微分積分例

$d x - (1 + 2 x \tan (y)) d y = 0$

ステップ 1

$M (x, y) = 1$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1]$

ステップ 1.2

$1$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0$

ステップ 2

$N (x, y) = - (1 + 2 x \tan (y))$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (1 + 2 x \tan (y))]$

ステップ 2.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- (1 + 2 x \tan (y))$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [1 + 2 x \tan (y)]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [1 + 2 x \tan (y)]$

ステップ 2.3

総和則では、 $1 + 2 x \tan (y)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x \tan (y)]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x \tan (y)])$

ステップ 2.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (0 + \frac{d}{d x} [2 x \tan (y)])$

ステップ 2.5

$0$ と $\frac{d}{d x} [2 x \tan (y)]$ をたし算します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [2 x \tan (y)]$

ステップ 2.6

$2 \tan (y)$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x \tan (y)$ の微分係数は $2 \tan (y) \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 \tan (y) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.7

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 (\tan (y) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 \tan (y) \cdot 1$

ステップ 2.9

$- 2$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 \tan (y)$

ステップ 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$0$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $- 2 \tan (y)$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$0 = - 2 \tan (y)$

ステップ 3.2

方程式の左辺が右辺に等しくないので、方程式は恒等式ではありません。

$0 = - 2 \tan (y)$ は恒等式ではありません。

ステップ 4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$- 2 \tan (y)$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$\frac{- 2 \tan (y) - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

ステップ 4.2

$0$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に代入します。

$\frac{- 2 \tan (y) + 0}{M}$

ステップ 4.3

$1$ を $M$ に代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$1$ を $M$ に代入します。

$\frac{- 2 \tan (y) + 0}{1}$

ステップ 4.3.2

$- 2 \tan (y) + 0$ を $1$ で割ります。

$- 2 \tan (y) + 0$

ステップ 4.3.3

$1$ を $M$ に代入します。

$- 2 \tan (y)$

ステップ 4.4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ を求めます。

$μ (x, y) = e^{\int - 2 \tan (y) d y}$

ステップ 5

積分 $e^{\int - 2 \tan (y) d y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$- 2$ は $y$ に対して定数なので、 $- 2$ を積分の外に移動させます。

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \tan (y) d y}$

ステップ 5.2

$\tan (y)$ の $y$ に関する積分は $\ln (| \sec (y) |)$ です。

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| \sec (y) |) + C)}$

ステップ 5.3

簡約します。

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| \sec (y) |)} + C$

ステップ 5.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

対数の中の $- 2$ を移動させて $- 2 \ln (| \sec (y) |)$ を簡約します。

$μ (x, y) = e^{\ln ({| \sec (y) |}^{- 2})} + C$

ステップ 5.4.2

指数関数と対数関数は逆関数です。

$μ (x, y) = {| \sec (y) |}^{- 2} + C$

ステップ 5.4.3

偶数乗をもつ累乗法は常に正なので、 ${| \sec (y) |}^{- 2}$ の絶対値を削除します。

$μ (x, y) = \sec^{- 2} (y) + C$

ステップ 5.4.4

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$μ (x, y) = \frac{1}{\sec^{2} (y)} + C$

ステップ 5.4.5

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$μ (x, y) = \frac{1^{2}}{\sec^{2} (y)} + C$

ステップ 5.4.6

$\frac{1^{2}}{\sec^{2} (y)}$ を ${(\frac{1}{\sec (y)})}^{2}$ に書き換えます。

$μ (x, y) = {(\frac{1}{\sec (y)})}^{2} + C$

ステップ 5.4.7

正弦と余弦に関して $\sec (y)$ を書き換えます。

$μ (x, y) = {(\frac{1}{\frac{1}{\cos (y)}})}^{2} + C$

ステップ 5.4.8

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{\cos (y)}$ で割ります。

$μ (x, y) = {(1 \cos (y))}^{2} + C$

ステップ 5.4.9

$\cos (y)$ に $1$ をかけます。

$μ (x, y) = \cos^{2} (y) + C$

ステップ 6

$1$ に $\cos^{2} (y)$ をかけます。

$d x - (1 + 2 x \tan (y)) d y = 0$

ステップ 7

$f (x, y)$ は $M (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int \cos^{2} (y) d x$

ステップ 8

$M (x, y) = \cos^{2} (y)$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

定数の法則を当てはめます。

$f (x, y) = \cos^{2} (y) x + C$

ステップ 9

$g (y)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (y)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = \cos^{2} (y) x + g (y)$

ステップ 10

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial y} = - \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y)$

ステップ 11

$\frac{\partial f}{\partial y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

$y$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [\cos^{2} (y) x + g (y)] = - \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y)$

ステップ 11.2

総和則では、 $\cos^{2} (y) x + g (y)$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [\cos^{2} (y) x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ です。

$\frac{d}{d y} [\cos^{2} (y) x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y)$

ステップ 11.3

$\frac{d}{d y} [\cos^{2} (y) x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.1

$x$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $\cos^{2} (y) x$ の微分係数は $x \frac{d}{d y} [\cos^{2} (y)]$ です。

$x \frac{d}{d y} [\cos^{2} (y)] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y)$

ステップ 11.3.2

$f (y) = y^{2}$ および $g (y) = \cos (y)$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ は $f' (g (y)) g' (y)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\cos (y)$ とします。

$x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d y} [\cos (y)]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y)$

ステップ 11.3.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (2 u \frac{d}{d y} [\cos (y)]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y)$

ステップ 11.3.2.3

$u$ のすべての発生を $\cos (y)$ で置き換えます。

$x (2 \cos (y) \frac{d}{d y} [\cos (y)]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y)$

ステップ 11.3.3

$y$ に関する $\cos (y)$ の微分係数は $- \sin (y)$ です。

$x (2 \cos (y) (- \sin (y))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y)$

ステップ 11.3.4

$- 1$ に $2$ をかけます。

$x (- 2 \cos (y) \sin (y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y)$

ステップ 11.4

$g (y)$ の微分係数は $\frac{d g}{d y}$ であるという関数の規則を使って微分します。

$x (- 2 \cos (y) \sin (y)) + \frac{d g}{d y} = - \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y)$

ステップ 11.5

項を並べ替えます。

$\frac{d g}{d y} - 2 x \cos (y) \sin (y) = - \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y)$

ステップ 12

$\frac{d g}{d y}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

$\frac{d g}{d y}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1

方程式の両辺に $2 x \cos (y) \sin (y)$ を足します。

$\frac{d g}{d y} = - \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y) + 2 x \cos (y) \sin (y)$

ステップ 12.1.2

$- \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y) + 2 x \cos (y) \sin (y)$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.2.1

$- 2 x \sin (y) \cos (y)$ と $2 x \cos (y) \sin (y)$ について因数を並べ替えます。

$\frac{d g}{d y} = - \cos^{2} (y) - 2 x \cos (y) \sin (y) + 2 x \cos (y) \sin (y)$

ステップ 12.1.2.2

$- 2 x \cos (y) \sin (y)$ と $2 x \cos (y) \sin (y)$ をたし算します。

$\frac{d g}{d y} = - \cos^{2} (y) + 0$

ステップ 12.1.2.3

$- \cos^{2} (y)$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d g}{d y} = - \cos^{2} (y)$

ステップ 13

$- \cos^{2} (y)$ の不定積分を求めて $g (y)$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

$\frac{d g}{d y} = - \cos^{2} (y)$ の両辺を積分します。

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - \cos^{2} (y) d y$

ステップ 13.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ の値を求めます。

$g (y) = \int - \cos^{2} (y) d y$

ステップ 13.3

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$g (y) = - \int \cos^{2} (y) d y$

ステップ 13.4

半角公式を利用して $\cos^{2} (y)$ を $\frac{1 + \cos (2 y)}{2}$ に書き換えます。

$g (y) = - \int \frac{1 + \cos (2 y)}{2} d y$

ステップ 13.5

$\frac{1}{2}$ は $y$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$g (y) = - (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 y) d y)$

ステップ 13.6

括弧を削除します。

$g (y) = - \frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 y) d y$

ステップ 13.7

単一積分を複数積分に分割します。

$g (y) = - \frac{1}{2} (\int d y + \int \cos (2 y) d y)$

ステップ 13.8

定数の法則を当てはめます。

$g (y) = - \frac{1}{2} (y + C + \int \cos (2 y) d y)$

ステップ 13.9

$u = 2 y$ とします。次に $d u = 2 d y$ すると、 $\frac{1}{2} d u = d y$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.9.1

$u = 2 y$ とします。 $\frac{d u}{d y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.9.1.1

$2 y$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [2 y]$

ステップ 13.9.1.2

$2$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $2 y$ の微分係数は $2 \frac{d}{d y} [y]$ です。

$2 \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 13.9.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 13.9.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 13.9.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$g (y) = - \frac{1}{2} (y + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

ステップ 13.10

$\cos (u)$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$g (y) = - \frac{1}{2} (y + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

ステップ 13.11

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$g (y) = - \frac{1}{2} (y + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

ステップ 13.12

$\cos (u)$ の $u$ に関する積分は $\sin (u)$ です。

$g (y) = - \frac{1}{2} (y + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

ステップ 13.13

簡約します。

$g (y) = - \frac{1}{2} (y + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

ステップ 13.14

$u$ のすべての発生を $2 y$ で置き換えます。

$g (y) = - \frac{1}{2} (y + \frac{1}{2} \sin (2 y)) + C$

ステップ 13.15

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.15.1

$\frac{1}{2}$ と $\sin (2 y)$ をまとめます。

$g (y) = - \frac{1}{2} (y + \frac{\sin (2 y)}{2}) + C$

ステップ 13.15.2

分配則を当てはめます。

$g (y) = - \frac{1}{2} y - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2} + C$

ステップ 13.15.3

$y$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$g (y) = - \frac{y}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2} + C$

ステップ 13.15.4

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.15.4.1

$\frac{\sin (2 y)}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$g (y) = - \frac{y}{2} - \frac{\sin (2 y)}{2 \cdot 2} + C$

ステップ 13.15.4.2

$2$ に $2$ をかけます。

$g (y) = - \frac{y}{2} - \frac{\sin (2 y)}{4} + C$

ステップ 13.16

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.16.1

項を並べ替えます。

$g (y) = - (\frac{1}{2} y) - (\frac{1}{4} \sin (2 y)) + C$

ステップ 13.16.2

括弧を削除します。

$g (y) = - \frac{1}{2} y - (\frac{1}{4} \sin (2 y)) + C$

ステップ 13.16.3

括弧を削除します。

$g (y) = - \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \sin (2 y) + C$

ステップ 14

$f (x, y) = \cos^{2} (y) x + g (y)$ の $g (y)$ に代入します。

$f (x, y) = \cos^{2} (y) x - \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \sin (2 y) + C$

ステップ 15

$f (x, y) = \cos^{2} (y) x - \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \sin (2 y) + C$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1.1

$y$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$f (x, y) = \cos^{2} (y) x - \frac{y}{2} - \frac{1}{4} \sin (2 y) + C$

ステップ 15.1.2

$\sin (2 y)$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$f (x, y) = \cos^{2} (y) x - \frac{y}{2} - \frac{\sin (2 y)}{4} + C$

ステップ 15.2

$f (x, y) = \cos^{2} (y) x - \frac{y}{2} - \frac{\sin (2 y)}{4} + C$ の因数を並べ替えます。

$f (x, y) = x \cos^{2} (y) - \frac{y}{2} - \frac{\sin (2 y)}{4} + C$

微分積分 例

微分積分例