微分積分例

$(1 + x) (y d) x + (1 - y) x d y = 0$

ステップ 1

方程式の両辺から $(1 + x) y d x$ を引きます。

$(1 - y) x d y = - (1 + x) y d x$

ステップ 2

両辺に $\frac{1}{x y}$ を掛けます。

$\frac{1}{x y} ((1 - y) x) d y = \frac{1}{x y} (- (1 + x) y) d x$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.1

$x$ を $x y$ で因数分解します。

$\frac{1}{x (y)} ((1 - y) x) d y = \frac{1}{x y} (- (1 + x) y) d x$

ステップ 3.1.2

$x$ を $(1 - y) x$ で因数分解します。

$\frac{1}{x (y)} (x (1 - y)) d y = \frac{1}{x y} (- (1 + x) y) d x$

ステップ 3.1.3

共通因数を約分します。

$\frac{1}{x y} (x (1 - y)) d y = \frac{1}{x y} (- (1 + x) y) d x$

ステップ 3.1.4

式を書き換えます。

$\frac{1}{y} (1 - y) d y = \frac{1}{x y} (- (1 + x) y) d x$

ステップ 3.2

$\frac{1}{y}$ に $1 - y$ をかけます。

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{1}{x y} (- (1 + x) y) d x$

ステップ 3.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{1 - y}{y} d y = - \frac{1}{x y} ((1 + x) y) d x$

ステップ 3.4

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.1

$- \frac{1}{x y}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{- 1}{x y} ((1 + x) y) d x$

ステップ 3.4.2

$y$ を $x y$ で因数分解します。

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{- 1}{y x} ((1 + x) y) d x$

ステップ 3.4.3

$y$ を $(1 + x) y$ で因数分解します。

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{- 1}{y x} (y (1 + x)) d x$

ステップ 3.4.4

共通因数を約分します。

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{- 1}{y x} (y (1 + x)) d x$

ステップ 3.4.5

式を書き換えます。

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{- 1}{x} (1 + x) d x$

ステップ 3.5

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1 - y}{y} d y = - \frac{1}{x} (1 + x) d x$

ステップ 3.6

分配則を当てはめます。

$\frac{1 - y}{y} d y = (- \frac{1}{x} \cdot 1 - \frac{1}{x} x) d x$

ステップ 3.7

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 - y}{y} d y = (- \frac{1}{x} - \frac{1}{x} x) d x$

ステップ 3.8

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.8.1

$- \frac{1}{x}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{1 - y}{y} d y = (- \frac{1}{x} + \frac{- 1}{x} x) d x$

ステップ 3.8.2

共通因数を約分します。

$\frac{1 - y}{y} d y = (- \frac{1}{x} + \frac{- 1}{x} x) d x$

ステップ 3.8.3

式を書き換えます。

$\frac{1 - y}{y} d y = (- \frac{1}{x} - 1) d x$

ステップ 4

両辺を積分します。

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ステップ 4.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1 - y}{y} d y = \int - \frac{1}{x} - 1 d x$

ステップ 4.2

左辺を積分します。

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ステップ 4.2.1

分数を複数の分数に分割します。

$\int \frac{1}{y} + \frac{- y}{y} d y = \int - \frac{1}{x} - 1 d x$

ステップ 4.2.2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{- y}{y} d y = \int - \frac{1}{x} - 1 d x$

ステップ 4.2.3

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.3.1

共通因数を約分します。

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{- y}{y} d y = \int - \frac{1}{x} - 1 d x$

ステップ 4.2.3.2

$- 1$ を $1$ で割ります。

$\int \frac{1}{y} d y + \int - 1 d y = \int - \frac{1}{x} - 1 d x$

ステップ 4.2.4

$\frac{1}{y}$ の $y$ に関する積分は $\ln (| y |)$ です。

$\ln (| y |) + C_{1} + \int - 1 d y = \int - \frac{1}{x} - 1 d x$

ステップ 4.2.5

定数の法則を当てはめます。

$\ln (| y |) + C_{1} - y + C_{2} = \int - \frac{1}{x} - 1 d x$

ステップ 4.2.6

簡約します。

$\ln (| y |) - y + C_{3} = \int - \frac{1}{x} - 1 d x$

ステップ 4.2.7

項を並べ替えます。

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = \int - \frac{1}{x} - 1 d x$

ステップ 4.3

右辺を積分します。

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ステップ 4.3.1

単一積分を複数積分に分割します。

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = \int - \frac{1}{x} d x + \int - 1 d x$

ステップ 4.3.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - \int \frac{1}{x} d x + \int - 1 d x$

ステップ 4.3.3

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (\ln (| x |) + C_{4}) + \int - 1 d x$

ステップ 4.3.4

定数の法則を当てはめます。

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (\ln (| x |) + C_{4}) - x + C_{5}$

ステップ 4.3.5

簡約します。

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - \ln (| x |) - x + C_{6}$

ステップ 4.3.6

項を並べ替えます。

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - x - \ln (| x |) + C_{6}$

ステップ 4.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$- y + \ln (| y |) = - x - \ln (| x |) + C$

微分積分 例

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