微分積分例

$(4 + x^{2}) d y + 4 d x = 0$

ステップ 1

方程式の両辺から $4 d x$ を引きます。

$(4 + x^{2}) d y = - 4 d x$

ステップ 2

両辺に $\frac{1}{4 + x^{2}}$ を掛けます。

$\frac{1}{4 + x^{2}} (4 + x^{2}) d y = \frac{1}{4 + x^{2}} \cdot - 4 d x$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

$4 + x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{4 + x^{2}} (4 + x^{2}) d y = \frac{1}{4 + x^{2}} \cdot - 4 d x$

ステップ 3.1.2

式を書き換えます。

$1 d y = \frac{1}{4 + x^{2}} \cdot - 4 d x$

ステップ 3.2

$\frac{1}{4 + x^{2}}$ と $- 4$ をまとめます。

$1 d y = \frac{- 4}{4 + x^{2}} d x$

ステップ 3.3

分数の前に負数を移動させます。

$1 d y = - \frac{4}{4 + x^{2}} d x$

ステップ 4

両辺を積分します。

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ステップ 4.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int - \frac{4}{4 + x^{2}} d x$

ステップ 4.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int - \frac{4}{4 + x^{2}} d x$

ステップ 4.3

右辺を積分します。

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ステップ 4.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = - \int \frac{4}{4 + x^{2}} d x$

ステップ 4.3.2

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = - (4 \int \frac{1}{4 + x^{2}} d x)$

ステップ 4.3.3

指数を利用して式を書きます。

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ステップ 4.3.3.1

$4$ に $- 1$ をかけます。

$y + C_{1} = - 4 \int \frac{1}{4 + x^{2}} d x$

ステップ 4.3.3.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y + C_{1} = - 4 \int \frac{1}{2^{2} + x^{2}} d x$

ステップ 4.3.4

$\frac{1}{2^{2} + x^{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2}) + C_{2}$ です。

$y + C_{1} = - 4 (\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2}) + C_{2})$

ステップ 4.3.5

答えを簡約します。

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ステップ 4.3.5.1

$\frac{1}{2}$ と $\arctan (\frac{x}{2})$ をまとめます。

$y + C_{1} = - 4 (\frac{\arctan (\frac{x}{2})}{2} + C_{2})$

ステップ 4.3.5.2

$- 4 (\frac{\arctan (\frac{x}{2})}{2} + C_{2})$ を $- 4 (\frac{1}{2}) \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$ に書き換えます。

$y + C_{1} = - 4 (\frac{1}{2}) \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

ステップ 4.3.5.3

簡約します。

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ステップ 4.3.5.3.1

$- 4$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$y + C_{1} = \frac{- 4}{2} \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

ステップ 4.3.5.3.2

$- 4$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.5.3.2.1

$2$ を $- 4$ で因数分解します。

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2} \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

ステップ 4.3.5.3.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.5.3.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

ステップ 4.3.5.3.2.2.2

共通因数を約分します。

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

ステップ 4.3.5.3.2.2.3

式を書き換えます。

$y + C_{1} = \frac{- 2}{1} \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

ステップ 4.3.5.3.2.2.4

$- 2$ を $1$ で割ります。

$y + C_{1} = - 2 \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

ステップ 4.3.5.3.3

$\frac{1}{2}$ と $x$ をまとめます。

$y + C_{1} = - 2 \arctan (\frac{x}{2}) + C_{2}$

ステップ 4.3.5.4

項を並べ替えます。

$y + C_{1} = - 2 \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

ステップ 4.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$y = - 2 \arctan (\frac{1}{2} x) + K$

微分積分 例

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