微分積分例

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = - \frac{3}{x^{4}}$

ステップ 1

$x$ について両辺を積分します。

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ステップ 1.1

一次導関数は、 $x$ について二次導関数の積分に等しいです。

$\frac{d y}{d x} = \int - \frac{3}{x^{4}} d x$

ステップ 1.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{d y}{d x} = - \int \frac{3}{x^{4}} d x$

ステップ 1.3

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$\frac{d y}{d x} = - (3 \int \frac{1}{x^{4}} d x)$

ステップ 1.4

式を簡約します。

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ステップ 1.4.1

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{d y}{d x} = - 3 \int \frac{1}{x^{4}} d x$

ステップ 1.4.2

$x^{4}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\frac{d y}{d x} = - 3 \int {(x^{4})}^{- 1} d x$

ステップ 1.4.3

${(x^{4})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.4.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{d y}{d x} = - 3 \int x^{4 \cdot - 1} d x$

ステップ 1.4.3.2

$4$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{d y}{d x} = - 3 \int x^{- 4} d x$

ステップ 1.5

べき乗則では、 $x^{- 4}$ の $x$ に関する積分は $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ です。

$\frac{d y}{d x} = - 3 (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C_{1})$

ステップ 1.6

答えを簡約します。

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ステップ 1.6.1

簡約します。

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ステップ 1.6.1.1

$x^{- 3}$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\frac{d y}{d x} = - 3 (- \frac{x^{- 3}}{3} + C_{1})$

ステップ 1.6.1.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- 3}$ を分母に移動させます。

$\frac{d y}{d x} = - 3 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C_{1})$

ステップ 1.6.2

簡約します。

$\frac{d y}{d x} = - 3 (- \frac{1}{3 x^{3}}) + C_{1}$

ステップ 1.6.3

簡約します。

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ステップ 1.6.3.1

$- 1$ に $- 3$ をかけます。

$\frac{d y}{d x} = 3 \frac{1}{3 x^{3}} + C_{1}$

ステップ 1.6.3.2

$3$ と $\frac{1}{3 x^{3}}$ をまとめます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{3}{3 x^{3}} + C_{1}$

ステップ 1.6.3.3

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.6.3.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{3}{3 x^{3}} + C_{1}$

ステップ 1.6.3.3.2

式を書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{3}} + C_{1}$

ステップ 2

方程式を書き換えます。

$d y = (\frac{1}{x^{3}} + C_{1}) d x$

ステップ 3

両辺を積分します。

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ステップ 3.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int \frac{1}{x^{3}} + C_{1} d x$

ステップ 3.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{2} = \int \frac{1}{x^{3}} + C_{1} d x$

ステップ 3.3

右辺を積分します。

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ステップ 3.3.1

単一積分を複数積分に分割します。

$y + C_{2} = \int \frac{1}{x^{3}} d x + \int C_{1} d x$

ステップ 3.3.2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 3.3.2.1

$x^{3}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$y + C_{2} = \int {(x^{3})}^{- 1} d x + \int C_{1} d x$

ステップ 3.3.2.2

${(x^{3})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.3.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y + C_{2} = \int x^{3 \cdot - 1} d x + \int C_{1} d x$

ステップ 3.3.2.2.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$y + C_{2} = \int x^{- 3} d x + \int C_{1} d x$

ステップ 3.3.3

べき乗則では、 $x^{- 3}$ の $x$ に関する積分は $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ です。

$y + C_{2} = - \frac{1}{2} x^{- 2} + C_{3} + \int C_{1} d x$

ステップ 3.3.4

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{2} = - \frac{1}{2} x^{- 2} + C_{3} + C_{1} x + C_{4}$

ステップ 3.3.5

簡約します。

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ステップ 3.3.5.1

簡約します。

$y + C_{2} = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{2}} + C_{1} x + C_{5}$

ステップ 3.3.5.2

簡約します。

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ステップ 3.3.5.2.1

$\frac{1}{x^{2}}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$y + C_{2} = - \frac{1}{x^{2} \cdot 2} + C_{1} x + C_{5}$

ステップ 3.3.5.2.2

$2$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$y + C_{2} = - \frac{1}{2 x^{2}} + C_{1} x + C_{5}$

ステップ 3.3.6

項を並べ替えます。

$y + C_{2} = C_{1} x - \frac{1}{2 x^{2}} + C_{5}$

ステップ 3.4

右辺の積分定数を $D$ としてまとめます。

$y = C x - \frac{1}{2 x^{2}} + D$

微分積分 例

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