} + \frac{K}{2}}$ を簡約します。

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ステップ 3.3.1

公分母の分子をまとめます。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{3} + K}{2}}$

ステップ 3.3.2

$\sqrt{\frac{x^{3} + K}{2}}$ を $\frac{\sqrt{x^{3} + K}}{\sqrt{2}}$ に書き換えます。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + K}}{\sqrt{2}}$

ステップ 3.3.3

$\frac{\sqrt{x^{3} + K}}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + K}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

ステップ 3.3.4

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 3.3.4.1

$\frac{\sqrt{x^{3} + K}}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + K} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

ステップ 3.3.4.2

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + K} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

ステップ 3.3.4.3

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + K} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

ステップ 3.3.4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + K} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

ステップ 3.3.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + K} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

ステップ 3.3.4.6

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + K} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 3.3.4.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + K} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 3.3.4.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + K} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 3.3.4.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.6.4.1

共通因数を約分します。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + K} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 3.3.4.6.4.2

式を書き換えます。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + K} \sqrt{2}}{2^{1}}$

ステップ 3.3.4.6.5

指数を求めます。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + K} \sqrt{2}}{2}$

ステップ 3.3.5

根の積の法則を使ってまとめます。

$y = \pm \frac{\sqrt{(x^{3} + K) \cdot 2}}{2}$

ステップ 3.3.6

$\pm \frac{\sqrt{(x^{3} + K) \cdot 2}}{2}$ の因数を並べ替えます。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + K)}}{2}$

ステップ 3.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = \frac{\sqrt{2 (x^{3} + K)}}{2}$

ステップ 3.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - \frac{\sqrt{2 (x^{3} + K)}}{2}$

ステップ 3.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = \frac{\sqrt{2 (x^{3} + K)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x^{3} + K)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{2 (x^{3} + K)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x^{3} + K)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{2 (x^{3} + K)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x^{3} + K)}}{2}$

微分積分 例

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