微分積分例

$\frac{d A}{d r} = A b^{2} \cos (b r)$ , $A (0) = b^{3}$

ステップ 1

微分方程式を $\frac{d A}{d r} + M (r) A = Q (r)$ として書き換えます。

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ステップ 1.1

方程式を $M (r) \frac{d A}{d r} + P (r) A = Q (r)$ として書き換えます。

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ステップ 1.1.1

方程式の両辺から $A b^{2} \cos (b r)$ を引きます。

$\frac{d A}{d r} - A b^{2} \cos (b r) = 0$

ステップ 1.1.2

項を並べ替えます。

$\frac{d A}{d r} - b^{2} A \cos (b r) = 0$

ステップ 1.2

$A$ を $- b^{2} A \cos (b r)$ で因数分解します。

$\frac{d A}{d r} + A (- b^{2} \cos (b r)) = 0$

ステップ 1.3

$A$ と $- b^{2} \cos (b r)$ を並べ替えます。

$\frac{d A}{d r} - b^{2} \cos (b r) A = 0$

ステップ 2

$P (r) = - b^{2} \cos (b r)$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (r) d r}$ で定義されます。

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ステップ 2.1

積分を設定します。

$e^{\int - b^{2} \cos (b r) d r}$

ステップ 2.2

$- b^{2} \cos (b r)$ を積分します。

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ステップ 2.2.1

$- b^{2}$ は $r$ に対して定数なので、 $- b^{2}$ を積分の外に移動させます。

$e^{- b^{2} \int \cos (b r) d r}$

ステップ 2.2.2

$u = b r$ とします。次に $d u = b d r$ すると、 $\frac{1}{b} d u = d r$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.2.2.1

$u = b r$ とします。 $\frac{d u}{d r}$ を求めます。

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ステップ 2.2.2.1.1

書き換えます。

$1 b$

ステップ 2.2.2.1.2

$b$ に $1$ をかけます。

$b$

ステップ 2.2.2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$e^{- b^{2} \int \cos (u) \frac{1}{b} d u}$

ステップ 2.2.3

$\cos (u)$ と $\frac{1}{b}$ をまとめます。

$e^{- b^{2} \int \frac{\cos (u)}{b} d u}$

ステップ 2.2.4

$\frac{1}{b}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{b}$ を積分の外に移動させます。

$e^{- b^{2} (\frac{1}{b} \int \cos (u) d u)}$

ステップ 2.2.5

簡約します。

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ステップ 2.2.5.1

$\frac{1}{b}$ と $b^{2}$ をまとめます。

$e^{- \frac{b^{2}}{b} \int \cos (u) d u}$

ステップ 2.2.5.2

$b^{2}$ と $b$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.5.2.1

$b$ を $b^{2}$ で因数分解します。

$e^{- \frac{b \cdot b}{b} \int \cos (u) d u}$

ステップ 2.2.5.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.5.2.2.1

$b$ を $1$ 乗します。

$e^{- \frac{b \cdot b}{b^{1}} \int \cos (u) d u}$

ステップ 2.2.5.2.2.2

$b$ を $b^{1}$ で因数分解します。

$e^{- \frac{b \cdot b}{b \cdot 1} \int \cos (u) d u}$

ステップ 2.2.5.2.2.3

共通因数を約分します。

$e^{- \frac{b \cdot b}{b \cdot 1} \int \cos (u) d u}$

ステップ 2.2.5.2.2.4

式を書き換えます。

$e^{- \frac{b}{1} \int \cos (u) d u}$

ステップ 2.2.5.2.2.5

$b$ を $1$ で割ります。

$e^{- b \int \cos (u) d u}$

ステップ 2.2.6

$\cos (u)$ の $u$ に関する積分は $\sin (u)$ です。

$e^{- b (\sin (u) + C)}$

ステップ 2.2.7

簡約します。

$e^{- b \sin (u) + C}$

ステップ 2.2.8

$u$ のすべての発生を $b r$ で置き換えます。

$e^{- b \sin (b r) + C}$

ステップ 2.3

積分定数を削除します。

$e^{- b \sin (b r)}$

ステップ 3

各項に積分因数 $e^{- b \sin (b r)}$ を掛けます。

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ステップ 3.1

各項に $e^{- b \sin (b r)}$ を掛けます。

$e^{- b \sin (b r)} \frac{d A}{d r} + e^{- b \sin (b r)} (- b^{2} \cos (b r) A) = e^{- b \sin (b r)} \cdot 0$

ステップ 3.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$e^{- b \sin (b r)} \frac{d A}{d r} - e^{- b \sin (b r)} b^{2} \cos (b r) A = e^{- b \sin (b r)} \cdot 0$

ステップ 3.3

$e^{- b \sin (b r)}$ に $0$ をかけます。

$e^{- b \sin (b r)} \frac{d A}{d r} - e^{- b \sin (b r)} b^{2} \cos (b r) A = 0$

ステップ 3.4

$e^{- b \sin (b r)} \frac{d A}{d r} - e^{- b \sin (b r)} b^{2} \cos (b r) A = 0$ の因数を並べ替えます。

$e^{- b \sin (b r)} \frac{d A}{d r} - b^{2} A e^{- b \sin (b r)} \cos (b r) = 0$

ステップ 4

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d r} [e^{- b \sin (b r)} A] = 0$

ステップ 5

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d r} [e^{- b \sin (b r)} A] d r = \int 0 d r$

ステップ 6

左辺を積分します。

$e^{- b \sin (b r)} A = \int 0 d r$

ステップ 7

右辺を積分します。

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ステップ 7.1

$0$ の $r$ に関する積分は $0$ です。

$e^{- b \sin (b r)} A = 0 + C$

ステップ 7.2

$0$ と $C$ をたし算します。

$e^{- b \sin (b r)} A = C$

ステップ 8

$e^{- b \sin (b r)} A = C$ の各項を $e^{- b \sin (b r)}$ で割り、簡約します。

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ステップ 8.1

$e^{- b \sin (b r)} A = C$ の各項を $e^{- b \sin (b r)}$ で割ります。

$\frac{e^{- b \sin (b r)} A}{e^{- b \sin (b r)}} = \frac{C}{e^{- b \sin (b r)}}$

ステップ 8.2

左辺を簡約します。

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ステップ 8.2.1

$e^{- b \sin (b r)}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{- b \sin (b r)} A}{e^{- b \sin (b r)}} = \frac{C}{e^{- b \sin (b r)}}$

ステップ 8.2.1.2

$A$ を $1$ で割ります。

$A = \frac{C}{e^{- b \sin (b r)}}$

ステップ 9

初期条件を利用し、 $A = \frac{C}{e^{- b \sin (b r)}}$ の $0$ を $r$ に、 $b^{3}$ を $A$ に代入し $C$ の値を求めます。

$b^{3} = \frac{C}{e^{- b \sin (b \cdot 0)}}$

ステップ 10

$b$ について解きます。

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ステップ 10.1

両辺に $e^{- b \sin (b \cdot 0)}$ を掛けます。

$b^{3} e^{- b \sin (b \cdot 0)} = \frac{C}{e^{- b \sin (b \cdot 0)}} e^{- b \sin (b \cdot 0)}$

ステップ 10.2

簡約します。

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ステップ 10.2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 10.2.1.1

$b^{3} e^{- b \sin (b \cdot 0)}$ を簡約します。

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ステップ 10.2.1.1.1

$b$ に $0$ をかけます。

$b^{3} e^{- b \sin (0)} = \frac{C}{e^{- b \sin (b \cdot 0)}} e^{- b \sin (b \cdot 0)}$

ステップ 10.2.1.1.2

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$b^{3} e^{- b \cdot 0} = \frac{C}{e^{- b \sin (b \cdot 0)}} e^{- b \sin (b \cdot 0)}$

ステップ 10.2.1.1.3

$- b \cdot 0$ を掛けます。

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ステップ 10.2.1.1.3.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$b^{3} e^{0 b} = \frac{C}{e^{- b \sin (b \cdot 0)}} e^{- b \sin (b \cdot 0)}$

ステップ 10.2.1.1.3.2

$0$ に $b$ をかけます。

$b^{3} e^{0} = \frac{C}{e^{- b \sin (b \cdot 0)}} e^{- b \sin (b \cdot 0)}$

ステップ 10.2.1.1.4

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$b^{3} \cdot 1 = \frac{C}{e^{- b \sin (b \cdot 0)}} e^{- b \sin (b \cdot 0)}$

ステップ 10.2.1.1.5

$b^{3}$ に $1$ をかけます。

$b^{3} = \frac{C}{e^{- b \sin (b \cdot 0)}} e^{- b \sin (b \cdot 0)}$

ステップ 10.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 10.2.2.1

$e^{- b \sin (b \cdot 0)}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 10.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$b^{3} = \frac{C}{e^{- b \sin (b \cdot 0)}} e^{- b \sin (b \cdot 0)}$

ステップ 10.2.2.1.2

式を書き換えます。

$b^{3} = C$

ステップ 10.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$b = \sqrt[3]{C}$

ステップ 11

$\sqrt[3]{C}$ を $A = \frac{C}{e^{- b \sin (b r)}}$ の中の $C$ に代入し簡約します。

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ステップ 11.1

$\sqrt[3]{C}$ を $b$ に代入します。

$A = \frac{C}{e^{- \sqrt[3]{C} \sin (\sqrt[3]{C} r)}}$

微分積分 例

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