微分積分例

$(2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}) d x + 4 x^{2} y d y = 0$

ステップ 1

$M (x, y) = 2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}]$

ステップ 1.2

総和則では、 $2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [2 x y^{2}] + \frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{2}}]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y^{2}] + \frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{2}}]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d y} [2 x y^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$2 x$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $2 x y^{2}$ の微分係数は $2 x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{2}}]$

ステップ 1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (2 y) + \frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{2}}]$

ステップ 1.3.3

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + \frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{2}}]$

ステップ 1.4

$\frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{2}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$x$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $\frac{x}{y^{2}}$ の微分係数は $x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}]$

ステップ 1.4.2

$\frac{1}{y^{2}}$ を ${(y^{2})}^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x \frac{d}{d y} [{(y^{2})}^{- 1}]$

ステップ 1.4.3

$f (y) = y^{- 1}$ および $g (y) = y^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ は $f' (g (y)) g' (y)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y^{2}$ とします。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [y^{2}])$

ステップ 1.4.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}])$

ステップ 1.4.3.3

$u$ のすべての発生を $y^{2}$ で置き換えます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x (- {(y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}])$

ステップ 1.4.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y))$

ステップ 1.4.5

${(y^{2})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.5.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x (- y^{2 \cdot - 2} (2 y))$

ステップ 1.4.5.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x (- y^{- 4} (2 y))$

ステップ 1.4.6

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x (- 2 y^{- 4} y)$

ステップ 1.4.7

$y$ を $1$ 乗します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x (- 2 (y^{1} y^{- 4}))$

ステップ 1.4.8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x (- 2 y^{1 - 4})$

ステップ 1.4.9

$1$ から $4$ を引きます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x (- 2 y^{- 3})$

ステップ 1.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x (- 2 \frac{1}{y^{3}})$

ステップ 1.5.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.1

$- 2$ と $\frac{1}{y^{3}}$ をまとめます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x \frac{- 2}{y^{3}}$

ステップ 1.5.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x (- \frac{2}{y^{3}})$

ステップ 1.5.2.3

$x$ と $\frac{2}{y^{3}}$ をまとめます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y - \frac{x \cdot 2}{y^{3}}$

ステップ 1.5.2.4

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y - \frac{2 x}{y^{3}}$

ステップ 2

$N (x, y) = 4 x^{2} y$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [4 x^{2} y]$

ステップ 2.2

$4 y$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{2} y$ の微分係数は $4 y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 y (2 x)$

ステップ 2.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$2$ に $4$ をかけます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 8 y x$

ステップ 2.4.2

$8 y x$ の因数を並べ替えます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 8 x y$

ステップ 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$4 x y - \frac{2 x}{y^{3}}$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $8 x y$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$4 x y - \frac{2 x}{y^{3}} = 8 x y$

ステップ 3.2

方程式の左辺が右辺に等しくないので、方程式は恒等式ではありません。

$4 x y - \frac{2 x}{y^{3}} = 8 x y$ は恒等式ではありません。

ステップ 4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$8 x y$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$\frac{8 x y - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

ステップ 4.2

$4 x y - \frac{2 x}{y^{3}}$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に代入します。

$\frac{8 x y - (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})}{M}$

ステップ 4.3

$2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}$ を $M$ に代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}$ を $M$ に代入します。

$\frac{8 x y - (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})}{2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}}$

ステップ 4.3.2

分数の分子と分母に $y^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

$\frac{8 x y - (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})}{2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}}$ に $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ をかけます。

$\frac{y^{2}}{y^{2}} \cdot \frac{8 x y - (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})}{2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}}$

ステップ 4.3.2.2

まとめる。

$\frac{y^{2} (8 x y - (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}})}$

ステップ 4.3.3

分配則を当てはめます。

$\frac{y^{2} (8 x y) + y^{2} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + y^{2} \frac{x}{y^{2}}}$

ステップ 4.3.4

$y^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{y^{2} (8 x y) + y^{2} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + y^{2} \frac{x}{y^{2}}}$

ステップ 4.3.4.2

式を書き換えます。

$\frac{y^{2} (8 x y) + y^{2} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

ステップ 4.3.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.5.1

$y^{3}$ を $y^{2} (8 x y) + y^{2} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}}))$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.5.1.1

$y^{3}$ を $y^{2} (8 x y)$ で因数分解します。

$\frac{y^{3} (y^{- 1} (8 x y)) + y^{2} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

ステップ 4.3.5.1.2

$y^{3}$ を $y^{2} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}}))$ で因数分解します。

$\frac{y^{3} (y^{- 1} (8 x y)) + y^{3} (y^{- 1} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

ステップ 4.3.5.1.3

$y^{3}$ を $y^{3} (y^{- 1} (8 x y)) + y^{3} (y^{- 1} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})))$ で因数分解します。

$\frac{y^{3} (y^{- 1} (8 x y) + y^{- 1} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

ステップ 4.3.5.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{y^{3} (8 y^{- 1} (x y) + y^{- 1} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

ステップ 4.3.5.3

指数を足して $y^{- 1}$ に $y$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.5.3.1

$y$ を移動させます。

$\frac{y^{3} (8 (y \cdot y^{- 1}) x + y^{- 1} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

ステップ 4.3.5.3.2

$y$ に $y^{- 1}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.5.3.2.1

$y$ を $1$ 乗します。

$\frac{y^{3} (8 (y^{1} y^{- 1}) x + y^{- 1} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

ステップ 4.3.5.3.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{y^{3} (8 y^{1 - 1} x + y^{- 1} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

ステップ 4.3.5.3.3

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{y^{3} (8 y^{0} x + y^{- 1} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

ステップ 4.3.5.4

$8 y^{0} x$ を簡約します。

$\frac{y^{3} (8 x + y^{- 1} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

ステップ 4.3.5.5

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{y^{3} (8 x - y^{- 1} (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

ステップ 4.3.5.6

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{y^{3} (8 x - \frac{1}{y} (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

ステップ 4.3.5.7

分配則を当てはめます。

$\frac{y^{3} (8 x - \frac{1}{y} (4 x y) - \frac{1}{y} (- \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

ステップ 4.3.5.8

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.5.8.1

$- \frac{1}{y}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{y^{3} (8 x + \frac{- 1}{y} (4 x y) - \frac{1}{y} (- \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

ステップ 4.3.5.8.2

$y$ を $4 x y$ で因数分解します。

$\frac{y^{3} (8 x + \frac{- 1}{y} (y (4 x)) - \frac{1}{y} (- \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

ステップ 4.3.5.8.3

共通因数を約分します。

$\frac{y^{3} (8 x + \frac{- 1}{y} (y (4 x)) - \frac{1}{y} (- \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

ステップ 4.3.5.8.4

式を書き換えます。

$\frac{y^{3} (8 x - (4 x) - \frac{1}{y} (- \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

ステップ 4.3.5.9

$4$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{y^{3} (8 x - 4 x - \frac{1}{y} (- \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

ステップ 4.3.5.10

$- \frac{1}{y} (- \frac{2 x}{y^{3}})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.5.10.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{y^{3} (8 x - 4 x + 1 \frac{1}{y} \frac{2 x}{y^{3}})}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

ステップ 4.3.5.10.2

$\frac{1}{y}$ に $1$ をかけます。

$\frac{y^{3} (8 x - 4 x + \frac{1}{y} \cdot \frac{2 x}{y^{3}})}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

ステップ 4.3.5.10.3

$\frac{1}{y}$ に $\frac{2 x}{y^{3}}$ をかけます。

$\frac{y^{3} (8 x - 4 x + \frac{2 x}{y \cdot y^{3}})}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

ステップ 4.3.5.10.4

指数を足して $y$ に $y^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.5.10.4.1

$y$ に $y^{3}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.5.10.4.1.1

$y$ を $1$ 乗します。

$\frac{y^{3} (8 x - 4 x + \frac{2 x}{y^{1} y^{3}})}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

ステップ 4.3.5.10.4.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{y^{3} (8 x - 4 x + \frac{2 x}{y^{1 + 3}})}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

ステップ 4.3.5.10.4.2

$1$ と $3$ をたし算します。

$\frac{y^{3} (8 x - 4 x + \frac{2 x}{y^{4}})}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

ステップ 4.3.5.11

$8 x$ から $4 x$ を引きます。

$\frac{y^{3} (4 x + \frac{2 x}{y^{4}})}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

ステップ 4.3.5.12

$2 x$ を $4 x + \frac{2 x}{y^{4}}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.5.12.1

$2 x$ を $4 x$ で因数分解します。

$\frac{y^{3} (2 x (2) + \frac{2 x}{y^{4}})}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

ステップ 4.3.5.12.2

$2 x$ を $\frac{2 x}{y^{4}}$ で因数分解します。

$\frac{y^{3} (2 x (2) + 2 x \frac{1}{y^{4}})}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

ステップ 4.3.5.12.3

$2 x$ を $2 x (2) + 2 x \frac{1}{y^{4}}$ で因数分解します。

$\frac{y^{3} (2 x (2 + \frac{1}{y^{4}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

$\frac{y^{3} \cdot 2 x (2 + \frac{1}{y^{4}})}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

ステップ 4.3.5.13

$2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{y^{4}}{y^{4}}$ を掛けます。

$\frac{y^{3} \cdot 2 x (\frac{2 y^{4}}{y^{4}} + \frac{1}{y^{4}})}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

ステップ 4.3.5.14

公分母の分子をまとめます。

$\frac{y^{3} \cdot 2 x \frac{2 y^{4} + 1}{y^{4}}}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

ステップ 4.3.5.15

指数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.5.15.1

$y^{3}$ と $\frac{2 y^{4} + 1}{y^{4}}$ をまとめます。

$\frac{2 x \frac{y^{3} (2 y^{4} + 1)}{y^{4}}}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

ステップ 4.3.5.15.2

$2$ と $\frac{y^{3} (2 y^{4} + 1)}{y^{4}}$ をまとめます。

$\frac{x \frac{2 (y^{3} (2 y^{4} + 1))}{y^{4}}}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

ステップ 4.3.5.15.3

$x$ と $\frac{2 (y^{3} (2 y^{4} + 1))}{y^{4}}$ をまとめます。

$\frac{\frac{x (2 (y^{3} (2 y^{4} + 1)))}{y^{4}}}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

ステップ 4.3.5.16

不要な括弧を削除します。

$\frac{\frac{x \cdot 2 y^{3} (2 y^{4} + 1)}{y^{4}}}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

ステップ 4.3.5.17

今日数因数で約分することで式 $\frac{x \cdot 2 y^{3} (2 y^{4} + 1)}{y^{4}}$ を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.5.17.1

$y^{3}$ を $x \cdot 2 y^{3} (2 y^{4} + 1)$ で因数分解します。

$\frac{\frac{y^{3} (x \cdot 2 (2 y^{4} + 1))}{y^{4}}}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

ステップ 4.3.5.17.2

$y^{3}$ を $y^{4}$ で因数分解します。

$\frac{\frac{y^{3} (x \cdot 2 (2 y^{4} + 1))}{y^{3} y}}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

ステップ 4.3.5.17.3

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{y^{3} (x \cdot 2 (2 y^{4} + 1))}{y^{3} y}}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

ステップ 4.3.5.17.4

式を書き換えます。

$\frac{\frac{x \cdot 2 (2 y^{4} + 1)}{y}}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

ステップ 4.3.5.18

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{\frac{2 x (2 y^{4} + 1)}{y}}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

ステップ 4.3.6

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.6.1

$x$ を $y^{2} (2 x y^{2}) + x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.6.1.1

$x$ を $y^{2} (2 x y^{2})$ で因数分解します。

$\frac{\frac{2 x (2 y^{4} + 1)}{y}}{x (y^{2} (2 y^{2})) + x}$

ステップ 4.3.6.1.2

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{2 x (2 y^{4} + 1)}{y}}{x (y^{2} (2 y^{2})) + x^{1}}$

ステップ 4.3.6.1.3

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$\frac{\frac{2 x (2 y^{4} + 1)}{y}}{x (y^{2} (2 y^{2})) + x \cdot 1}$

ステップ 4.3.6.1.4

$x$ を $x (y^{2} (2 y^{2})) + x \cdot 1$ で因数分解します。

$\frac{\frac{2 x (2 y^{4} + 1)}{y}}{x (y^{2} (2 y^{2}) + 1)}$

ステップ 4.3.6.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{\frac{2 x (2 y^{4} + 1)}{y}}{x (2 y^{2} y^{2} + 1)}$

ステップ 4.3.6.3

指数を足して $y^{2}$ に $y^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.6.3.1

$y^{2}$ を移動させます。

$\frac{\frac{2 x (2 y^{4} + 1)}{y}}{x (2 (y^{2} y^{2}) + 1)}$

ステップ 4.3.6.3.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\frac{2 x (2 y^{4} + 1)}{y}}{x (2 y^{2 + 2} + 1)}$

ステップ 4.3.6.3.3

$2$ と $2$ をたし算します。

$\frac{\frac{2 x (2 y^{4} + 1)}{y}}{x (2 y^{4} + 1)}$

ステップ 4.3.7

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{2 x (2 y^{4} + 1)}{y} \cdot \frac{1}{x (2 y^{4} + 1)}$

ステップ 4.3.8

まとめる。

$\frac{2 x (2 y^{4} + 1) \cdot 1}{y (x (2 y^{4} + 1))}$

ステップ 4.3.9

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.9.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x (2 y^{4} + 1) \cdot 1}{y (x (2 y^{4} + 1))}$

ステップ 4.3.9.2

式を書き換えます。

$\frac{(2 (2 y^{4} + 1)) \cdot 1}{y (2 y^{4} + 1)}$

ステップ 4.3.10

$2 y^{4} + 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.10.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 (2 y^{4} + 1) \cdot 1}{y (2 y^{4} + 1)}$

ステップ 4.3.10.2

式を書き換えます。

$\frac{(2) \cdot 1}{y}$

ステップ 4.3.11

$2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}$ を $M$ に代入します。

$\frac{2}{y}$

ステップ 4.4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ を求めます。

$μ (x, y) = e^{\int \frac{2}{y} d y}$

ステップ 5

積分 $e^{\int \frac{2}{y} d y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$2$ は $y$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$μ (x, y) = e^{2 \int \frac{1}{y} d y}$

ステップ 5.2

$\frac{1}{y}$ の $y$ に関する積分は $\ln (| y |)$ です。

$μ (x, y) = e^{2 (\ln (| y |) + C)}$

ステップ 5.3

簡約します。

$μ (x, y) = e^{2 \ln (| y |)} + C$

ステップ 5.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

対数の中の $2$ を移動させて $2 \ln (| y |)$ を簡約します。

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{2})} + C$

ステップ 5.4.2

指数関数と対数関数は逆関数です。

$μ (x, y) = {| y |}^{2} + C$

ステップ 5.4.3

偶数乗をもつ累乗法は常に正なので、 ${| y |}^{2}$ の絶対値を削除します。

$μ (x, y) = y^{2} + C$

ステップ 6

$(2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}) d x + 4 x^{2} y d y = 0$ の両辺に積分因子 $y^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}$ に $y^{2}$ をかけます。

$(2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}) y^{2} d x + 4 x^{2} y d y = 0$

ステップ 6.2

分配則を当てはめます。

$(2 x y^{2} y^{2} + \frac{x}{y^{2}} y^{2}) d x + 4 x^{2} y d y = 0$

ステップ 6.3

指数を足して $y^{2}$ に $y^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

$y^{2}$ を移動させます。

$(2 x (y^{2} y^{2}) + \frac{x}{y^{2}} y^{2}) d x + 4 x^{2} y d y = 0$

ステップ 6.3.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$(2 x y^{2 + 2} + \frac{x}{y^{2}} y^{2}) d x + 4 x^{2} y d y = 0$

ステップ 6.3.3

$2$ と $2$ をたし算します。

$(2 x y^{4} + \frac{x}{y^{2}} y^{2}) d x + 4 x^{2} y d y = 0$

ステップ 6.4

$y^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1

共通因数を約分します。

$(2 x y^{4} + \frac{x}{y^{2}} y^{2}) d x + 4 x^{2} y d y = 0$

ステップ 6.4.2

式を書き換えます。

$(2 x y^{4} + x) d x + 4 x^{2} y d y = 0$

ステップ 6.5

$4 x^{2} y$ に $y^{2}$ をかけます。

$(2 x y^{4} + x) d x + 4 x^{2} y \cdot y^{2} d y = 0$

ステップ 6.6

指数を足して $y$ に $y^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.6.1

$y^{2}$ を移動させます。

$(2 x y^{4} + x) d x + 4 x^{2} (y^{2} y) d y = 0$

ステップ 6.6.2

$y^{2}$ に $y$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.6.2.1

$y$ を $1$ 乗します。

$(2 x y^{4} + x) d x + 4 x^{2} (y^{2} y^{1}) d y = 0$

ステップ 6.6.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$(2 x y^{4} + x) d x + 4 x^{2} y^{2 + 1} d y = 0$

ステップ 6.6.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$(2 x y^{4} + x) d x + 4 x^{2} y^{3} d y = 0$

ステップ 7

$f (x, y)$ は $N (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int 4 x^{2} y^{3} d y$

ステップ 8

$N (x, y) = 4 x^{2} y^{3}$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

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ステップ 8.1

$4 x^{2}$ は $y$ に対して定数なので、 $4 x^{2}$ を積分の外に移動させます。

$f (x, y) = 4 x^{2} \int y^{3} d y$

ステップ 8.2

べき乗則では、 $y^{3}$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{4} y^{4}$ です。

$f (x, y) = 4 x^{2} (\frac{1}{4} y^{4} + C)$

ステップ 8.3

答えを簡約します。

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ステップ 8.3.1

$4 x^{2} (\frac{1}{4} y^{4} + C)$ を $4 x^{2} \frac{1}{4} y^{4} + C$ に書き換えます。

$f (x, y) = 4 x^{2} \frac{1}{4} y^{4} + C$

ステップ 8.3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.2.1

$4$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$f (x, y) = x^{2} \frac{4}{4} y^{4} + C$

ステップ 8.3.2.2

$x^{2}$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$f (x, y) = \frac{x^{2} \cdot 4}{4} y^{4} + C$

ステップ 8.3.2.3

$4$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$f (x, y) = \frac{4 \cdot x^{2}}{4} y^{4} + C$

ステップ 8.3.2.4

$4$ に $x^{2}$ をかけます。

$f (x, y) = \frac{4 x^{2}}{4} y^{4} + C$

ステップ 8.3.2.5

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.3.2.5.1

共通因数を約分します。

$f (x, y) = \frac{4 x^{2}}{4} y^{4} + C$

ステップ 8.3.2.5.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$f (x, y) = x^{2} y^{4} + C$

ステップ 9

$g (x)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (x)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = x^{2} y^{4} + g (x)$

ステップ 10

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x y^{4} + x$

ステップ 11

$\frac{\partial f}{\partial x}$ を求めます。

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ステップ 11.1

$x$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{4} + g (x)] = 2 x y^{4} + x$

ステップ 11.2

総和則では、 $x^{2} y^{4} + g (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y^{4} + x$

ステップ 11.3

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{4}]$ の値を求めます。

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ステップ 11.3.1

$y^{4}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $x^{2} y^{4}$ の微分係数は $y^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$y^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y^{4} + x$

ステップ 11.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$y^{4} (2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y^{4} + x$

ステップ 11.3.3

$2$ を $y^{4}$ の左に移動させます。

$2 y^{4} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y^{4} + x$

ステップ 11.4

$g (x)$ の微分係数は $\frac{d g}{d x}$ であるという関数の規則を使って微分します。

$2 y^{4} x + \frac{d g}{d x} = 2 x y^{4} + x$

ステップ 11.5

項を並べ替えます。

$\frac{d g}{d x} + 2 y^{4} x = 2 x y^{4} + x$

ステップ 12

$\frac{d g}{d x}$ について解きます。

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ステップ 12.1

$\frac{d g}{d x}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 12.1.1

方程式の両辺から $2 y^{4} x$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} = 2 x y^{4} + x - 2 y^{4} x$

ステップ 12.1.2

$2 x y^{4} + x - 2 y^{4} x$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 12.1.2.1

$2 x y^{4}$ と $- 2 y^{4} x$ について因数を並べ替えます。

$\frac{d g}{d x} = 2 y^{4} x + x - 2 y^{4} x$

ステップ 12.1.2.2

$2 y^{4} x$ から $2 y^{4} x$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} = x + 0$

ステップ 12.1.2.3

$x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d g}{d x} = x$

ステップ 13

$x$ の不定積分を求めて $g (x)$ を求めます。

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ステップ 13.1

$\frac{d g}{d x} = x$ の両辺を積分します。

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x d x$

ステップ 13.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ の値を求めます。

$g (x) = \int x d x$

ステップ 13.3

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

ステップ 14

$f (x, y) = x^{2} y^{4} + g (x)$ の $g (x)$ に代入します。

$f (x, y) = x^{2} y^{4} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

ステップ 15

$f (x, y) = x^{2} y^{4} + \frac{1}{2} x^{2} + C$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$f (x, y) = x^{2} y^{4} + \frac{x^{2}}{2} + C$

ステップ 15.2

$x^{2} y^{4}$ の因数を並べ替えます。

$f (x, y) = y^{4} x^{2} + \frac{x^{2}}{2} + C$

ステップ 15.3

$y^{4} x^{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f (x, y) = y^{4} x^{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{x^{2}}{2} + C$

ステップ 15.4

$y^{4} x^{2}$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f (x, y) = \frac{y^{4} x^{2} \cdot 2}{2} + \frac{x^{2}}{2} + C$

ステップ 15.5

公分母の分子をまとめます。

$f (x, y) = \frac{y^{4} x^{2} \cdot 2 + x^{2}}{2} + C$

ステップ 15.6

分子を簡約します。

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ステップ 15.6.1

$x^{2}$ を $y^{4} x^{2} \cdot 2 + x^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.6.1.1

$x^{2}$ を $y^{4} x^{2} \cdot 2$ で因数分解します。

$f (x, y) = \frac{x^{2} (y^{4} \cdot 2) + x^{2}}{2} + C$

ステップ 15.6.1.2

$1$ を掛けます。

$f (x, y) = \frac{x^{2} (y^{4} \cdot 2) + x^{2} \cdot 1}{2} + C$

ステップ 15.6.1.3

$x^{2}$ を $x^{2} (y^{4} \cdot 2) + x^{2} \cdot 1$ で因数分解します。

$f (x, y) = \frac{x^{2} (y^{4} \cdot 2 + 1)}{2} + C$

ステップ 15.6.2

$2$ を $y^{4}$ の左に移動させます。

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y^{4} + 1)}{2} + C$

微分積分 例

微分積分例