微分積分例

$x \frac{d y}{d x} + \frac{2 x + 1}{x + 1} y = x - 1$

ステップ 1

微分方程式を $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ として書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$x \frac{d y}{d x} + \frac{2 x + 1}{x + 1} y = x - 1$ の各項を $x$ で割ります。

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{\frac{2 x + 1}{x + 1} y}{x} = \frac{x}{x} + \frac{- 1}{x}$

ステップ 1.2

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{\frac{2 x + 1}{x + 1} y}{x} = \frac{x}{x} + \frac{- 1}{x}$

ステップ 1.2.2

$\frac{d y}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} + \frac{\frac{2 x + 1}{x + 1} y}{x} = \frac{x}{x} + \frac{- 1}{x}$

ステップ 1.3

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{d y}{d x} + \frac{\frac{2 x + 1}{x + 1} y}{x} = \frac{x}{x} + \frac{- 1}{x}$

ステップ 1.3.2

式を書き換えます。

$\frac{d y}{d x} + \frac{\frac{2 x + 1}{x + 1} y}{x} = 1 + \frac{- 1}{x}$

ステップ 1.4

$\frac{2 x + 1}{x + 1}$ と $y$ をまとめます。

$\frac{d y}{d x} + \frac{\frac{(2 x + 1) y}{x + 1}}{x} = 1 + \frac{- 1}{x}$

ステップ 1.5

$y$ を $\frac{\frac{(2 x + 1) y}{x + 1}}{x}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} + y \frac{\frac{2 x + 1}{x + 1}}{x} = 1 + \frac{- 1}{x}$

ステップ 1.6

$y$ と $\frac{\frac{2 x + 1}{x + 1}}{x}$ を並べ替えます。

$\frac{d y}{d x} + \frac{\frac{2 x + 1}{x + 1}}{x} y = 1 + \frac{- 1}{x}$

ステップ 2

$P (x) = \frac{\frac{2 x + 1}{x + 1}}{x}$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

積分を設定します。

$e^{\int \frac{\frac{2 x + 1}{x + 1}}{x} d x}$

ステップ 2.2

$\frac{\frac{2 x + 1}{x + 1}}{x}$ を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$e^{\int \frac{2 x + 1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x} d x}$

ステップ 2.2.1.2

$\frac{2 x + 1}{x + 1}$ に $\frac{1}{x}$ をかけます。

$e^{\int \frac{2 x + 1}{(x + 1) x} d x}$

ステップ 2.2.2

$u = (x + 1) x$ とします。次に $d u = (2 x + 1) d x$ すると、 $\frac{1}{2 x + 1} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

$u = (x + 1) x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1.1

$(x + 1) x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [(x + 1) x]$

ステップ 2.2.2.1.2

$f (x) = x + 1$ および $g (x) = x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(x + 1) \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [x + 1]$

ステップ 2.2.2.1.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1.3.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(x + 1) \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [x + 1]$

ステップ 2.2.2.1.3.2

$x + 1$ に $1$ をかけます。

$x + 1 + x \frac{d}{d x} [x + 1]$

ステップ 2.2.2.1.3.3

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$x + 1 + x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 2.2.2.1.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x + 1 + x (1 + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 2.2.2.1.3.5

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$x + 1 + x (1 + 0)$

ステップ 2.2.2.1.3.6

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1.3.6.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$x + 1 + x \cdot 1$

ステップ 2.2.2.1.3.6.2

$x$ に $1$ をかけます。

$x + 1 + x$

ステップ 2.2.2.1.3.6.3

$x$ と $x$ をたし算します。

$2 x + 1$

ステップ 2.2.2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$e^{\int \frac{1}{u} d u}$

ステップ 2.2.3

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$e^{\ln (| u |) + C}$

ステップ 2.2.4

$u$ のすべての発生を $(x + 1) x$ で置き換えます。

$e^{\ln (| (x + 1) x |) + C}$

ステップ 2.3

積分定数を削除します。

$e^{\ln ((x + 1) x)}$

ステップ 2.4

指数関数と対数関数は逆関数です。

$(x + 1) x$

ステップ 2.5

分配則を当てはめます。

$x \cdot x + 1 x$

ステップ 2.6

$x$ に $x$ をかけます。

$x^{2} + 1 x$

ステップ 2.7

$x$ に $1$ をかけます。

$x^{2} + x$

ステップ 3

各項に積分因数 $x^{2} + x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

各項に $x^{2} + x$ を掛けます。

$(x^{2} + x) \frac{d y}{d x} + (x^{2} + x) (\frac{\frac{2 x + 1}{x + 1}}{x} y) = (x^{2} + x) \cdot 1 + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

ステップ 3.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

分配則を当てはめます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + (x^{2} + x) (\frac{\frac{2 x + 1}{x + 1}}{x} y) = (x^{2} + x) \cdot 1 + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

ステップ 3.2.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + (x^{2} + x) (\frac{2 x + 1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x} y) = (x^{2} + x) \cdot 1 + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

ステップ 3.2.3

$\frac{2 x + 1}{x + 1}$ に $\frac{1}{x}$ をかけます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + (x^{2} + x) (\frac{2 x + 1}{(x + 1) x} y) = (x^{2} + x) \cdot 1 + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

ステップ 3.2.4

$\frac{2 x + 1}{(x + 1) x}$ と $y$ をまとめます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + (x^{2} + x) \frac{(2 x + 1) y}{(x + 1) x} = (x^{2} + x) \cdot 1 + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

ステップ 3.2.5

$x^{2} + x$ に $\frac{(2 x + 1) y}{(x + 1) x}$ をかけます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + \frac{(x^{2} + x) ((2 x + 1) y)}{(x + 1) x} = (x^{2} + x) \cdot 1 + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

ステップ 3.2.6

$x$ を $x^{2} + x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.6.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + \frac{(x \cdot x + x) (2 x + 1) y}{(x + 1) x} = (x^{2} + x) \cdot 1 + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

ステップ 3.2.6.2

$x$ を $1$ 乗します。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + \frac{(x \cdot x + x^{1}) (2 x + 1) y}{(x + 1) x} = (x^{2} + x) \cdot 1 + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

ステップ 3.2.6.3

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + \frac{(x \cdot x + x \cdot 1) (2 x + 1) y}{(x + 1) x} = (x^{2} + x) \cdot 1 + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

ステップ 3.2.6.4

$x$ を $x \cdot x + x \cdot 1$ で因数分解します。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + \frac{x (x + 1) (2 x + 1) y}{(x + 1) x} = (x^{2} + x) \cdot 1 + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

ステップ 3.2.7

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.7.1

共通因数を約分します。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + \frac{x (x + 1) (2 x + 1) y}{(x + 1) x} = (x^{2} + x) \cdot 1 + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

ステップ 3.2.7.2

式を書き換えます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + \frac{((x + 1) (2 x + 1)) y}{x + 1} = (x^{2} + x) \cdot 1 + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

ステップ 3.2.8

$x + 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.8.1

共通因数を約分します。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + \frac{(x + 1) (2 x + 1) y}{x + 1} = (x^{2} + x) \cdot 1 + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

ステップ 3.2.8.2

$(2 x + 1) y$ を $1$ で割ります。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + (2 x + 1) y = (x^{2} + x) \cdot 1 + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

ステップ 3.2.9

分配則を当てはめます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + 2 x y + 1 y = (x^{2} + x) \cdot 1 + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

ステップ 3.2.10

$y$ に $1$ をかけます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + 2 x y + y = (x^{2} + x) \cdot 1 + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

ステップ 3.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$x^{2} + x$ に $1$ をかけます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + 2 x y + y = x^{2} + x + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

ステップ 3.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + 2 x y + y = x^{2} + x + (x^{2} + x) (- \frac{1}{x})$

ステップ 3.3.3

分配則を当てはめます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + 2 x y + y = x^{2} + x + x^{2} (- \frac{1}{x}) + x (- \frac{1}{x})$

ステップ 3.3.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + 2 x y + y = x^{2} + x - x^{2} \frac{1}{x} + x (- \frac{1}{x})$

ステップ 3.3.5

積の可換性を利用して書き換えます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + 2 x y + y = x^{2} + x - x^{2} \frac{1}{x} - x \frac{1}{x}$

ステップ 3.3.6

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.6.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.6.1.1

$x$ を $- x^{2}$ で因数分解します。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + 2 x y + y = x^{2} + x + x (- x) \frac{1}{x} - x \frac{1}{x}$

ステップ 3.3.6.1.2

共通因数を約分します。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + 2 x y + y = x^{2} + x + x (- x) \frac{1}{x} - x \frac{1}{x}$

ステップ 3.3.6.1.3

式を書き換えます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + 2 x y + y = x^{2} + x - x - x \frac{1}{x}$

ステップ 3.3.6.2

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.6.2.1

$x$ を $- x$ で因数分解します。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + 2 x y + y = x^{2} + x - x + x \cdot - 1 \frac{1}{x}$

ステップ 3.3.6.2.2

共通因数を約分します。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + 2 x y + y = x^{2} + x - x + x \cdot - 1 \frac{1}{x}$

ステップ 3.3.6.2.3

式を書き換えます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + 2 x y + y = x^{2} + x - x - 1$

ステップ 3.4

$x^{2} + x - x - 1$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$x$ から $x$ を引きます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + 2 x y + y = x^{2} + 0 - 1$

ステップ 3.4.2

$x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + 2 x y + y = x^{2} - 1$

ステップ 4

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + x) y] = x^{2} - 1$

ステップ 5

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [(x^{2} + x) y] d x = \int x^{2} - 1 d x$

ステップ 6

左辺を積分します。

$(x^{2} + x) y = \int x^{2} - 1 d x$

ステップ 7

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

単一積分を複数積分に分割します。

$(x^{2} + x) y = \int x^{2} d x + \int - 1 d x$

ステップ 7.2

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$(x^{2} + x) y = \frac{1}{3} x^{3} + C + \int - 1 d x$

ステップ 7.3

定数の法則を当てはめます。

$(x^{2} + x) y = \frac{1}{3} x^{3} + C - x + C$

ステップ 7.4

簡約します。

$(x^{2} + x) y = \frac{1}{3} x^{3} - x + C$

ステップ 8

$(x^{2} + x) y = \frac{1}{3} x^{3} - x + C$ の各項を $x^{2} + x$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$(x^{2} + x) y = \frac{1}{3} x^{3} - x + C$ の各項を $x^{2} + x$ で割ります。

$\frac{(x^{2} + x) y}{x^{2} + x} = \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{x^{2} + x} + \frac{- x}{x^{2} + x} + \frac{C}{x^{2} + x}$

ステップ 8.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

$x^{2} + x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{(x^{2} + x) y}{x^{2} + x} = \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{x^{2} + x} + \frac{- x}{x^{2} + x} + \frac{C}{x^{2} + x}$

ステップ 8.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{x^{2} + x} + \frac{- x}{x^{2} + x} + \frac{C}{x^{2} + x}$

ステップ 8.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.1

$\frac{1}{3}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$y = \frac{\frac{x^{3}}{3}}{x^{2} + x} + \frac{- x}{x^{2} + x} + \frac{C}{x^{2} + x}$

ステップ 8.3.1.2

$x$ を $x^{2} + x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.2.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$y = \frac{\frac{x^{3}}{3}}{x \cdot x + x} + \frac{- x}{x^{2} + x} + \frac{C}{x^{2} + x}$

ステップ 8.3.1.2.2

$x$ を $1$ 乗します。

$y = \frac{\frac{x^{3}}{3}}{x \cdot x + x^{1}} + \frac{- x}{x^{2} + x} + \frac{C}{x^{2} + x}$

ステップ 8.3.1.2.3

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$y = \frac{\frac{x^{3}}{3}}{x \cdot x + x \cdot 1} + \frac{- x}{x^{2} + x} + \frac{C}{x^{2} + x}$

ステップ 8.3.1.2.4

$x$ を $x \cdot x + x \cdot 1$ で因数分解します。

$y = \frac{\frac{x^{3}}{3}}{x (x + 1)} + \frac{- x}{x^{2} + x} + \frac{C}{x^{2} + x}$

ステップ 8.3.1.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$y = \frac{x^{3}}{3} \cdot \frac{1}{x (x + 1)} + \frac{- x}{x^{2} + x} + \frac{C}{x^{2} + x}$

ステップ 8.3.1.4

まとめる。

$y = \frac{x^{3} \cdot 1}{3 (x (x + 1))} + \frac{- x}{x^{2} + x} + \frac{C}{x^{2} + x}$

ステップ 8.3.1.5

$x^{3}$ と $x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.5.1

$x$ を $x^{3} \cdot 1$ で因数分解します。

$y = \frac{x (x^{2} \cdot 1)}{3 (x (x + 1))} + \frac{- x}{x^{2} + x} + \frac{C}{x^{2} + x}$

ステップ 8.3.1.5.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.5.2.1

$x$ を $3 (x (x + 1))$ で因数分解します。

$y = \frac{x (x^{2} \cdot 1)}{x (3 (x + 1))} + \frac{- x}{x^{2} + x} + \frac{C}{x^{2} + x}$

ステップ 8.3.1.5.2.2

共通因数を約分します。

$y = \frac{x (x^{2} \cdot 1)}{x (3 (x + 1))} + \frac{- x}{x^{2} + x} + \frac{C}{x^{2} + x}$

ステップ 8.3.1.5.2.3

式を書き換えます。

$y = \frac{x^{2} \cdot 1}{3 (x + 1)} + \frac{- x}{x^{2} + x} + \frac{C}{x^{2} + x}$

ステップ 8.3.1.6

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{x^{2}}{3 (x + 1)} + \frac{- x}{x^{2} + x} + \frac{C}{x^{2} + x}$

ステップ 8.3.1.7

$x$ を $x^{2} + x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.7.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$y = \frac{x^{2}}{3 (x + 1)} + \frac{- x}{x \cdot x + x} + \frac{C}{x^{2} + x}$

ステップ 8.3.1.7.2

$x$ を $1$ 乗します。

$y = \frac{x^{2}}{3 (x + 1)} + \frac{- x}{x \cdot x + x^{1}} + \frac{C}{x^{2} + x}$

ステップ 8.3.1.7.3

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$y = \frac{x^{2}}{3 (x + 1)} + \frac{- x}{x \cdot x + x \cdot 1} + \frac{C}{x^{2} + x}$

ステップ 8.3.1.7.4

$x$ を $x \cdot x + x \cdot 1$ で因数分解します。

$y = \frac{x^{2}}{3 (x + 1)} + \frac{- x}{x (x + 1)} + \frac{C}{x^{2} + x}$

ステップ 8.3.1.8

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.8.1

共通因数を約分します。

$y = \frac{x^{2}}{3 (x + 1)} + \frac{- x}{x (x + 1)} + \frac{C}{x^{2} + x}$

ステップ 8.3.1.8.2

式を書き換えます。

$y = \frac{x^{2}}{3 (x + 1)} + \frac{- 1}{x + 1} + \frac{C}{x^{2} + x}$

ステップ 8.3.1.9

分数の前に負数を移動させます。

$y = \frac{x^{2}}{3 (x + 1)} - \frac{1}{x + 1} + \frac{C}{x^{2} + x}$

ステップ 8.3.1.10

$x$ を $x^{2} + x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.10.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$y = \frac{x^{2}}{3 (x + 1)} - \frac{1}{x + 1} + \frac{C}{x \cdot x + x}$

ステップ 8.3.1.10.2

$x$ を $1$ 乗します。

$y = \frac{x^{2}}{3 (x + 1)} - \frac{1}{x + 1} + \frac{C}{x \cdot x + x^{1}}$

ステップ 8.3.1.10.3

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$y = \frac{x^{2}}{3 (x + 1)} - \frac{1}{x + 1} + \frac{C}{x \cdot x + x \cdot 1}$

ステップ 8.3.1.10.4

$x$ を $x \cdot x + x \cdot 1$ で因数分解します。

$y = \frac{x^{2}}{3 (x + 1)} - \frac{1}{x + 1} + \frac{C}{x (x + 1)}$

ステップ 8.3.2

$- \frac{1}{x + 1}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$y = \frac{x^{2}}{3 (x + 1)} - \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{3}{3} + \frac{C}{x (x + 1)}$

ステップ 8.3.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $3 (x + 1)$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.3.1

$\frac{1}{x + 1}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$y = \frac{x^{2}}{3 (x + 1)} - \frac{3}{(x + 1) \cdot 3} + \frac{C}{x (x + 1)}$

ステップ 8.3.3.2

$(x + 1) \cdot 3$ の因数を並べ替えます。

$y = \frac{x^{2}}{3 (x + 1)} - \frac{3}{3 (x + 1)} + \frac{C}{x (x + 1)}$

ステップ 8.3.4

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{x^{2} - 3}{3 (x + 1)} + \frac{C}{x (x + 1)}$

ステップ 8.3.5

$\frac{x^{2} - 3}{3 (x + 1)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x}{x}$ を掛けます。

$y = \frac{x^{2} - 3}{3 (x + 1)} \cdot \frac{x}{x} + \frac{C}{x (x + 1)}$

ステップ 8.3.6

$\frac{C}{x (x + 1)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$y = \frac{x^{2} - 3}{3 (x + 1)} \cdot \frac{x}{x} + \frac{C}{x (x + 1)} \cdot \frac{3}{3}$

ステップ 8.3.7

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $3 (x + 1) x$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.7.1

$\frac{x^{2} - 3}{3 (x + 1)}$ に $\frac{x}{x}$ をかけます。

$y = \frac{(x^{2} - 3) x}{3 (x + 1) x} + \frac{C}{x (x + 1)} \cdot \frac{3}{3}$

ステップ 8.3.7.2

$\frac{C}{x (x + 1)}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$y = \frac{(x^{2} - 3) x}{3 (x + 1) x} + \frac{C \cdot 3}{x (x + 1) \cdot 3}$

ステップ 8.3.7.3

$3 (x + 1) x$ の因数を並べ替えます。

$y = \frac{(x^{2} - 3) x}{3 x (x + 1)} + \frac{C \cdot 3}{x (x + 1) \cdot 3}$

ステップ 8.3.7.4

$x (x + 1) \cdot 3$ の因数を並べ替えます。

$y = \frac{(x^{2} - 3) x}{3 x (x + 1)} + \frac{C \cdot 3}{3 x (x + 1)}$

ステップ 8.3.8

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{(x^{2} - 3) x + C \cdot 3}{3 x (x + 1)}$

ステップ 8.3.9

分子を簡約します。

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ステップ 8.3.9.1

分配則を当てはめます。

$y = \frac{x^{2} x - 3 x + C \cdot 3}{3 x (x + 1)}$

ステップ 8.3.9.2

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 8.3.9.2.1

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.9.2.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$y = \frac{x^{2} x^{1} - 3 x + C \cdot 3}{3 x (x + 1)}$

ステップ 8.3.9.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y = \frac{x^{2 + 1} - 3 x + C \cdot 3}{3 x (x + 1)}$

ステップ 8.3.9.2.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$y = \frac{x^{3} - 3 x + C \cdot 3}{3 x (x + 1)}$

ステップ 8.3.9.3

$3$ を $C$ の左に移動させます。

$y = \frac{x^{3} - 3 x + 3 C}{3 x (x + 1)}$

微分積分 例

微分積分例