微分積分例

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{2 y}$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

両辺に $y$ を掛けます。

$y \frac{d y}{d x} = y (- \frac{x}{2 y})$

ステップ 1.2

簡約します。

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ステップ 1.2.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$y \frac{d y}{d x} = - y \frac{x}{2 y}$

ステップ 1.2.2

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.2.1

$y$ を $- y$ で因数分解します。

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{x}{2 y}$

ステップ 1.2.2.2

$y$ を $2 y$ で因数分解します。

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{x}{y \cdot 2}$

ステップ 1.2.2.3

共通因数を約分します。

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{x}{y \cdot 2}$

ステップ 1.2.2.4

式を書き換えます。

$y \frac{d y}{d x} = - \frac{x}{2}$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$y d y = - \frac{x}{2} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int y d y = \int - \frac{x}{2} d x$

ステップ 2.2

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - \frac{x}{2} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int \frac{x}{2} d x$

ステップ 2.3.2

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int x d x)$

ステップ 2.3.3

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

ステップ 2.3.4

答えを簡約します。

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ステップ 2.3.4.1

$- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ を $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

ステップ 2.3.4.2

簡約します。

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ステップ 2.3.4.2.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2 \cdot 2} x^{2} + C_{2}$

ステップ 2.3.4.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{4} x^{2} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{1}{4} x^{2} + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺に $2$ を掛けます。

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- \frac{1}{4} x^{2} + K)$

ステップ 3.2

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

$2 (\frac{1}{2} y^{2})$ を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ と $y^{2}$ をまとめます。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{4} x^{2} + K)$

ステップ 3.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{4} x^{2} + K)$

ステップ 3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$y^{2} = 2 (- \frac{1}{4} x^{2} + K)$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$2 (- \frac{1}{4} x^{2} + K)$ を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1.1

$x^{2}$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{4} + K)$

ステップ 3.2.2.1.2

分配則を当てはめます。

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{4}) + 2 K$

ステップ 3.2.2.1.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.1.3.1

$- \frac{x^{2}}{4}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$y^{2} = 2 \frac{- x^{2}}{4} + 2 K$

ステップ 3.2.2.1.3.2

$2$ を $4$ で因数分解します。

$y^{2} = 2 \frac{- x^{2}}{2 (2)} + 2 K$

ステップ 3.2.2.1.3.3

共通因数を約分します。

$y^{2} = 2 \frac{- x^{2}}{2 \cdot 2} + 2 K$

ステップ 3.2.2.1.3.4

式を書き換えます。

$y^{2} = \frac{- x^{2}}{2} + 2 K$

ステップ 3.2.2.1.4

分数の前に負数を移動させます。

$y^{2} = - \frac{x^{2}}{2} + 2 K$

ステップ 3.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \pm \sqrt{- \frac{x^{2}}{2} + 2 K}$

ステップ 3.4

$\pm \sqrt{- \frac{x^{2}}{2} + 2 K}$ を簡約します。

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ステップ 3.4.1

$2 K$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$y = \pm \sqrt{- \frac{x^{2}}{2} + 2 K \cdot \frac{2}{2}}$

ステップ 3.4.2

$2 K$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$y = \pm \sqrt{- \frac{x^{2}}{2} + \frac{2 K \cdot 2}{2}}$

ステップ 3.4.3

公分母の分子をまとめます。

$y = \pm \sqrt{\frac{- x^{2} + 2 K \cdot 2}{2}}$

ステップ 3.4.4

$2$ に $2$ をかけます。

$y = \pm \sqrt{\frac{- x^{2} + 4 K}{2}}$

ステップ 3.4.5

$\sqrt{\frac{- x^{2} + 4 K}{2}}$ を $\frac{\sqrt{- x^{2} + 4 K}}{\sqrt{2}}$ に書き換えます。

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{2} + 4 K}}{\sqrt{2}}$

ステップ 3.4.6

$\frac{\sqrt{- x^{2} + 4 K}}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{2} + 4 K}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

ステップ 3.4.7

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 3.4.7.1

$\frac{\sqrt{- x^{2} + 4 K}}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{2} + 4 K} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

ステップ 3.4.7.2

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{2} + 4 K} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

ステップ 3.4.7.3

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{2} + 4 K} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

ステップ 3.4.7.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{2} + 4 K} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

ステップ 3.4.7.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{2} + 4 K} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

ステップ 3.4.7.6

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

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ステップ 3.4.7.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{2} + 4 K} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 3.4.7.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{2} + 4 K} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 3.4.7.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{2} + 4 K} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 3.4.7.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.7.6.4.1

共通因数を約分します。

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{2} + 4 K} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 3.4.7.6.4.2

式を書き換えます。

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{2} + 4 K} \sqrt{2}}{2^{1}}$

ステップ 3.4.7.6.5

指数を求めます。

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{2} + 4 K} \sqrt{2}}{2}$

ステップ 3.4.8

根の積の法則を使ってまとめます。

$y = \pm \frac{\sqrt{(- x^{2} + 4 K) \cdot 2}}{2}$

ステップ 3.4.9

$\pm \frac{\sqrt{(- x^{2} + 4 K) \cdot 2}}{2}$ の因数を並べ替えます。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- x^{2} + 4 K)}}{2}$

ステップ 3.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 3.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = \frac{\sqrt{2 (- x^{2} + 4 K)}}{2}$

ステップ 3.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - \frac{\sqrt{2 (- x^{2} + 4 K)}}{2}$

ステップ 3.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = \frac{\sqrt{2 (- x^{2} + 4 K)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- x^{2} + 4 K)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{2 (- x^{2} + 4 K)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- x^{2} + 4 K)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{2 (- x^{2} + 4 K)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- x^{2} + 4 K)}}{2}$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = \frac{\sqrt{2 (- x^{2} + K)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- x^{2} + K)}}{2}$

微分積分 例

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