微分積分例

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + y = x^{2} - 1$

ステップ 1

方程式の左辺は項 $(x + 1) y$ の微分係数の結果か確認します。

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ステップ 1.1

$f (x) = x + 1$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(x + 1) \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x + 1]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$(x + 1) y' + y \frac{d}{d x} [x + 1]$

ステップ 1.3

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$(x + 1) y' + y (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 1.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(x + 1) y' + y (1 + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 1.5

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$(x + 1) y' + y (1 + 0)$

ステップ 1.6

$1$ と $0$ をたし算します。

$(x + 1) y' + y \cdot 1$

ステップ 1.7

$\frac{d y}{d x}$ を $y'$ に代入します。

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

ステップ 1.8

$y$ と $1$ を並べ替えます。

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

ステップ 1.9

$y$ に $1$ をかけます。

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + y$

ステップ 2

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [(x + 1) y] = x^{2} - 1$

ステップ 3

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [(x + 1) y] d x = \int x^{2} - 1 d x$

ステップ 4

左辺を積分します。

$(x + 1) y = \int x^{2} - 1 d x$

ステップ 5

右辺を積分します。

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ステップ 5.1

単一積分を複数積分に分割します。

$(x + 1) y = \int x^{2} d x + \int - 1 d x$

ステップ 5.2

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$(x + 1) y = \frac{1}{3} x^{3} + C + \int - 1 d x$

ステップ 5.3

定数の法則を当てはめます。

$(x + 1) y = \frac{1}{3} x^{3} + C - x + C$

ステップ 5.4

簡約します。

$(x + 1) y = \frac{1}{3} x^{3} - x + C$

ステップ 6

$(x + 1) y = \frac{1}{3} x^{3} - x + C$ の各項を $x + 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.1

$(x + 1) y = \frac{1}{3} x^{3} - x + C$ の各項を $x + 1$ で割ります。

$\frac{(x + 1) y}{x + 1} = \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{x + 1} + \frac{- x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

ステップ 6.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.2.1

$x + 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{(x + 1) y}{x + 1} = \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{x + 1} + \frac{- x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

ステップ 6.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{x + 1} + \frac{- x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

ステップ 6.3

右辺を簡約します。

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ステップ 6.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.3.1.1

$\frac{1}{3}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$y = \frac{\frac{x^{3}}{3}}{x + 1} + \frac{- x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

ステップ 6.3.1.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$y = \frac{x^{3}}{3} \cdot \frac{1}{x + 1} + \frac{- x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

ステップ 6.3.1.3

$\frac{x^{3}}{3}$ に $\frac{1}{x + 1}$ をかけます。

$y = \frac{x^{3}}{3 (x + 1)} + \frac{- x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

ステップ 6.3.1.4

分数の前に負数を移動させます。

$y = \frac{x^{3}}{3 (x + 1)} - \frac{x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

ステップ 6.3.2

$- \frac{x}{x + 1}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$y = \frac{x^{3}}{3 (x + 1)} - \frac{x}{x + 1} \cdot \frac{3}{3} + \frac{C}{x + 1}$

ステップ 6.3.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $3 (x + 1)$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 6.3.3.1

$\frac{x}{x + 1}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$y = \frac{x^{3}}{3 (x + 1)} - \frac{x \cdot 3}{(x + 1) \cdot 3} + \frac{C}{x + 1}$

ステップ 6.3.3.2

$(x + 1) \cdot 3$ の因数を並べ替えます。

$y = \frac{x^{3}}{3 (x + 1)} - \frac{x \cdot 3}{3 (x + 1)} + \frac{C}{x + 1}$

ステップ 6.3.4

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{x^{3} - x \cdot 3}{3 (x + 1)} + \frac{C}{x + 1}$

ステップ 6.3.5

分子を簡約します。

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ステップ 6.3.5.1

$x$ を $x^{3} - x \cdot 3$ で因数分解します。

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ステップ 6.3.5.1.1

$x$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$y = \frac{x \cdot x^{2} - x \cdot 3}{3 (x + 1)} + \frac{C}{x + 1}$

ステップ 6.3.5.1.2

$x$ を $- x \cdot 3$ で因数分解します。

$y = \frac{x \cdot x^{2} + x (- 1 \cdot 3)}{3 (x + 1)} + \frac{C}{x + 1}$

ステップ 6.3.5.1.3

$x$ を $x \cdot x^{2} + x (- 1 \cdot 3)$ で因数分解します。

$y = \frac{x (x^{2} - 1 \cdot 3)}{3 (x + 1)} + \frac{C}{x + 1}$

ステップ 6.3.5.2

$- 1$ に $3$ をかけます。

$y = \frac{x (x^{2} - 3)}{3 (x + 1)} + \frac{C}{x + 1}$

ステップ 6.3.6

$\frac{C}{x + 1}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$y = \frac{x (x^{2} - 3)}{3 (x + 1)} + \frac{C}{x + 1} \cdot \frac{3}{3}$

ステップ 6.3.7

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $3 (x + 1)$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 6.3.7.1

$\frac{C}{x + 1}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$y = \frac{x (x^{2} - 3)}{3 (x + 1)} + \frac{C \cdot 3}{(x + 1) \cdot 3}$

ステップ 6.3.7.2

$(x + 1) \cdot 3$ の因数を並べ替えます。

$y = \frac{x (x^{2} - 3)}{3 (x + 1)} + \frac{C \cdot 3}{3 (x + 1)}$

ステップ 6.3.8

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{x (x^{2} - 3) + C \cdot 3}{3 (x + 1)}$

ステップ 6.3.9

分子を簡約します。

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ステップ 6.3.9.1

分配則を当てはめます。

$y = \frac{x \cdot x^{2} + x \cdot - 3 + C \cdot 3}{3 (x + 1)}$

ステップ 6.3.9.2

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

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ステップ 6.3.9.2.1

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

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ステップ 6.3.9.2.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$y = \frac{x^{1} x^{2} + x \cdot - 3 + C \cdot 3}{3 (x + 1)}$

ステップ 6.3.9.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y = \frac{x^{1 + 2} + x \cdot - 3 + C \cdot 3}{3 (x + 1)}$

ステップ 6.3.9.2.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$y = \frac{x^{3} + x \cdot - 3 + C \cdot 3}{3 (x + 1)}$

ステップ 6.3.9.3

$- 3$ を $x$ の左に移動させます。

$y = \frac{x^{3} - 3 \cdot x + C \cdot 3}{3 (x + 1)}$

ステップ 6.3.9.4

$3$ を $C$ の左に移動させます。

$y = \frac{x^{3} - 3 x + 3 C}{3 (x + 1)}$

微分積分 例

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