微分積分例

$3 x y \frac{d y}{d x} = 4 x^{2} + 9 y^{2}$

ステップ 1

微分方程式を $\frac{y}{x}$ の関数で書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$3 x y \frac{d y}{d x} = 4 x^{2} + 9 y^{2}$ の各項を $3 x y$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$3 x y \frac{d y}{d x} = 4 x^{2} + 9 y^{2}$ の各項を $3 x y$ で割ります。

$\frac{3 x y \frac{d y}{d x}}{3 x y} = \frac{4 x^{2}}{3 x y} + \frac{9 y^{2}}{3 x y}$

ステップ 1.1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x y \frac{d y}{d x}}{3 x y} = \frac{4 x^{2}}{3 x y} + \frac{9 y^{2}}{3 x y}$

ステップ 1.1.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{4 x^{2}}{3 x y} + \frac{9 y^{2}}{3 x y}$

ステップ 1.1.2.2

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{4 x^{2}}{3 x y} + \frac{9 y^{2}}{3 x y}$

ステップ 1.1.2.2.2

式を書き換えます。

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{4 x^{2}}{3 x y} + \frac{9 y^{2}}{3 x y}$

ステップ 1.1.2.3

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{4 x^{2}}{3 x y} + \frac{9 y^{2}}{3 x y}$

ステップ 1.1.2.3.2

$\frac{d y}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x^{2}}{3 x y} + \frac{9 y^{2}}{3 x y}$

ステップ 1.1.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1.1

$x^{2}$ と $x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1.1.1

$x$ を $4 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (4 x)}{3 x y} + \frac{9 y^{2}}{3 x y}$

ステップ 1.1.3.1.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1.1.2.1

$x$ を $3 x y$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (4 x)}{x (3 y)} + \frac{9 y^{2}}{3 x y}$

ステップ 1.1.3.1.1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (4 x)}{x (3 y)} + \frac{9 y^{2}}{3 x y}$

ステップ 1.1.3.1.1.2.3

式を書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x}{3 y} + \frac{9 y^{2}}{3 x y}$

ステップ 1.1.3.1.2

$9$ と $3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1.2.1

$3$ を $9 y^{2}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x}{3 y} + \frac{3 (3 y^{2})}{3 x y}$

ステップ 1.1.3.1.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1.2.2.1

$3$ を $3 x y$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x}{3 y} + \frac{3 (3 y^{2})}{3 (x y)}$

ステップ 1.1.3.1.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x}{3 y} + \frac{3 (3 y^{2})}{3 (x y)}$

ステップ 1.1.3.1.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x}{3 y} + \frac{3 y^{2}}{x y}$

ステップ 1.1.3.1.3

$y^{2}$ と $y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1.3.1

$y$ を $3 y^{2}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x}{3 y} + \frac{y (3 y)}{x y}$

ステップ 1.1.3.1.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1.3.2.1

$y$ を $x y$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x}{3 y} + \frac{y (3 y)}{y x}$

ステップ 1.1.3.1.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x}{3 y} + \frac{y (3 y)}{y x}$

ステップ 1.1.3.1.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x}{3 y} + \frac{3 y}{x}$

ステップ 1.2

微分方程式を $f (\frac{y}{x})$ として書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$\frac{4 x}{3 y}$ から $\frac{x}{y}$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1.1

$\frac{x}{y}$ を $\frac{4 x}{3 y}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} \cdot \frac{4}{3} + \frac{3 y}{x}$

ステップ 1.2.1.2

$\frac{x}{y}$ と $\frac{4}{3}$ を並べ替えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{4}{3} \cdot \frac{x}{y} + \frac{3 y}{x}$

ステップ 1.2.2

$\frac{x}{y}$ を ${(\frac{y}{x})}^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{4}{3} {(\frac{y}{x})}^{- 1} + \frac{3 y}{x}$

ステップ 1.3

$\frac{3 y}{x}$ から $\frac{y}{x}$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$\frac{y}{x}$ を $\frac{3 y}{x}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{4}{3} {(\frac{y}{x})}^{- 1} + \frac{y}{x} \cdot 3$

ステップ 1.3.2

$\frac{y}{x}$ と $3$ を並べ替えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{4}{3} {(\frac{y}{x})}^{- 1} + 3 \cdot \frac{y}{x}$

ステップ 2

$V = \frac{y}{x}$ とします。 $V$ を $\frac{y}{x}$ に代入します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{4}{3} V^{- 1} + 3 \cdot V$

ステップ 3

$y$ について $V = \frac{y}{x}$ を解きます。

$y = V x$

ステップ 4

積の法則を利用し、 $x$ について $y = V x$ の微分係数を求めます。

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

ステップ 5

$x \frac{d V}{d x} + V$ を $\frac{d y}{d x}$ に代入します。

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{4}{3} V^{- 1} + 3 \cdot V$

ステップ 6

代入された微分方程式の解を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

変数を分けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

$\frac{d V}{d x}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.1.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{V} + 3 \cdot V$

ステップ 6.1.1.1.2

$\frac{4}{3}$ に $\frac{1}{V}$ をかけます。

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{4}{3 V} + 3 V$

ステップ 6.1.1.2

$\frac{d V}{d x}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.2.1

方程式の両辺から $V$ を引きます。

$x \frac{d V}{d x} = \frac{4}{3 V} + 3 V - V$

ステップ 6.1.1.2.2

$3 V$ から $V$ を引きます。

$x \frac{d V}{d x} = \frac{4}{3 V} + 2 V$

ステップ 6.1.1.3

$x \frac{d V}{d x} = \frac{4}{3 V} + 2 V$ の各項を $x$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.3.1

$x \frac{d V}{d x} = \frac{4}{3 V} + 2 V$ の各項を $x$ で割ります。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{4}{3 V}}{x} + \frac{2 V}{x}$

ステップ 6.1.1.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.3.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{4}{3 V}}{x} + \frac{2 V}{x}$

ステップ 6.1.1.3.2.1.2

$\frac{d V}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{4}{3 V}}{x} + \frac{2 V}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.3.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.3.3.1.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{4}{3 V} \cdot \frac{1}{x} + \frac{2 V}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.1.2

$\frac{4}{3 V}$ に $\frac{1}{x}$ をかけます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{4}{3 V x} + \frac{2 V}{x}$

ステップ 6.1.2

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.2.1

$\frac{2 V}{x}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3 V}{3 V}$ を掛けます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{4}{3 V x} + \frac{2 V}{x} \cdot \frac{3 V}{3 V}$

ステップ 6.1.2.2

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $3 V x$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.2.2.1

$\frac{2 V}{x}$ に $\frac{3 V}{3 V}$ をかけます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{4}{3 V x} + \frac{2 V (3 V)}{x (3 V)}$

ステップ 6.1.2.2.2

$x (3 V)$ の因数を並べ替えます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{4}{3 V x} + \frac{2 V (3 V)}{3 V x}$

ステップ 6.1.2.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{4 + 2 V (3 V)}{3 V x}$

ステップ 6.1.2.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.2.4.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{4 + 2 \cdot 3 V \cdot V}{3 V x}$

ステップ 6.1.2.4.2

指数を足して $V$ に $V$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.2.4.2.1

$V$ を移動させます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{4 + 2 \cdot 3 (V \cdot V)}{3 V x}$

ステップ 6.1.2.4.2.2

$V$ に $V$ をかけます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{4 + 2 \cdot 3 V^{2}}{3 V x}$

ステップ 6.1.2.4.3

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{4 + 6 V^{2}}{3 V x}$

ステップ 6.1.2.4.4

$2$ を $4 + 6 V^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.2.4.4.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{d V}{d x} = \frac{2 (2) + 6 V^{2}}{3 V x}$

ステップ 6.1.2.4.4.2

$2$ を $6 V^{2}$ で因数分解します。

$\frac{d V}{d x} = \frac{2 (2) + 2 (3 V^{2})}{3 V x}$

ステップ 6.1.2.4.4.3

$2$ を $2 (2) + 2 (3 V^{2})$ で因数分解します。

$\frac{d V}{d x} = \frac{2 (2 + 3 V^{2})}{3 V x}$

ステップ 6.1.3

因数をもう一度まとめます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{2 (2 + 3 V^{2})}{3 V} \cdot \frac{1}{x}$

ステップ 6.1.4

両辺に $\frac{3 V}{2 (2 + 3 V^{2})}$ を掛けます。

$\frac{3 V}{2 (2 + 3 V^{2})} \frac{d V}{d x} = \frac{3 V}{2 (2 + 3 V^{2})} (\frac{2 (2 + 3 V^{2})}{3 V} \cdot \frac{1}{x})$

ステップ 6.1.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.5.1

まとめる。

$\frac{3 V}{2 (2 + 3 V^{2})} \frac{d V}{d x} = \frac{3 V}{2 (2 + 3 V^{2})} \cdot \frac{2 (2 + 3 V^{2}) \cdot 1}{3 V x}$

ステップ 6.1.5.2

まとめる。

$\frac{3 V}{2 (2 + 3 V^{2})} \frac{d V}{d x} = \frac{3 V (2 (2 + 3 V^{2}) \cdot 1)}{2 (2 + 3 V^{2}) (3 V x)}$

ステップ 6.1.5.3

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.5.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 V}{2 (2 + 3 V^{2})} \frac{d V}{d x} = \frac{3 V (2 (2 + 3 V^{2}) \cdot 1)}{2 (2 + 3 V^{2}) (3 V x)}$

ステップ 6.1.5.3.2

式を書き換えます。

$\frac{3 V}{2 (2 + 3 V^{2})} \frac{d V}{d x} = \frac{V (2 (2 + 3 V^{2}) \cdot 1)}{2 (2 + 3 V^{2}) (V x)}$

ステップ 6.1.5.4

$V$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.5.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 V}{2 (2 + 3 V^{2})} \frac{d V}{d x} = \frac{V (2 (2 + 3 V^{2}) \cdot 1)}{2 (2 + 3 V^{2}) (V x)}$

ステップ 6.1.5.4.2

式を書き換えます。

$\frac{3 V}{2 (2 + 3 V^{2})} \frac{d V}{d x} = \frac{2 (2 + 3 V^{2}) \cdot 1}{2 (2 + 3 V^{2}) (x)}$

ステップ 6.1.5.5

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.5.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 V}{2 (2 + 3 V^{2})} \frac{d V}{d x} = \frac{2 (2 + 3 V^{2}) \cdot 1}{2 (2 + 3 V^{2}) x}$

ステップ 6.1.5.5.2

式を書き換えます。

$\frac{3 V}{2 (2 + 3 V^{2})} \frac{d V}{d x} = \frac{(2 + 3 V^{2}) \cdot 1}{(2 + 3 V^{2}) (x)}$

ステップ 6.1.5.6

$2 + 3 V^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.5.6.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 V}{2 (2 + 3 V^{2})} \frac{d V}{d x} = \frac{(2 + 3 V^{2}) \cdot 1}{(2 + 3 V^{2}) x}$

ステップ 6.1.5.6.2

式を書き換えます。

$\frac{3 V}{2 (2 + 3 V^{2})} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

ステップ 6.1.6

方程式を書き換えます。

$\frac{3 V}{2 (2 + 3 V^{2})} d V = \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{3 V}{2 (2 + 3 V^{2})} d V = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2

左辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$\frac{3}{2}$ は $V$ に対して定数なので、 $\frac{3}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{3}{2} \int \frac{V}{2 + 3 V^{2}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.2

$u = 2 + 3 V^{2}$ とします。次に $d u = 6 V d V$ すると、 $\frac{1}{6} d u = V d V$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.2.1

$u = 2 + 3 V^{2}$ とします。 $\frac{d u}{d V}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.2.1.1

$2 + 3 V^{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d V} [2 + 3 V^{2}]$

ステップ 6.2.2.2.1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.2.1.2.1

総和則では、 $2 + 3 V^{2}$ の $V$ に関する積分は $\frac{d}{d V} [2] + \frac{d}{d V} [3 V^{2}]$ です。

$\frac{d}{d V} [2] + \frac{d}{d V} [3 V^{2}]$

ステップ 6.2.2.2.1.2.2

$2$ は $V$ について定数なので、 $V$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d V} [3 V^{2}]$

ステップ 6.2.2.2.1.3

$\frac{d}{d V} [3 V^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.2.1.3.1

$3$ は $V$ に対して定数なので、 $V$ に対する $3 V^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d V} [V^{2}]$ です。

$0 + 3 \frac{d}{d V} [V^{2}]$

ステップ 6.2.2.2.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ は $n V^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 3 (2 V)$

ステップ 6.2.2.2.1.3.3

$2$ に $3$ をかけます。

$0 + 6 V$

ステップ 6.2.2.2.1.4

$0$ と $6 V$ をたし算します。

$6 V$

ステップ 6.2.2.2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{6} d u = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.3.1

$\frac{1}{u}$ に $\frac{1}{6}$ をかけます。

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{u \cdot 6} d u = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.3.2

$6$ を $u$ の左に移動させます。

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{6 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.4

$\frac{1}{6}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{6}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{3}{2} (\frac{1}{6} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.5.1

$\frac{1}{6}$ に $\frac{3}{2}$ をかけます。

$\frac{3}{6 \cdot 2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.5.2

$6$ に $2$ をかけます。

$\frac{3}{12} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.5.3

$3$ と $12$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.5.3.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\frac{3 (1)}{12} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.5.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.5.3.2.1

$3$ を $12$ で因数分解します。

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 4} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.5.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 4} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.5.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.6

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$\frac{1}{4} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.7

簡約します。

$\frac{1}{4} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.8

$u$ のすべての発生を $2 + 3 V^{2}$ で置き換えます。

$\frac{1}{4} \ln (| 2 + 3 V^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.3

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$\frac{1}{4} \ln (| 2 + 3 V^{2} |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

ステップ 6.2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\frac{1}{4} \ln (| 2 + 3 V^{2} |) = \ln (| x |) + C$

ステップ 6.3

$V$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

方程式の両辺に $4$ を掛けます。

$4 (\frac{1}{4} \ln (| 2 + 3 V^{2} |)) = 4 (\ln (| x |) + C)$

ステップ 6.3.2

方程式の両辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1.1

$4 (\frac{1}{4} \ln (| 2 + 3 V^{2} |))$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1.1.1

$\frac{1}{4}$ と $\ln (| 2 + 3 V^{2} |)$ をまとめます。

$4 \frac{\ln (| 2 + 3 V^{2} |)}{4} = 4 (\ln (| x |) + C)$

ステップ 6.3.2.1.1.2

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$4 \frac{\ln (| 2 + 3 V^{2} |)}{4} = 4 (\ln (| x |) + C)$

ステップ 6.3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$\ln (| 2 + 3 V^{2} |) = 4 (\ln (| x |) + C)$

ステップ 6.3.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.2.1

分配則を当てはめます。

$\ln (| 2 + 3 V^{2} |) = 4 \ln (| x |) + 4 C$

ステップ 6.3.3

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$\ln (| 2 + 3 V^{2} |) - 4 \ln (| x |) = 4 C$

ステップ 6.3.4

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.4.1

$\ln (| 2 + 3 V^{2} |) - 4 \ln (| x |)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.4.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.4.1.1.1

対数の中の $4$ を移動させて $- 4 \ln (| x |)$ を簡約します。

$\ln (| 2 + 3 V^{2} |) - \ln ({| x |}^{4}) = 4 C$

ステップ 6.3.4.1.1.2

偶数乗をもつ累乗法は常に正なので、 ${| x |}^{4}$ の絶対値を削除します。

$\ln (| 2 + 3 V^{2} |) - \ln (x^{4}) = 4 C$

ステップ 6.3.4.1.2

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\ln (\frac{| 2 + 3 V^{2} |}{x^{4}}) = 4 C$

ステップ 6.3.5

$V$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (\frac{| 2 + 3 V^{2} |}{x^{4}})} = e^{4 C}$

ステップ 6.3.6

対数の定義を利用して $\ln (\frac{| 2 + 3 V^{2} |}{x^{4}}) = 4 C$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{4 C} = \frac{| 2 + 3 V^{2} |}{x^{4}}$

ステップ 6.3.7

$V$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.7.1

方程式を $\frac{| 2 + 3 V^{2} |}{x^{4}} = e^{4 C}$ として書き換えます。

$\frac{| 2 + 3 V^{2} |}{x^{4}} = e^{4 C}$

ステップ 6.3.7.2

両辺に $x^{4}$ を掛けます。

$\frac{| 2 + 3 V^{2} |}{x^{4}} x^{4} = e^{4 C} x^{4}$

ステップ 6.3.7.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.7.3.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.7.3.1.1

$x^{4}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.7.3.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{| 2 + 3 V^{2} |}{x^{4}} x^{4} = e^{4 C} x^{4}$

ステップ 6.3.7.3.1.1.2

式を書き換えます。

$| 2 + 3 V^{2} | = e^{4 C} x^{4}$

ステップ 6.3.7.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.7.3.2.1

$e^{4 C} x^{4}$ の因数を並べ替えます。

$| 2 + 3 V^{2} | = x^{4} e^{4 C}$

ステップ 6.3.7.4

$V$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.7.4.1

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$2 + 3 V^{2} = \pm x^{4} e^{4 C}$

ステップ 6.3.7.4.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$3 V^{2} = \pm x^{4} e^{4 C} - 2$

ステップ 6.3.7.4.3

$3 V^{2} = \pm x^{4} e^{4 C} - 2$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.7.4.3.1

$3 V^{2} = \pm x^{4} e^{4 C} - 2$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 V^{2}}{3} = \frac{\pm x^{4} e^{4 C}}{3} + \frac{- 2}{3}$

ステップ 6.3.7.4.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.7.4.3.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.7.4.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 V^{2}}{3} = \frac{\pm x^{4} e^{4 C}}{3} + \frac{- 2}{3}$

ステップ 6.3.7.4.3.2.1.2

$V^{2}$ を $1$ で割ります。

$V^{2} = \frac{\pm x^{4} e^{4 C}}{3} + \frac{- 2}{3}$

ステップ 6.3.7.4.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.7.4.3.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$V^{2} = \frac{\pm x^{4} e^{4 C}}{3} - \frac{2}{3}$

ステップ 6.3.7.4.4

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$V = \pm \sqrt{\frac{\pm x^{4} e^{4 C}}{3} - \frac{2}{3}}$

ステップ 6.3.7.4.5

$\pm \sqrt{\frac{\pm x^{4} e^{4 C}}{3} - \frac{2}{3}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.7.4.5.1

公分母の分子をまとめます。

$V = \pm \sqrt{\frac{\pm x^{4} e^{4 C} - 2}{3}}$

ステップ 6.3.7.4.5.2

$\sqrt{\frac{\pm x^{4} e^{4 C} - 2}{3}}$ を $\frac{\sqrt{\pm x^{4} e^{4 C} - 2}}{\sqrt{3}}$ に書き換えます。

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm x^{4} e^{4 C} - 2}}{\sqrt{3}}$

ステップ 6.3.7.4.5.3

$\frac{\sqrt{\pm x^{4} e^{4 C} - 2}}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm x^{4} e^{4 C} - 2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

ステップ 6.3.7.4.5.4

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.7.4.5.4.1

$\frac{\sqrt{\pm x^{4} e^{4 C} - 2}}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm x^{4} e^{4 C} - 2} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

ステップ 6.3.7.4.5.4.2

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm x^{4} e^{4 C} - 2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

ステップ 6.3.7.4.5.4.3

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm x^{4} e^{4 C} - 2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

ステップ 6.3.7.4.5.4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm x^{4} e^{4 C} - 2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

ステップ 6.3.7.4.5.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm x^{4} e^{4 C} - 2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

ステップ 6.3.7.4.5.4.6

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

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ステップ 6.3.7.4.5.4.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm x^{4} e^{4 C} - 2} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 6.3.7.4.5.4.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm x^{4} e^{4 C} - 2} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 6.3.7.4.5.4.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm x^{4} e^{4 C} - 2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 6.3.7.4.5.4.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.7.4.5.4.6.4.1

共通因数を約分します。

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm x^{4} e^{4 C} - 2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 6.3.7.4.5.4.6.4.2

式を書き換えます。

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm x^{4} e^{4 C} - 2} \sqrt{3}}{3^{1}}$

ステップ 6.3.7.4.5.4.6.5

指数を求めます。

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm x^{4} e^{4 C} - 2} \sqrt{3}}{3}$

ステップ 6.3.7.4.5.5

根の積の法則を使ってまとめます。

$V = \pm \frac{\sqrt{(\pm x^{4} e^{4 C} - 2) \cdot 3}}{3}$

ステップ 6.3.7.4.5.6

$\pm \frac{\sqrt{(\pm x^{4} e^{4 C} - 2) \cdot 3}}{3}$ の因数を並べ替えます。

$V = \pm \frac{\sqrt{3 (\pm x^{4} e^{4 C} - 2)}}{3}$

ステップ 6.4

定数項をまとめます。

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ステップ 6.4.1

積分定数を簡約します。

$V = \pm \frac{\sqrt{3 (\pm x^{4} C - 2)}}{3}$

ステップ 6.4.2

定数を正または負でまとめます。

$V = \pm \frac{\sqrt{3 (C x^{4} - 2)}}{3}$

ステップ 7

$\frac{y}{x}$ を $V$ に代入します。

$\frac{y}{x} = \pm \frac{\sqrt{3 (C x^{4} - 2)}}{3}$

ステップ 8

$y$ について $\frac{y}{x} = \pm \frac{\sqrt{3 (C x^{4} - 2)}}{3}$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

両辺に $x$ を掛けます。

$\frac{y}{x} x = (\pm \frac{\sqrt{3 (C x^{4} - 2)}}{3}) x$

ステップ 8.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y}{x} x = (\pm \frac{\sqrt{3 (C x^{4} - 2)}}{3}) x$

ステップ 8.2.1.2

式を書き換えます。

$y = (\pm \frac{\sqrt{3 (C x^{4} - 2)}}{3}) x$

微分積分 例

微分積分例