微分積分例

$(2 x + 6 x^{2} y) d x + (3 x^{3} - 2 x y) d y = 0$

ステップ 1

$M (x, y) = 2 x + 6 x^{2} y$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x + 6 x^{2} y]$

ステップ 1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

総和則では、 $2 x + 6 x^{2} y$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [6 x^{2} y]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [6 x^{2} y]$

ステップ 1.2.2

$2 x$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $2 x$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [6 x^{2} y]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d y} [6 x^{2} y]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$6 x^{2}$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $6 x^{2} y$ の微分係数は $6 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 6 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 6 x^{2} \cdot 1$

ステップ 1.3.3

$6$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 6 x^{2}$

ステップ 1.4

$0$ と $6 x^{2}$ をたし算します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x^{2}$

ステップ 2

$N (x, y) = 3 x^{3} - 2 x y$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x^{3} - 2 x y]$

ステップ 2.2

総和則では、 $3 x^{3} - 2 x y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{3}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$

ステップ 2.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$

ステップ 2.3.3

$3$ に $3$ をかけます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$

ステップ 2.4

$\frac{d}{d x} [- 2 x y]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$- 2 y$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x y$ の微分係数は $- 2 y \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 9 x^{2} - 2 y \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 9 x^{2} - 2 y \cdot 1$

ステップ 2.4.3

$- 2$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 9 x^{2} - 2 y$

ステップ 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$6 x^{2}$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $9 x^{2} - 2 y$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$6 x^{2} = 9 x^{2} - 2 y$

ステップ 3.2

方程式の左辺が右辺に等しくないので、方程式は恒等式ではありません。

$6 x^{2} = 9 x^{2} - 2 y$ は恒等式ではありません。

ステップ 4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$6 x^{2}$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に代入します。

$\frac{6 x^{2} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

ステップ 4.2

$9 x^{2} - 2 y$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$\frac{6 x^{2} - (9 x^{2} - 2 y)}{N}$

ステップ 4.3

$3 x^{3} - 2 x y$ を $N$ に代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$3 x^{3} - 2 x y$ を $N$ に代入します。

$\frac{6 x^{2} - (9 x^{2} - 2 y)}{3 x^{3} - 2 x y}$

ステップ 4.3.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{6 x^{2} - (9 x^{2}) - (- 2 y)}{3 x^{3} - 2 x y}$

ステップ 4.3.2.2

$9$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{6 x^{2} - 9 x^{2} - (- 2 y)}{3 x^{3} - 2 x y}$

ステップ 4.3.2.3

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{6 x^{2} - 9 x^{2} + 2 y}{3 x^{3} - 2 x y}$

ステップ 4.3.2.4

$6 x^{2}$ から $9 x^{2}$ を引きます。

$\frac{- 3 x^{2} + 2 y}{3 x^{3} - 2 x y}$

ステップ 4.3.3

$x$ を $3 x^{3} - 2 x y$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.1

$x$ を $3 x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{- 3 x^{2} + 2 y}{x (3 x^{2}) - 2 x y}$

ステップ 4.3.3.2

$x$ を $- 2 x y$ で因数分解します。

$\frac{- 3 x^{2} + 2 y}{x (3 x^{2}) + x (- 2 y)}$

ステップ 4.3.3.3

$x$ を $x (3 x^{2}) + x (- 2 y)$ で因数分解します。

$\frac{- 3 x^{2} + 2 y}{x (3 x^{2} - 2 y)}$

ステップ 4.3.4

$- 3 x^{2} + 2 y$ と $3 x^{2} - 2 y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.4.1

$- 1$ を $- 3 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{- (3 x^{2}) + 2 y}{x (3 x^{2} - 2 y)}$

ステップ 4.3.4.2

$- 1$ を $2 y$ で因数分解します。

$\frac{- (3 x^{2}) - (- 2 y)}{x (3 x^{2} - 2 y)}$

ステップ 4.3.4.3

$- 1$ を $- (3 x^{2}) - (- 2 y)$ で因数分解します。

$\frac{- (3 x^{2} - 2 y)}{x (3 x^{2} - 2 y)}$

ステップ 4.3.4.4

$- (3 x^{2} - 2 y)$ を $- 1 (3 x^{2} - 2 y)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (3 x^{2} - 2 y)}{x (3 x^{2} - 2 y)}$

ステップ 4.3.4.5

共通因数を約分します。

$\frac{- 1 (3 x^{2} - 2 y)}{x (3 x^{2} - 2 y)}$

ステップ 4.3.4.6

式を書き換えます。

$\frac{- 1}{x}$

ステップ 4.3.5

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{x}$

ステップ 4.4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ を求めます。

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

ステップ 5

積分 $e^{\int - \frac{1}{x} d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

ステップ 5.2

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| x |) + C)}$

ステップ 5.3

簡約します。

$μ (x, y) = e^{- \ln (| x |)} + C$

ステップ 5.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

対数の中の $- 1$ を移動させて $- \ln (| x |)$ を簡約します。

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 1})} + C$

ステップ 5.4.2

指数関数と対数関数は逆関数です。

$μ (x, y) = {| x |}^{- 1} + C$

ステップ 5.4.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$μ (x, y) = \frac{1}{| x |} + C$

ステップ 6

$(2 x + 6 x^{2} y) d x + (3 x^{3} - 2 x y) d y = 0$ の両辺に積分因子 $\frac{1}{x}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$2 x + 6 x^{2} y$ に $\frac{1}{x}$ をかけます。

$(2 x + 6 x^{2} y) \frac{1}{x} d x + (3 x^{3} - 2 x y) d y = 0$

ステップ 6.2

$2 x + 6 x^{2} y$ に $\frac{1}{x}$ をかけます。

$\frac{2 x + 6 x^{2} y}{x} d x + (3 x^{3} - 2 x y) d y = 0$

ステップ 6.3

$2 x$ を $2 x + 6 x^{2} y$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

$2 x$ を $2 x$ で因数分解します。

$\frac{2 x (1) + 6 x^{2} y}{x} d x + (3 x^{3} - 2 x y) d y = 0$

ステップ 6.3.2

$2 x$ を $6 x^{2} y$ で因数分解します。

$\frac{2 x (1) + 2 x (3 x y)}{x} d x + (3 x^{3} - 2 x y) d y = 0$

ステップ 6.3.3

$2 x$ を $2 x (1) + 2 x (3 x y)$ で因数分解します。

$\frac{2 x (1 + 3 x y)}{x} d x + (3 x^{3} - 2 x y) d y = 0$

ステップ 6.4

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x (1 + 3 x y)}{x} d x + (3 x^{3} - 2 x y) d y = 0$

ステップ 6.4.2

$2 (1 + 3 x y)$ を $1$ で割ります。

$2 (1 + 3 x y) d x + (3 x^{3} - 2 x y) d y = 0$

ステップ 6.5

分配則を当てはめます。

$(2 \cdot 1 + 2 (3 x y)) d x + (3 x^{3} - 2 x y) d y = 0$

ステップ 6.6

$2$ に $1$ をかけます。

$(2 + 2 (3 x y)) d x + (3 x^{3} - 2 x y) d y = 0$

ステップ 6.7

$3$ に $2$ をかけます。

$(2 + 6 x y) d x + (3 x^{3} - 2 x y) d y = 0$

ステップ 6.8

$3 x^{3} - 2 x y$ に $\frac{1}{x}$ をかけます。

$(2 + 6 x y) d x + (3 x^{3} - 2 x y) \frac{1}{x} d y = 0$

ステップ 6.9

$3 x^{3} - 2 x y$ に $\frac{1}{x}$ をかけます。

$(2 + 6 x y) d x + \frac{3 x^{3} - 2 x y}{x} d y = 0$

ステップ 6.10

$x$ を $3 x^{3} - 2 x y$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.10.1

$x$ を $3 x^{3}$ で因数分解します。

$(2 + 6 x y) d x + \frac{x (3 x^{2}) - 2 x y}{x} d y = 0$

ステップ 6.10.2

$x$ を $- 2 x y$ で因数分解します。

$(2 + 6 x y) d x + \frac{x (3 x^{2}) + x (- 2 y)}{x} d y = 0$

ステップ 6.10.3

$x$ を $x (3 x^{2}) + x (- 2 y)$ で因数分解します。

$(2 + 6 x y) d x + \frac{x (3 x^{2} - 2 y)}{x} d y = 0$

ステップ 6.11

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.11.1

共通因数を約分します。

$(2 + 6 x y) d x + \frac{x (3 x^{2} - 2 y)}{x} d y = 0$

ステップ 6.11.2

$3 x^{2} - 2 y$ を $1$ で割ります。

$(2 + 6 x y) d x + (3 x^{2} - 2 y) d y = 0$

ステップ 7

$f (x, y)$ は $M (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int 2 + 6 x y d x$

ステップ 8

$M (x, y) = 2 + 6 x y$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

単一積分を複数積分に分割します。

$f (x, y) = \int 2 d x + \int 6 x y d x$

ステップ 8.2

定数の法則を当てはめます。

$f (x, y) = 2 x + C + \int 6 x y d x$

ステップ 8.3

$6 y$ は $x$ に対して定数なので、 $6 y$ を積分の外に移動させます。

$f (x, y) = 2 x + C + 6 y \int x d x$

ステップ 8.4

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$f (x, y) = 2 x + C + 6 y (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

ステップ 8.5

簡約します。

$f (x, y) = 2 x + 6 \cdot \frac{1}{2} y x^{2} + C$

ステップ 8.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.6.1

$6$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$f (x, y) = 2 x + \frac{6}{2} y x^{2} + C$

ステップ 8.6.2

$6$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.6.2.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$f (x, y) = 2 x + \frac{2 \cdot 3}{2} y x^{2} + C$

ステップ 8.6.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.6.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$f (x, y) = 2 x + \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} y x^{2} + C$

ステップ 8.6.2.2.2

共通因数を約分します。

$f (x, y) = 2 x + \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} y x^{2} + C$

ステップ 8.6.2.2.3

式を書き換えます。

$f (x, y) = 2 x + \frac{3}{1} y x^{2} + C$

ステップ 8.6.2.2.4

$3$ を $1$ で割ります。

$f (x, y) = 2 x + 3 y x^{2} + C$

ステップ 9

$g (y)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (y)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = 2 x + 3 y x^{2} + g (y)$

ステップ 10

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial y} = 3 x^{2} - 2 y$

ステップ 11

$\frac{\partial f}{\partial y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

$y$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [2 x + 3 y x^{2} + g (y)] = 3 x^{2} - 2 y$

ステップ 11.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1

総和則では、 $2 x + 3 y x^{2} + g (y)$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [3 y x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ です。

$\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [3 y x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} - 2 y$

ステップ 11.2.2

$2 x$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $2 x$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d y} [3 y x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} - 2 y$

ステップ 11.3

$\frac{d}{d y} [3 y x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.1

$3 x^{2}$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $3 y x^{2}$ の微分係数は $3 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ です。

$0 + 3 x^{2} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} - 2 y$

ステップ 11.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 3 x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} - 2 y$

ステップ 11.3.3

$3$ に $1$ をかけます。

$0 + 3 x^{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} - 2 y$

ステップ 11.4

$g (y)$ の微分係数は $\frac{d g}{d y}$ であるという関数の規則を使って微分します。

$0 + 3 x^{2} + \frac{d g}{d y} = 3 x^{2} - 2 y$

ステップ 11.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.5.1

$0$ と $3 x^{2}$ をたし算します。

$3 x^{2} + \frac{d g}{d y} = 3 x^{2} - 2 y$

ステップ 11.5.2

項を並べ替えます。

$\frac{d g}{d y} + 3 x^{2} = 3 x^{2} - 2 y$

ステップ 12

$\frac{d g}{d y}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

$\frac{d g}{d y}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1

方程式の両辺から $3 x^{2}$ を引きます。

$\frac{d g}{d y} = 3 x^{2} - 2 y - 3 x^{2}$

ステップ 12.1.2

$3 x^{2} - 2 y - 3 x^{2}$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.2.1

$3 x^{2}$ から $3 x^{2}$ を引きます。

$\frac{d g}{d y} = - 2 y + 0$

ステップ 12.1.2.2

$- 2 y$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d g}{d y} = - 2 y$

ステップ 13

$- 2 y$ の不定積分を求めて $g (y)$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

$\frac{d g}{d y} = - 2 y$ の両辺を積分します。

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - 2 y d y$

ステップ 13.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ の値を求めます。

$g (y) = \int - 2 y d y$

ステップ 13.3

$- 2$ は $y$ に対して定数なので、 $- 2$ を積分の外に移動させます。

$g (y) = - 2 \int y d y$

ステップ 13.4

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$g (y) = - 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

ステップ 13.5

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.5.1

$- 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ を $- 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$ に書き換えます。

$g (y) = - 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

ステップ 13.5.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.5.2.1

$- 2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$g (y) = \frac{- 2}{2} y^{2} + C$

ステップ 13.5.2.2

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.5.2.2.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$g (y) = \frac{2 \cdot - 1}{2} y^{2} + C$

ステップ 13.5.2.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.5.2.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$g (y) = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} y^{2} + C$

ステップ 13.5.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$g (y) = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} y^{2} + C$

ステップ 13.5.2.2.2.3

式を書き換えます。

$g (y) = \frac{- 1}{1} y^{2} + C$

ステップ 13.5.2.2.2.4

$- 1$ を $1$ で割ります。

$g (y) = - y^{2} + C$

ステップ 14

$f (x, y) = 2 x + 3 y x^{2} + g (y)$ の $g (y)$ に代入します。

$f (x, y) = 2 x + 3 y x^{2} - y^{2} + C$

微分積分 例

微分積分例