微分積分例

$\frac{d y}{d x} + x e^{y} = 0$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

方程式の両辺から $x e^{y}$ を引きます。

$\frac{d y}{d x} = - x e^{y}$

ステップ 1.2

両辺に $\frac{1}{e^{y}}$ を掛けます。

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{y}} (- x e^{y})$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{e^{y}} (x e^{y})$

ステップ 1.3.2

$e^{y}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.2.1

$- \frac{1}{e^{y}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{e^{y}} (x e^{y})$

ステップ 1.3.2.2

$e^{y}$ を $x e^{y}$ で因数分解します。

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{e^{y}} (e^{y} x)$

ステップ 1.3.2.3

共通因数を約分します。

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{e^{y}} (e^{y} x)$

ステップ 1.3.2.4

式を書き換えます。

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = - x$

ステップ 1.4

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{e^{y}} d y = - x d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{e^{y}} d y = \int - x d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

式を簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

$e^{y}$ の指数を否定し、分母の外に移動させます。

$\int 1 {(e^{y})}^{- 1} d y = \int - x d x$

ステップ 2.2.1.2

簡約します。

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ステップ 2.2.1.2.1

${(e^{y})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.2.1.2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int 1 e^{y \cdot - 1} d y = \int - x d x$

ステップ 2.2.1.2.1.2

$- 1$ を $y$ の左に移動させます。

$\int 1 e^{- 1 \cdot y} d y = \int - x d x$

ステップ 2.2.1.2.1.3

$- 1 y$ を $- y$ に書き換えます。

$\int 1 e^{- y} d y = \int - x d x$

ステップ 2.2.1.2.2

$e^{- y}$ に $1$ をかけます。

$\int e^{- y} d y = \int - x d x$

ステップ 2.2.2

$u = - y$ とします。次に $d u = - d y$ すると、 $- d u = d y$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.2.2.1

$u = - y$ とします。 $\frac{d u}{d y}$ を求めます。

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ステップ 2.2.2.1.1

$- y$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [- y]$

ステップ 2.2.2.1.2

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $- y$ の微分係数は $- \frac{d}{d y} [y]$ です。

$- \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 2.2.2.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 1 \cdot 1$

ステップ 2.2.2.1.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 1$

ステップ 2.2.2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int - e^{u} d u = \int - x d x$

ステップ 2.2.3

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int e^{u} d u = \int - x d x$

ステップ 2.2.4

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$- (e^{u} + C_{1}) = \int - x d x$

ステップ 2.2.5

簡約します。

$- e^{u} + C_{1} = \int - x d x$

ステップ 2.2.6

$u$ のすべての発生を $- y$ で置き換えます。

$- e^{- y} + C_{1} = \int - x d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- e^{- y} + C_{1} = - \int x d x$

ステップ 2.3.2

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$- e^{- y} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

ステップ 2.3.3

$- (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ を $- \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$ に書き換えます。

$- e^{- y} + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$- e^{- y} = - \frac{1}{2} x^{2} + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

$- e^{- y} = - \frac{1}{2} x^{2} + K$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.1.1

$- e^{- y} = - \frac{1}{2} x^{2} + K$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- e^{- y}}{- 1} = \frac{- \frac{1}{2} x^{2}}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

ステップ 3.1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.1.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{e^{- y}}{1} = \frac{- \frac{1}{2} x^{2}}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

ステップ 3.1.2.2

$e^{- y}$ を $1$ で割ります。

$e^{- y} = \frac{- \frac{1}{2} x^{2}}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

ステップ 3.1.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.1.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.1.3.1.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$e^{- y} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{1} + \frac{K}{- 1}$

ステップ 3.1.3.1.2

$\frac{1}{2} x^{2}$ を $1$ で割ります。

$e^{- y} = \frac{1}{2} x^{2} + \frac{K}{- 1}$

ステップ 3.1.3.1.3

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$e^{- y} = \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{- 1}$

ステップ 3.1.3.1.4

$\frac{K}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$e^{- y} = \frac{x^{2}}{2} - 1 \cdot K$

ステップ 3.1.3.1.5

$- 1 \cdot K$ を $- K$ に書き換えます。

$e^{- y} = \frac{x^{2}}{2} - K$

ステップ 3.2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{- y}) = \ln (\frac{x^{2}}{2} - K)$

ステップ 3.3

左辺を展開します。

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ステップ 3.3.1

$- y$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{- y})$ を展開します。

$- y \ln (e) = \ln (\frac{x^{2}}{2} - K)$

ステップ 3.3.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$- y \cdot 1 = \ln (\frac{x^{2}}{2} - K)$

ステップ 3.3.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- y = \ln (\frac{x^{2}}{2} - K)$

ステップ 3.4

$- y = \ln (\frac{x^{2}}{2} - K)$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.4.1

$- y = \ln (\frac{x^{2}}{2} - K)$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\ln (\frac{x^{2}}{2} - K)}{- 1}$

ステップ 3.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.4.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{y}{1} = \frac{\ln (\frac{x^{2}}{2} - K)}{- 1}$

ステップ 3.4.2.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\ln (\frac{x^{2}}{2} - K)}{- 1}$

ステップ 3.4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.4.3.1

$\frac{\ln (\frac{x^{2}}{2} - K)}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$y = - 1 \cdot \ln (\frac{x^{2}}{2} - K)$

ステップ 3.4.3.2

$- 1 \cdot \ln (\frac{x^{2}}{2} - K)$ を $- \ln (\frac{x^{2}}{2} - K)$ に書き換えます。

$y = - \ln (\frac{x^{2}}{2} - K)$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = - \ln (\frac{x^{2}}{2} + K)$

微分積分 例

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