微分積分例

$\sin (θ) \frac{d r}{d θ} = - 1 - 2 r \cos (θ)$

ステップ 1

微分方程式を $\frac{d r}{d θ} + M (θ) r = Q (θ)$ として書き換えます。

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ステップ 1.1

方程式の両辺に $2 r \cos (θ)$ を足します。

$\sin (θ) \frac{d r}{d θ} + 2 r \cos (θ) = - 1$

ステップ 1.2

$r$ を $2 r \cos (θ)$ で因数分解します。

$\sin (θ) \frac{d r}{d θ} + r (2 \cos (θ)) = - 1$

ステップ 1.3

$r$ と $2 \cos (θ)$ を並べ替えます。

$\sin (θ) \frac{d r}{d θ} + 2 \cos (θ) r = - 1$

ステップ 1.4

$\sin (θ) \frac{d r}{d θ} + 2 \cos (θ) r = - 1$ の各項を $\sin (θ)$ で割ります。

$\frac{\sin (θ) \frac{d r}{d θ}}{\sin (θ)} + \frac{2 \cos (θ) r}{\sin (θ)} = \frac{- 1}{\sin (θ)}$

ステップ 1.5

$\sin (θ)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sin (θ) \frac{d r}{d θ}}{\sin (θ)} + \frac{2 \cos (θ) r}{\sin (θ)} = \frac{- 1}{\sin (θ)}$

ステップ 1.5.2

$\frac{d r}{d θ}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d r}{d θ} + \frac{2 \cos (θ) r}{\sin (θ)} = \frac{- 1}{\sin (θ)}$

ステップ 1.6

$r$ を $\frac{2 \cos (θ) r}{\sin (θ)}$ で因数分解します。

$\frac{d r}{d θ} + r \frac{2 \cos (θ)}{\sin (θ)} = \frac{- 1}{\sin (θ)}$

ステップ 1.7

$r$ と $\frac{2 \cos (θ)}{\sin (θ)}$ を並べ替えます。

$\frac{d r}{d θ} + \frac{2 \cos (θ)}{\sin (θ)} r = \frac{- 1}{\sin (θ)}$

ステップ 2

$P (θ) = \frac{2 \cos (θ)}{\sin (θ)}$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (θ) d θ}$ で定義されます。

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ステップ 2.1

積分を設定します。

$e^{\int \frac{2 \cos (θ)}{\sin (θ)} d θ}$

ステップ 2.2

$\frac{2 \cos (θ)}{\sin (θ)}$ を積分します。

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ステップ 2.2.1

分数を分解します。

$e^{\int \frac{2}{1} \cdot \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} d θ}$

ステップ 2.2.2

$\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ を $\cot (θ)$ に変換します。

$e^{\int \frac{2}{1} \cot (θ) d θ}$

ステップ 2.2.3

$2$ を $1$ で割ります。

$e^{\int 2 \cot (θ) d θ}$

ステップ 2.2.4

$2$ は $θ$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$e^{2 \int \cot (θ) d θ}$

ステップ 2.2.5

$\cot (θ)$ の $θ$ に関する積分は $\ln (| \sin (θ) |)$ です。

$e^{2 (\ln (| \sin (θ) |) + C)}$

ステップ 2.2.6

簡約します。

$e^{2 \ln (| \sin (θ) |) + C}$

ステップ 2.3

積分定数を削除します。

$e^{2 \ln (\sin (θ))}$

ステップ 2.4

対数のべき乗則を利用します。

$e^{\ln (\sin^{2} (θ))}$

ステップ 2.5

指数関数と対数関数は逆関数です。

$\sin^{2} (θ)$

ステップ 3

各項に積分因数 $\sin^{2} (θ)$ を掛けます。

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ステップ 3.1

各項に $\sin^{2} (θ)$ を掛けます。

$\sin^{2} (θ) \frac{d r}{d θ} + \sin^{2} (θ) (\frac{2 \cos (θ)}{\sin (θ)} r) = \sin^{2} (θ) \frac{- 1}{\sin (θ)}$

ステップ 3.2

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.1

分数を分解します。

$\sin^{2} (θ) \frac{d r}{d θ} + \sin^{2} (θ) (\frac{2}{1} \cdot \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} r) = \sin^{2} (θ) \frac{- 1}{\sin (θ)}$

ステップ 3.2.2

$\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ を $\cot (θ)$ に変換します。

$\sin^{2} (θ) \frac{d r}{d θ} + \sin^{2} (θ) (\frac{2}{1} \cot (θ) r) = \sin^{2} (θ) \frac{- 1}{\sin (θ)}$

ステップ 3.2.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$\sin^{2} (θ) \frac{d r}{d θ} + \frac{2}{1} \sin^{2} (θ) \cot (θ) r = \sin^{2} (θ) \frac{- 1}{\sin (θ)}$

ステップ 3.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$\sin^{2} (θ) \frac{d r}{d θ} + 2 \sin^{2} (θ) \cot (θ) r = \sin^{2} (θ) \frac{- 1}{\sin (θ)}$

ステップ 3.3

$\sin (θ)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.1

$\sin (θ)$ を $\sin^{2} (θ)$ で因数分解します。

$\sin^{2} (θ) \frac{d r}{d θ} + 2 \sin^{2} (θ) \cot (θ) r = \sin (θ) \sin (θ) \frac{- 1}{\sin (θ)}$

ステップ 3.3.2

共通因数を約分します。

$\sin^{2} (θ) \frac{d r}{d θ} + 2 \sin^{2} (θ) \cot (θ) r = \sin (θ) \sin (θ) \frac{- 1}{\sin (θ)}$

ステップ 3.3.3

式を書き換えます。

$\sin^{2} (θ) \frac{d r}{d θ} + 2 \sin^{2} (θ) \cot (θ) r = \sin (θ) \cdot - 1$

ステップ 3.4

$- 1$ を $\sin (θ)$ の左に移動させます。

$\sin^{2} (θ) \frac{d r}{d θ} + 2 \sin^{2} (θ) \cot (θ) r = - 1 \cdot \sin (θ)$

ステップ 3.5

$- 1 \sin (θ)$ を $- \sin (θ)$ に書き換えます。

$\sin^{2} (θ) \frac{d r}{d θ} + 2 \sin^{2} (θ) \cot (θ) r = - \sin (θ)$

ステップ 3.6

$\sin^{2} (θ) \frac{d r}{d θ} + 2 \sin^{2} (θ) \cot (θ) r = - \sin (θ)$ の因数を並べ替えます。

$\sin^{2} (θ) \frac{d r}{d θ} + 2 r \sin^{2} (θ) \cot (θ) = - \sin (θ)$

ステップ 4

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d θ} [\sin^{2} (θ) r] = - \sin (θ)$

ステップ 5

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d θ} [\sin^{2} (θ) r] d θ = \int - \sin (θ) d θ$

ステップ 6

左辺を積分します。

$\sin^{2} (θ) r = \int - \sin (θ) d θ$

ステップ 7

右辺を積分します。

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ステップ 7.1

$- 1$ は $θ$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\sin^{2} (θ) r = - \int \sin (θ) d θ$

ステップ 7.2

$\sin (θ)$ の $θ$ に関する積分は $- \cos (θ)$ です。

$\sin^{2} (θ) r = - (- \cos (θ) + C)$

ステップ 7.3

答えを簡約します。

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ステップ 7.3.1

簡約します。

$\sin^{2} (θ) r = - - \cos (θ) + C$

ステップ 7.3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\sin^{2} (θ) r = 1 \cos (θ) + C$

ステップ 7.3.2.2

$\cos (θ)$ に $1$ をかけます。

$\sin^{2} (θ) r = \cos (θ) + C$

ステップ 8

$\sin^{2} (θ) r = \cos (θ) + C$ の各項を $\sin^{2} (θ)$ で割り、簡約します。

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ステップ 8.1

$\sin^{2} (θ) r = \cos (θ) + C$ の各項を $\sin^{2} (θ)$ で割ります。

$\frac{\sin^{2} (θ) r}{\sin^{2} (θ)} = \frac{\cos (θ)}{\sin^{2} (θ)} + \frac{C}{\sin^{2} (θ)}$

ステップ 8.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

$\sin^{2} (θ)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sin^{2} (θ) r}{\sin^{2} (θ)} = \frac{\cos (θ)}{\sin^{2} (θ)} + \frac{C}{\sin^{2} (θ)}$

ステップ 8.2.1.2

$r$ を $1$ で割ります。

$r = \frac{\cos (θ)}{\sin^{2} (θ)} + \frac{C}{\sin^{2} (θ)}$

ステップ 8.3

右辺を簡約します。

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ステップ 8.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.1

$\sin (θ)$ を $\sin^{2} (θ)$ で因数分解します。

$r = \frac{\cos (θ)}{\sin (θ) \sin (θ)} + \frac{C}{\sin^{2} (θ)}$

ステップ 8.3.1.2

分数を分解します。

$r = \frac{1}{\sin (θ)} \cdot \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} + \frac{C}{\sin^{2} (θ)}$

ステップ 8.3.1.3

$\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ を $\cot (θ)$ に変換します。

$r = \frac{1}{\sin (θ)} \cot (θ) + \frac{C}{\sin^{2} (θ)}$

ステップ 8.3.1.4

$\frac{1}{\sin (θ)}$ を $\csc (θ)$ に変換します。

$r = \csc (θ) \cot (θ) + \frac{C}{\sin^{2} (θ)}$

ステップ 8.3.1.5

$1$ を掛けます。

$r = \csc (θ) \cot (θ) + \frac{C}{\sin^{2} (θ) \cdot 1}$

ステップ 8.3.1.6

分数を分解します。

$r = \csc (θ) \cot (θ) + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\sin^{2} (θ)}$

ステップ 8.3.1.7

$\frac{1}{\sin^{2} (θ)}$ を $\csc^{2} (θ)$ に変換します。

$r = \csc (θ) \cot (θ) + \frac{C}{1} \csc^{2} (θ)$

ステップ 8.3.1.8

$C$ を $1$ で割ります。

$r = \csc (θ) \cot (θ) + C \csc^{2} (θ)$

微分積分 例

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