微分積分例

$(2 x + 3) d x + (2 y - 2) d y = 0$

ステップ 1

方程式の両辺から $(2 x + 3) d x$ を引きます。

$(2 y - 2) d y = - (2 x + 3) d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int 2 y - 2 d y = \int - (2 x + 3) d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

単一積分を複数積分に分割します。

$\int 2 y d y + \int - 2 d y = \int - (2 x + 3) d x$

ステップ 2.2.2

$2$ は $y$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$2 \int y d y + \int - 2 d y = \int - (2 x + 3) d x$

ステップ 2.2.3

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) + \int - 2 d y = \int - (2 x + 3) d x$

ステップ 2.2.4

定数の法則を当てはめます。

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) - 2 y + C_{2} = \int - (2 x + 3) d x$

ステップ 2.2.5

簡約します。

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ステップ 2.2.5.1

$\frac{1}{2}$ と $y^{2}$ をまとめます。

$2 (\frac{y^{2}}{2} + C_{1}) - 2 y + C_{2} = \int - (2 x + 3) d x$

ステップ 2.2.5.2

簡約します。

$y^{2} - 2 y + C_{3} = \int - (2 x + 3) d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$- (2 x + 3)$ を掛けます。

$y^{2} - 2 y + C_{3} = \int - (2 x) - 1 \cdot 3 d x$

ステップ 2.3.2

簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$y^{2} - 2 y + C_{3} = \int - 2 x - 1 \cdot 3 d x$

ステップ 2.3.2.2

$- 1$ に $3$ をかけます。

$y^{2} - 2 y + C_{3} = \int - 2 x - 3 d x$

ステップ 2.3.3

単一積分を複数積分に分割します。

$y^{2} - 2 y + C_{3} = \int - 2 x d x + \int - 3 d x$

ステップ 2.3.4

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $- 2$ を積分の外に移動させます。

$y^{2} - 2 y + C_{3} = - 2 \int x d x + \int - 3 d x$

ステップ 2.3.5

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$y^{2} - 2 y + C_{3} = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + \int - 3 d x$

ステップ 2.3.6

定数の法則を当てはめます。

$y^{2} - 2 y + C_{3} = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) - 3 x + C_{5}$

ステップ 2.3.7

簡約します。

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ステップ 2.3.7.1

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$y^{2} - 2 y + C_{3} = - 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - 3 x + C_{5}$

ステップ 2.3.7.2

簡約します。

$y^{2} - 2 y + C_{3} = - x^{2} - 3 x + C_{6}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$y^{2} - 2 y = - x^{2} - 3 x + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

すべての式を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 3.1.1

方程式の両辺に $x^{2}$ を足します。

$y^{2} - 2 y + x^{2} = - 3 x + K$

ステップ 3.1.2

方程式の両辺に $3 x$ を足します。

$y^{2} - 2 y + x^{2} + 3 x = K$

ステップ 3.1.3

方程式の両辺から $K$ を引きます。

$y^{2} - 2 y + x^{2} + 3 x - K = 0$

ステップ 3.2

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 3.3

$a = 1$ 、 $b = - 2$ 、および $c = x^{2} + 3 x - K$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $y$ の値を求めます。

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} + 3 x - K))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.4

簡約します。

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ステップ 3.4.1

分子を簡約します。

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ステップ 3.4.1.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 3 x - K)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.4.1.2

$- 4$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (x^{2} + 3 x - K)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.4.1.3

分配則を当てはめます。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 x^{2} - 4 (3 x) - 4 (- K)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.4.1.4

簡約します。

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ステップ 3.4.1.4.1

$3$ に $- 4$ をかけます。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 x^{2} - 12 x - 4 (- K)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.4.1.4.2

$- 1$ に $- 4$ をかけます。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 x^{2} - 12 x + 4 K}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.4.1.5

$4$ を $4 - 4 x^{2} - 12 x + 4 K$ で因数分解します。

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ステップ 3.4.1.5.1

$4$ を $4$ で因数分解します。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot 1 - 4 x^{2} - 12 x + 4 K}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.4.1.5.2

$4$ を $- 4 x^{2}$ で因数分解します。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot 1 + 4 (- x^{2}) - 12 x + 4 K}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.4.1.5.3

$4$ を $- 12 x$ で因数分解します。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot 1 + 4 (- x^{2}) + 4 (- 3 x) + 4 K}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.4.1.5.4

$4$ を $4 \cdot 1 + 4 (- x^{2})$ で因数分解します。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot (1 - x^{2}) + 4 (- 3 x) + 4 K}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.4.1.5.5

$4$ を $4 \cdot (1 - x^{2}) + 4 (- 3 x)$ で因数分解します。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot (1 - x^{2} - 3 x) + 4 K}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.4.1.5.6

$4$ を $4 \cdot (1 - x^{2} - 3 x) + 4 K$ で因数分解します。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (1 - x^{2} - 3 x + K)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.4.1.6

$4 (1 - x^{2} - 3 x + K)$ を $2^{2} (1^{2} - x^{2} - 3 x + K)$ に書き換えます。

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ステップ 3.4.1.6.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (1 - x^{2} - 3 x + K)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.4.1.6.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (1^{2} - x^{2} - 3 x + K)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.4.1.7

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1^{2} - x^{2} - 3 x + K}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.4.1.8

1のすべての数の累乗は1です。

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1 - x^{2} - 3 x + K}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.4.2

$2$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1 - x^{2} - 3 x + K}}{2}$

ステップ 3.4.3

$\frac{2 \pm 2 \sqrt{1 - x^{2} - 3 x + K}}{2}$ を簡約します。

$y = 1 \pm \sqrt{1 - x^{2} - 3 x + K}$

ステップ 3.5

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$y = 1 + \sqrt{1 - x^{2} - 3 x + K}$

$y = 1 - \sqrt{1 - x^{2} - 3 x + K}$

$y = 1 + \sqrt{1 - x^{2} - 3 x + K}$

$y = 1 - \sqrt{1 - x^{2} - 3 x + K}$

微分積分 例

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