微分積分例

$y d x = (e^{y} + 2 x y - 2 x) d y$

ステップ 1

微分方程式を完全微分方程式法に合うように書き換えます。

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ステップ 1.1

方程式の両辺から $(e^{y} + 2 x y - 2 x) d y$ を引きます。

$y d x - (e^{y} + 2 x y - 2 x) d y = 0$

ステップ 2

$M (x, y) = y$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

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ステップ 2.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

ステップ 3

$N (x, y) = - (e^{y} + 2 x y - 2 x)$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

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ステップ 3.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (e^{y} + 2 x y - 2 x)]$

ステップ 3.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- (e^{y} + 2 x y - 2 x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [e^{y} + 2 x y - 2 x]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [e^{y} + 2 x y - 2 x]$

ステップ 3.3

総和則では、 $e^{y} + 2 x y - 2 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [e^{y}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [e^{y}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

ステップ 3.4

$e^{y}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $e^{y}$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (0 + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

ステップ 3.5

$0$ と $\frac{d}{d x} [2 x y]$ をたし算します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

ステップ 3.6

$2 y$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x y$ の微分係数は $2 y \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

ステップ 3.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

ステップ 3.8

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

ステップ 3.9

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y - 2 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.10

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y - 2 \cdot 1)$

ステップ 3.11

$- 2$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y - 2)$

ステップ 3.12

簡約します。

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ステップ 3.12.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y) - - 2$

ステップ 3.12.2

項をまとめます。

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ステップ 3.12.2.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 y - - 2$

ステップ 3.12.2.2

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 y + 2$

ステップ 4

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

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ステップ 4.1

$1$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $- 2 y + 2$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$1 = - 2 y + 2$

ステップ 4.2

方程式の左辺が右辺に等しくないので、方程式は恒等式ではありません。

$1 = - 2 y + 2$ は恒等式ではありません。

ステップ 5

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ を求めます。

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ステップ 5.1

$- 2 y + 2$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$\frac{- 2 y + 2 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

ステップ 5.2

$1$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に代入します。

$\frac{- 2 y + 2 - 1}{M}$

ステップ 5.3

$y$ を $M$ に代入します。

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ステップ 5.3.1

$y$ を $M$ に代入します。

$\frac{- 2 y + 2 - 1}{y}$

ステップ 5.3.2

$2$ から $1$ を引きます。

$\frac{- 2 y + 1}{y}$

ステップ 5.3.3

$- 1$ を $- 2 y$ で因数分解します。

$\frac{- (2 y) + 1}{y}$

ステップ 5.3.4

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$\frac{- (2 y) - 1 (- 1)}{y}$

ステップ 5.3.5

$- 1$ を $- (2 y) - 1 (- 1)$ で因数分解します。

$\frac{- (2 y - 1)}{y}$

ステップ 5.3.6

$- (2 y - 1)$ を $- 1 (2 y - 1)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (2 y - 1)}{y}$

ステップ 5.3.7

$y$ を $M$ に代入します。

$- \frac{2 y - 1}{y}$

ステップ 5.4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ を求めます。

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2 y - 1}{y} d y}$

ステップ 6

積分 $e^{\int - \frac{2 y - 1}{y} d y}$ を求めます。

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ステップ 6.1

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2 y - 1}{y} d y}$

ステップ 6.2

$2 y - 1$ を $y$ で割ります。

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ステップ 6.2.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$y$

$0$

$2 y$

$1$

ステップ 6.2.2

被除数 $2 y$ の最高次項を除数 $y$ の最高次項で割ります。

					$2$
	$y$	+	$0$		$2 y$	-	$1$

ステップ 6.2.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$2$
$y$	+	$0$		$2 y$	-	$1$
			+	$2 y$	+	$0$

ステップ 6.2.4

式は被除数から引く必要があるので、 $2 y + 0$ の符号をすべて変更します。

				$2$
$y$	+	$0$		$2 y$	-	$1$
			-	$2 y$	-	$0$

ステップ 6.2.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$2$
$y$	+	$0$		$2 y$	-	$1$
			-	$2 y$	-	$0$
					-	$1$

ステップ 6.2.6

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$μ (x, y) = e^{- \int 2 - \frac{1}{y} d y}$

ステップ 6.3

単一積分を複数積分に分割します。

$μ (x, y) = e^{- (\int 2 d y + \int - \frac{1}{y} d y)}$

ステップ 6.4

定数の法則を当てはめます。

$μ (x, y) = e^{- (2 y + C + \int - \frac{1}{y} d y)}$

ステップ 6.5

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$μ (x, y) = e^{- (2 y + C - \int \frac{1}{y} d y)}$

ステップ 6.6

$\frac{1}{y}$ の $y$ に関する積分は $\ln (| y |)$ です。

$μ (x, y) = e^{- (2 y + C - (\ln (| y |) + C))}$

ステップ 6.7

簡約します。

$μ (x, y) = e^{- 2 y + \ln (| y |)} + C$

ステップ 7

$y d x - (e^{y} + 2 x y - 2 x) d y = 0$ の両辺に積分因子 $e^{- 2 y + \ln (y)}$ を掛けます。

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ステップ 7.1

$y$ に $e^{- 2 y + \ln (y)}$ をかけます。

$y e^{- 2 y + \ln (y)} d x - (e^{y} + 2 x y - 2 x) d y = 0$

ステップ 7.2

$- (e^{y} + 2 x y - 2 x)$ に $e^{- 2 y + \ln (y)}$ をかけます。

$y e^{- 2 y + \ln (y)} d x - (e^{y} + 2 x y - 2 x) e^{- 2 y + \ln (y)} d y = 0$

ステップ 7.3

分配則を当てはめます。

$y e^{- 2 y + \ln (y)} d x + (- e^{y} - (2 x y) - (- 2 x)) e^{- 2 y + \ln (y)} d y = 0$

ステップ 7.4

簡約します。

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ステップ 7.4.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$y e^{- 2 y + \ln (y)} d x + (- e^{y} - 2 (x y) - (- 2 x)) e^{- 2 y + \ln (y)} d y = 0$

ステップ 7.4.2

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$y e^{- 2 y + \ln (y)} d x + (- e^{y} - 2 (x y) + 2 x) e^{- 2 y + \ln (y)} d y = 0$

ステップ 7.5

分配則を当てはめます。

$y e^{- 2 y + \ln (y)} d x + (- e^{y} e^{- 2 y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}) d y = 0$

ステップ 7.6

指数を足して $e^{y}$ に $e^{- 2 y + \ln (y)}$ を掛けます。

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ステップ 7.6.1

$e^{- 2 y + \ln (y)}$ を移動させます。

$y e^{- 2 y + \ln (y)} d x + (- (e^{- 2 y + \ln (y)} e^{y}) - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}) d y = 0$

ステップ 7.6.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y e^{- 2 y + \ln (y)} d x + (- e^{- 2 y + \ln (y) + y} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}) d y = 0$

ステップ 7.6.3

$- 2 y$ と $y$ をたし算します。

$y e^{- 2 y + \ln (y)} d x + (- e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}) d y = 0$

ステップ 8

$f (x, y)$ は $M (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int y e^{- 2 y + \ln (y)} d x$

ステップ 9

$M (x, y) = y e^{- 2 y + \ln (y)}$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

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ステップ 9.1

定数の法則を当てはめます。

$f (x, y) = y e^{- 2 y + \ln (y)} x + C$

ステップ 10

$g (y)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (y)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = y e^{- 2 y + \ln (y)} x + g (y)$

ステップ 11

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial y} = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

ステップ 12

$\frac{\partial f}{\partial y}$ を求めます。

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ステップ 12.1

$y$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [y e^{- 2 y + \ln (y)} x + g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

ステップ 12.2

総和則では、 $y e^{- 2 y + \ln (y)} x + g (y)$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [y e^{- 2 y + \ln (y)} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ です。

$\frac{d}{d y} [y e^{- 2 y + \ln (y)} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

ステップ 12.3

$\frac{d}{d y} [y e^{- 2 y + \ln (y)} x]$ の値を求めます。

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ステップ 12.3.1

$x$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $y e^{- 2 y + \ln (y)} x$ の微分係数は $x \frac{d}{d y} [y e^{- 2 y + \ln (y)}]$ です。

$x \frac{d}{d y} [y e^{- 2 y + \ln (y)}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

ステップ 12.3.2

$f (y) = y$ および $g (y) = e^{- 2 y + \ln (y)}$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ は $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x (y \frac{d}{d y} [e^{- 2 y + \ln (y)}] + e^{- 2 y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

ステップ 12.3.3

$f (y) = e^{y}$ および $g (y) = - 2 y + \ln (y)$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ は $f' (g (y)) g' (y)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 12.3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- 2 y + \ln (y)$ とします。

$x (y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [- 2 y + \ln (y)]) + e^{- 2 y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

ステップ 12.3.3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$x (y (e^{u} \frac{d}{d y} [- 2 y + \ln (y)]) + e^{- 2 y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

ステップ 12.3.3.3

$u$ のすべての発生を $- 2 y + \ln (y)$ で置き換えます。

$x (y (e^{- 2 y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [- 2 y + \ln (y)]) + e^{- 2 y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

ステップ 12.3.4

総和則では、 $- 2 y + \ln (y)$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [\ln (y)]$ です。

$x (y (e^{- 2 y + \ln (y)} (\frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [\ln (y)])) + e^{- 2 y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

ステップ 12.3.5

$- 2$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $- 2 y$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ です。

$x (y (e^{- 2 y + \ln (y)} (- 2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [\ln (y)])) + e^{- 2 y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

ステップ 12.3.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (y (e^{- 2 y + \ln (y)} (- 2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [\ln (y)])) + e^{- 2 y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

ステップ 12.3.7

$y$ に関する $\ln (y)$ の微分係数は $\frac{1}{y}$ です。

$x (y (e^{- 2 y + \ln (y)} (- 2 \cdot 1 + \frac{1}{y})) + e^{- 2 y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

ステップ 12.3.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (y (e^{- 2 y + \ln (y)} (- 2 \cdot 1 + \frac{1}{y})) + e^{- 2 y + \ln (y)} \cdot 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

ステップ 12.3.9

$- 2$ に $1$ をかけます。

$x (y (e^{- 2 y + \ln (y)} (- 2 + \frac{1}{y})) + e^{- 2 y + \ln (y)} \cdot 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

ステップ 12.3.10

$e^{- 2 y + \ln (y)}$ に $1$ をかけます。

$x (y (e^{- 2 y + \ln (y)} (- 2 + \frac{1}{y})) + e^{- 2 y + \ln (y)}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

ステップ 12.4

$g (y)$ の微分係数は $\frac{d g}{d y}$ であるという関数の規則を使って微分します。

$x (y (e^{- 2 y + \ln (y)} (- 2 + \frac{1}{y})) + e^{- 2 y + \ln (y)}) + \frac{d g}{d y} = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

ステップ 12.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.5.1

分配則を当てはめます。

$x (y (e^{- 2 y + \ln (y)} (- 2 + \frac{1}{y}))) + x e^{- 2 y + \ln (y)} + \frac{d g}{d y} = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

ステップ 12.5.2

項を並べ替えます。

$\frac{d g}{d y} + e^{- 2 y + \ln (y)} x y (- 2 + \frac{1}{y}) + e^{- 2 y + \ln (y)} x = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

ステップ 12.5.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.5.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{d g}{d y} + e^{- 2 y + \ln (y)} x y \cdot - 2 + e^{- 2 y + \ln (y)} x y \frac{1}{y} + e^{- 2 y + \ln (y)} x = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

ステップ 12.5.3.2

$- 2$ を $e^{- 2 y + \ln (y)} x y$ の左に移動させます。

$\frac{d g}{d y} - 2 \cdot (e^{- 2 y + \ln (y)} x y) + e^{- 2 y + \ln (y)} x y \frac{1}{y} + e^{- 2 y + \ln (y)} x = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

ステップ 12.5.3.3

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.5.3.3.1

$y$ を $e^{- 2 y + \ln (y)} x y$ で因数分解します。

$\frac{d g}{d y} - 2 \cdot (e^{- 2 y + \ln (y)} x y) + y (e^{- 2 y + \ln (y)} x) \frac{1}{y} + e^{- 2 y + \ln (y)} x = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

ステップ 12.5.3.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{d g}{d y} - 2 \cdot (e^{- 2 y + \ln (y)} x y) + y (e^{- 2 y + \ln (y)} x) \frac{1}{y} + e^{- 2 y + \ln (y)} x = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

ステップ 12.5.3.3.3

式を書き換えます。

$\frac{d g}{d y} - 2 \cdot (e^{- 2 y + \ln (y)} x y) + e^{- 2 y + \ln (y)} x + e^{- 2 y + \ln (y)} x = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

ステップ 12.5.3.4

括弧を削除します。

$\frac{d g}{d y} - 2 e^{- 2 y + \ln (y)} x y + e^{- 2 y + \ln (y)} x + e^{- 2 y + \ln (y)} x = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

ステップ 12.5.4

$e^{- 2 y + \ln (y)} x$ と $e^{- 2 y + \ln (y)} x$ をたし算します。

$\frac{d g}{d y} - 2 e^{- 2 y + \ln (y)} x y + 2 e^{- 2 y + \ln (y)} x = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

ステップ 12.5.5

$\frac{d g}{d y} - 2 e^{- 2 y + \ln (y)} x y + 2 e^{- 2 y + \ln (y)} x$ の因数を並べ替えます。

$\frac{d g}{d y} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)} = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

ステップ 13

$\frac{d g}{d y}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

$\frac{d g}{d y}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.1

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$- 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} + 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} - 2 x e^{- 2 y + \ln (y)} = - \frac{d g}{d y}$

ステップ 13.1.2

$- 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} + 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} - 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 13.1.2.1

$- 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)}$ と $2 x y e^{- 2 y + \ln (y)}$ をたし算します。

$2 x e^{- 2 y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} + 0 - 2 x e^{- 2 y + \ln (y)} = - \frac{d g}{d y}$

ステップ 13.1.2.2

$2 x e^{- 2 y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)}$ と $0$ をたし算します。

$2 x e^{- 2 y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - 2 x e^{- 2 y + \ln (y)} = - \frac{d g}{d y}$

ステップ 13.1.2.3

$2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$ から $2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$ を引きます。

$0 + e^{- y + \ln (y)} = - \frac{d g}{d y}$

ステップ 13.1.2.4

$0$ と $e^{- y + \ln (y)}$ をたし算します。

$e^{- y + \ln (y)} = - \frac{d g}{d y}$

ステップ 13.1.3

$\frac{d g}{d y}$ が方程式の右辺にあるので、両辺を入れ替えると左辺になります。

$- \frac{d g}{d y} = e^{- y + \ln (y)}$

ステップ 13.1.4

$- \frac{d g}{d y} = e^{- y + \ln (y)}$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 13.1.4.1

$- \frac{d g}{d y} = e^{- y + \ln (y)}$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- \frac{d g}{d y}}{- 1} = \frac{e^{- y + \ln (y)}}{- 1}$

ステップ 13.1.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 13.1.4.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{\frac{d g}{d y}}{1} = \frac{e^{- y + \ln (y)}}{- 1}$

ステップ 13.1.4.2.2

$\frac{d g}{d y}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d g}{d y} = \frac{e^{- y + \ln (y)}}{- 1}$

ステップ 13.1.4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 13.1.4.3.1

$\frac{e^{- y + \ln (y)}}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$\frac{d g}{d y} = - 1 \cdot e^{- y + \ln (y)}$

ステップ 13.1.4.3.2

$- 1 \cdot e^{- y + \ln (y)}$ を $- e^{- y + \ln (y)}$ に書き換えます。

$\frac{d g}{d y} = - e^{- y + \ln (y)}$

ステップ 14

$- e^{- y + \ln (y)}$ の不定積分を求めて $g (y)$ を求めます。

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ステップ 14.1

$\frac{d g}{d y} = - e^{- y + \ln (y)}$ の両辺を積分します。

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - e^{- y + \ln (y)} d y$

ステップ 14.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ の値を求めます。

$g (y) = \int - e^{- y + \ln (y)} d y$

ステップ 14.3

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$g (y) = - \int e^{- y + \ln (y)} d y$

ステップ 14.4

$\int e^{- y + \ln (y)} d y$ を $\int e^{- y} e^{\ln (y)} d y$ に書き換えます。

$g (y) = - \int e^{- y} e^{\ln (y)} d y$

ステップ 14.5

$e^{\ln (y)}$ を $y$ に書き換えます。

$g (y) = - \int e^{- y} y d y$

ステップ 14.6

$u = y$ と $d v = e^{- y}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$g (y) = - (y (- e^{- y}) - \int - e^{- y} d y)$

ステップ 14.7

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$g (y) = - (y (- e^{- y}) - - \int e^{- y} d y)$

ステップ 14.8

簡約します。

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ステップ 14.8.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$g (y) = - (y (- e^{- y}) + 1 \int e^{- y} d y)$

ステップ 14.8.2

$\int e^{- y} d y$ に $1$ をかけます。

$g (y) = - (y (- e^{- y}) + \int e^{- y} d y)$

ステップ 14.9

$u = - y$ とします。次に $d u = - d y$ すると、 $- d u = d y$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 14.9.1

$u = - y$ とします。 $\frac{d u}{d y}$ を求めます。

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ステップ 14.9.1.1

$- y$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [- y]$

ステップ 14.9.1.2

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $- y$ の微分係数は $- \frac{d}{d y} [y]$ です。

$- \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 14.9.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 1 \cdot 1$

ステップ 14.9.1.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 1$

ステップ 14.9.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$g (y) = - (y (- e^{- y}) + \int - e^{u} d u)$

ステップ 14.10

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$g (y) = - (y (- e^{- y}) - \int e^{u} d u)$

ステップ 14.11

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$g (y) = - (y (- e^{- y}) - (e^{u} + C))$

ステップ 14.12

$- (y (- e^{- y}) - (e^{u} + C))$ を $- (- y e^{- y} - e^{u}) + C$ に書き換えます。

$g (y) = - (- y e^{- y} - e^{u}) + C$

ステップ 14.13

$u$ のすべての発生を $- y$ で置き換えます。

$g (y) = - (- y e^{- y} - e^{- y}) + C$

ステップ 14.14

簡約します。

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ステップ 14.14.1

分配則を当てはめます。

$g (y) = - (- y e^{- y}) - - e^{- y} + C$

ステップ 14.14.2

$- (- y e^{- y})$ を掛けます。

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ステップ 14.14.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$g (y) = 1 (y e^{- y}) - - e^{- y} + C$

ステップ 14.14.2.2

$y$ に $1$ をかけます。

$g (y) = y e^{- y} - - e^{- y} + C$

ステップ 14.14.3

$- - e^{- y}$ を掛けます。

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ステップ 14.14.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$g (y) = y e^{- y} + 1 e^{- y} + C$

ステップ 14.14.3.2

$e^{- y}$ に $1$ をかけます。

$g (y) = y e^{- y} + e^{- y} + C$

ステップ 15

$f (x, y) = y e^{- 2 y + \ln (y)} x + g (y)$ の $g (y)$ に代入します。

$f (x, y) = y e^{- 2 y + \ln (y)} x + y e^{- y} + e^{- y} + C$

ステップ 16

$f (x, y) = y e^{- 2 y + \ln (y)} x + y e^{- y} + e^{- y} + C$ の因数を並べ替えます。

$f (x, y) = y x e^{- 2 y + \ln (y)} + y e^{- y} + e^{- y} + C$

微分積分 例

微分積分例