微分積分例

$\frac{d y}{d x} = 2 x (1 + x^{2} - y)$

ステップ 1

方程式を $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ として書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{d y}{d x} = 2 x \cdot 1 + 2 x \cdot x^{2} + 2 x (- y)$

ステップ 1.2

方程式の両辺から $2 x (- y)$ を引きます。

$\frac{d y}{d x} - 2 x (- y) = 2 x \cdot 1 + 2 x \cdot x^{2}$

ステップ 1.3

項を並べ替えます。

$\frac{d y}{d x} - 2 \cdot - 1 x y = 2 x \cdot 1 + 2 x \cdot x^{2}$

ステップ 1.4

項を並べ替えます。

$\frac{d y}{d x} - 2 \cdot - 1 x y = 1 \cdot 2 x + 2 x^{2} x$

ステップ 2

$P (x) = - 2 \cdot - 1 x$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

積分を設定します。

$e^{\int - 2 \cdot - 1 x d x}$

ステップ 2.2

$- 2 \cdot - 1 x$ を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$e^{\int 2 x d x}$

ステップ 2.2.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$e^{2 \int x d x}$

ステップ 2.2.3

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$e^{2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

ステップ 2.2.4

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.1

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ を $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ に書き換えます。

$e^{2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C}$

ステップ 2.2.4.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.2.1

$2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$e^{\frac{2}{2} x^{2} + C}$

ステップ 2.2.4.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.2.2.1

共通因数を約分します。

$e^{\frac{2}{2} x^{2} + C}$

ステップ 2.2.4.2.2.2

式を書き換えます。

$e^{1 x^{2} + C}$

ステップ 2.2.4.2.3

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$e^{x^{2} + C}$

ステップ 2.3

積分定数を削除します。

$e^{x^{2}}$

ステップ 3

各項に積分因数 $e^{x^{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

各項に $e^{x^{2}}$ を掛けます。

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + e^{x^{2}} (- 2 \cdot - 1 x y) = e^{x^{2}} (1 \cdot 2 x) + e^{x^{2}} (2 x^{2} x)$

ステップ 3.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 \cdot - 1 e^{x^{2}} (x y) = e^{x^{2}} (1 \cdot 2 x) + e^{x^{2}} (2 x^{2} x)$

ステップ 3.2.2

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = e^{x^{2}} (1 \cdot 2 x) + e^{x^{2}} (2 x^{2} x)$

ステップ 3.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = 2 e^{x^{2}} x + e^{x^{2}} (2 x^{2} x)$

ステップ 3.3.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = 2 e^{x^{2}} x + 2 e^{x^{2}} (x^{2} x)$

ステップ 3.3.3

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = 2 e^{x^{2}} x + 2 e^{x^{2}} (x^{2} x^{1})$

ステップ 3.3.3.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = 2 e^{x^{2}} x + 2 e^{x^{2}} x^{2 + 1}$

ステップ 3.3.3.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = 2 e^{x^{2}} x + 2 e^{x^{2}} x^{3}$

ステップ 3.4

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = 2 e^{x^{2}} x + 2 e^{x^{2}} x^{3}$ の因数を並べ替えます。

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 x y e^{x^{2}} = 2 x e^{x^{2}} + 2 x^{3} e^{x^{2}}$

ステップ 4

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}} y] = 2 x e^{x^{2}} + 2 x^{3} e^{x^{2}}$

ステップ 5

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [e^{x^{2}} y] d x = \int 2 x e^{x^{2}} + 2 x^{3} e^{x^{2}} d x$

ステップ 6

左辺を積分します。

$e^{x^{2}} y = \int 2 x e^{x^{2}} + 2 x^{3} e^{x^{2}} d x$

ステップ 7

右辺を積分します。

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ステップ 7.1

単一積分を複数積分に分割します。

$e^{x^{2}} y = \int 2 x e^{x^{2}} d x + \int 2 x^{3} e^{x^{2}} d x$

ステップ 7.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$e^{x^{2}} y = 2 \int x e^{x^{2}} d x + \int 2 x^{3} e^{x^{2}} d x$

ステップ 7.3

$u_{2} = e^{x^{2}}$ とします。次に $d u_{2} = 2 x e^{x^{2}} d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{2} = x e^{x^{2}} d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1

$u_{2} = e^{x^{2}}$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1.1

$e^{x^{2}}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

ステップ 7.3.1.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 7.3.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $x^{2}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 7.3.1.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 7.3.1.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 7.3.1.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{x^{2}} (2 x)$

ステップ 7.3.1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1.4.1

$e^{x^{2}} (2 x)$ の因数を並べ替えます。

$2 e^{x^{2}} x$

ステップ 7.3.1.4.2

$2 e^{x^{2}} x$ の因数を並べ替えます。

$2 x e^{x^{2}}$

ステップ 7.3.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$e^{x^{2}} y = 2 \int \frac{1}{2} d u_{2} + \int 2 x^{3} e^{x^{2}} d x$

ステップ 7.4

定数の法則を当てはめます。

$e^{x^{2}} y = 2 (\frac{1}{2} u_{2} + C) + \int 2 x^{3} e^{x^{2}} d x$

ステップ 7.5

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$e^{x^{2}} y = 2 (\frac{1}{2} u_{2} + C) + 2 \int x^{3} e^{x^{2}} d x$

ステップ 7.6

$u_{3} = x^{2}$ とします。次に $d u_{3} = 2 x d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{3} = x d x$ です。 $u_{3}$ と $d$ $u_{3}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 7.6.1

$u_{3} = x^{2}$ とします。 $\frac{d u_{3}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.6.1.1

$x^{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 7.6.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x$

ステップ 7.6.2

$u_{3}$ と $d u_{3}$ を利用して問題を書き換えます。

$e^{x^{2}} y = 2 (\frac{1}{2} u_{2} + C) + 2 \int u_{3} e^{u_{3}} \frac{1}{2} d u_{3}$

ステップ 7.7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.7.1

$\frac{1}{2}$ と $u_{2}$ をまとめます。

$e^{x^{2}} y = 2 (\frac{u_{2}}{2} + C) + 2 \int u_{3} e^{u_{3}} \frac{1}{2} d u_{3}$

ステップ 7.7.2

$\frac{1}{2}$ と $u_{3}$ をまとめます。

$e^{x^{2}} y = 2 (\frac{u_{2}}{2} + C) + 2 \int \frac{u_{3}}{2} e^{u_{3}} d u_{3}$

ステップ 7.7.3

$\frac{u_{3}}{2}$ と $e^{u_{3}}$ をまとめます。

$e^{x^{2}} y = 2 (\frac{u_{2}}{2} + C) + 2 \int \frac{u_{3} e^{u_{3}}}{2} d u_{3}$

ステップ 7.8

$\frac{1}{2}$ は $u_{3}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$e^{x^{2}} y = 2 (\frac{u_{2}}{2} + C) + 2 (\frac{1}{2} \int u_{3} e^{u_{3}} d u_{3})$

ステップ 7.9

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.9.1

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$e^{x^{2}} y = 2 (\frac{u_{2}}{2} + C) + \frac{2}{2} \int u_{3} e^{u_{3}} d u_{3}$

ステップ 7.9.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.9.2.1

共通因数を約分します。

$e^{x^{2}} y = 2 (\frac{u_{2}}{2} + C) + \frac{2}{2} \int u_{3} e^{u_{3}} d u_{3}$

ステップ 7.9.2.2

式を書き換えます。

$e^{x^{2}} y = 2 (\frac{u_{2}}{2} + C) + 1 \int u_{3} e^{u_{3}} d u_{3}$

ステップ 7.9.3

$\int u_{3} e^{u_{3}} d u_{3}$ に $1$ をかけます。

$e^{x^{2}} y = 2 (\frac{u_{2}}{2} + C) + \int u_{3} e^{u_{3}} d u_{3}$

ステップ 7.10

$w = u_{3}$ と $dv = e^{u_{3}}$ ならば、公式 $\int w d v = w v - \int v d w$ を利用して部分積分します。

$e^{x^{2}} y = 2 (\frac{u_{2}}{2} + C) + u_{3} e^{u_{3}} - \int e^{u_{3}} d u_{3}$

ステップ 7.11

$e^{u_{3}}$ の $u_{3}$ に関する積分は $e^{u_{3}}$ です。

$e^{x^{2}} y = 2 (\frac{u_{2}}{2} + C) + u_{3} e^{u_{3}} - (e^{u_{3}} + C)$

ステップ 7.12

簡約します。

$e^{x^{2}} y = u_{2} + u_{3} e^{u_{3}} - e^{u_{3}} + C$

ステップ 7.13

各積分に置換変数を戻し入れます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.13.1

$u_{2}$ のすべての発生を $e^{x^{2}}$ で置き換えます。

$e^{x^{2}} y = e^{x^{2}} + u_{3} e^{u_{3}} - e^{u_{3}} + C$

ステップ 7.13.2

$u_{3}$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$e^{x^{2}} y = e^{x^{2}} + x^{2} e^{x^{2}} - e^{x^{2}} + C$

ステップ 7.14

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.14.1

$e^{x^{2}}$ から $e^{x^{2}}$ を引きます。

$e^{x^{2}} y = x^{2} e^{x^{2}} + 0 + C$

ステップ 7.14.2

$x^{2} e^{x^{2}}$ と $0$ をたし算します。

$e^{x^{2}} y = x^{2} e^{x^{2}} + C$

ステップ 8

$e^{x^{2}} y = x^{2} e^{x^{2}} + C$ の各項を $e^{x^{2}}$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$e^{x^{2}} y = x^{2} e^{x^{2}} + C$ の各項を $e^{x^{2}}$ で割ります。

$\frac{e^{x^{2}} y}{e^{x^{2}}} = \frac{x^{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

ステップ 8.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

$e^{x^{2}}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{x^{2}} y}{e^{x^{2}}} = \frac{x^{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

ステップ 8.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{x^{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

ステップ 8.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1

$e^{x^{2}}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.1

共通因数を約分します。

$y = \frac{x^{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

ステップ 8.3.1.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$y = x^{2} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

微分積分 例

微分積分例