微分積分例

$\frac{y}{x} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$

ステップ 1

$M (x, y) = \frac{y}{x}$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$

ステップ 1.2

$\frac{1}{x}$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $\frac{y}{x}$ の微分係数は $\frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x} \cdot 1$

ステップ 1.4

$\frac{1}{x}$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x}$

ステップ 2

$N (x, y) = y^{3} - \ln (x)$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{3} - \ln (x)]$

ステップ 2.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

総和則では、 $y^{3} - \ln (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

ステップ 2.2.2

$y^{3}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $y^{3}$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \ln (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

ステップ 2.3.2

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - \frac{1}{x}$

ステップ 2.4

$0$ から $\frac{1}{x}$ を引きます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{1}{x}$

ステップ 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$\frac{1}{x}$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $- \frac{1}{x}$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$\frac{1}{x} = - \frac{1}{x}$

ステップ 3.2

方程式の左辺が右辺に等しくないので、方程式は恒等式ではありません。

$\frac{1}{x} = - \frac{1}{x}$ は恒等式ではありません。

ステップ 4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$- \frac{1}{x}$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$\frac{- \frac{1}{x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

ステップ 4.2

$\frac{1}{x}$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に代入します。

$\frac{- \frac{1}{x} - \frac{1}{x}}{M}$

ステップ 4.3

$\frac{y}{x}$ を $M$ に代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$\frac{y}{x}$ を $M$ に代入します。

$\frac{- \frac{1}{x} - \frac{1}{x}}{\frac{y}{x}}$

ステップ 4.3.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$(- \frac{1}{x} - \frac{1}{x}) \frac{x}{y}$

ステップ 4.3.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 1 - 1}{x} \cdot \frac{x}{y}$

ステップ 4.3.4

$- 1$ から $1$ を引きます。

$\frac{- 2}{x} \cdot \frac{x}{y}$

ステップ 4.3.5

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 2}{x} \cdot \frac{x}{y}$

ステップ 4.3.5.2

式を書き換えます。

$- 2 \frac{1}{y}$

ステップ 4.3.6

$- 2$ と $\frac{1}{y}$ をまとめます。

$\frac{- 2}{y}$

ステップ 4.3.7

$\frac{y}{x}$ を $M$ に代入します。

$- \frac{2}{y}$

ステップ 4.4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ を求めます。

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{y} d y}$

ステップ 5

積分 $e^{\int - \frac{2}{y} d y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{y} d y}$

ステップ 5.2

$2$ は $y$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{y} d y)}$

ステップ 5.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{y} d y}$

ステップ 5.4

$\frac{1}{y}$ の $y$ に関する積分は $\ln (| y |)$ です。

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| y |) + C)}$

ステップ 5.5

簡約します。

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| y |)} + C$

ステップ 5.6

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.1

対数の中の $- 2$ を移動させて $- 2 \ln (| y |)$ を簡約します。

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 2})} + C$

ステップ 5.6.2

指数関数と対数関数は逆関数です。

$μ (x, y) = {| y |}^{- 2} + C$

ステップ 5.6.3

偶数乗をもつ累乗法は常に正なので、 ${| y |}^{- 2}$ の絶対値を削除します。

$μ (x, y) = y^{- 2} + C$

ステップ 5.6.4

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$μ (x, y) = \frac{1}{y^{2}} + C$

ステップ 6

$\frac{y}{x} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$ の両辺に積分因子 $\frac{1}{y^{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$\frac{y}{x}$ に $\frac{1}{y^{2}}$ をかけます。

$\frac{y}{x} \cdot \frac{1}{y^{2}} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$

ステップ 6.2

まとめる。

$\frac{y \cdot 1}{x y^{2}} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$

ステップ 6.3

$y$ と $y^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

$y$ を $y \cdot 1$ で因数分解します。

$\frac{y (1)}{x y^{2}} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$

ステップ 6.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1

$y$ を $x y^{2}$ で因数分解します。

$\frac{y (1)}{y (x y)} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$

ステップ 6.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{y \cdot 1}{y (x y)} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$

ステップ 6.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{x y} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$

ステップ 6.4

$y^{3} - \ln (x)$ に $\frac{1}{y^{2}}$ をかけます。

$\frac{1}{x y} d x + (y^{3} - \ln (x)) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

ステップ 6.5

$y^{3} - \ln (x)$ に $\frac{1}{y^{2}}$ をかけます。

$\frac{1}{x y} d x + \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}} d y = 0$

ステップ 7

$f (x, y)$ は $M (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int \frac{1}{x y} d x$

ステップ 8

$M (x, y) = \frac{1}{x y}$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$\frac{1}{y}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{y}$ を積分の外に移動させます。

$f (x, y) = \frac{1}{y} \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 8.2

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$f (x, y) = \frac{1}{y} (\ln (| x |) + C)$

ステップ 8.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1

簡約します。

$f (x, y) = \frac{1}{y} \ln (| x |) + C$

ステップ 8.3.2

$\frac{1}{y}$ と $\ln (| x |)$ をまとめます。

$f (x, y) = \frac{\ln (| x |)}{y} + C$

ステップ 9

$g (y)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (y)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = \frac{\ln (| x |)}{y} + g (y)$

ステップ 10

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

ステップ 11

$y$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [\frac{\ln (| x |)}{y} + g (y)] = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

ステップ 12

$\frac{d g}{d y}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

$\frac{d g}{d y}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1

書き換えます。

$\frac{y}{x} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$

ステップ 12.1.2

$M (x, y) = \frac{y}{x}$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.2.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$

ステップ 12.1.2.2

$\frac{1}{x}$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $\frac{y}{x}$ の微分係数は $\frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 12.1.2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x} \cdot 1$

ステップ 12.1.2.4

$\frac{1}{x}$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x}$

ステップ 12.1.3

$N (x, y) = y^{3} - \ln (x)$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.3.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{3} - \ln (x)]$

ステップ 12.1.3.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.3.2.1

総和則では、 $y^{3} - \ln (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

ステップ 12.1.3.2.2

$y^{3}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $y^{3}$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

ステップ 12.1.3.3

$\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.3.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \ln (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

ステップ 12.1.3.3.2

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - \frac{1}{x}$

ステップ 12.1.3.4

$0$ から $\frac{1}{x}$ を引きます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{1}{x}$

ステップ 12.1.4

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.4.1

$\frac{1}{x}$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $- \frac{1}{x}$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$\frac{1}{x} = - \frac{1}{x}$

ステップ 12.1.4.2

方程式の左辺が右辺に等しくないので、方程式は恒等式ではありません。

$\frac{1}{x} = - \frac{1}{x}$ は恒等式ではありません。

ステップ 12.1.5

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.5.1

$- \frac{1}{x}$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$\frac{- \frac{1}{x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

ステップ 12.1.5.2

$\frac{1}{x}$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に代入します。

$\frac{- \frac{1}{x} - \frac{1}{x}}{M}$

ステップ 12.1.5.3

$\frac{y}{x}$ を $M$ に代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.5.3.1

$\frac{y}{x}$ を $M$ に代入します。

$\frac{- \frac{1}{x} - \frac{1}{x}}{\frac{y}{x}}$

ステップ 12.1.5.3.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$(- \frac{1}{x} - \frac{1}{x}) \frac{x}{y}$

ステップ 12.1.5.3.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 1 - 1}{x} \cdot \frac{x}{y}$

ステップ 12.1.5.3.4

$- 1$ から $1$ を引きます。

$\frac{- 2}{x} \cdot \frac{x}{y}$

ステップ 12.1.5.3.5

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.5.3.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 2}{x} \cdot \frac{x}{y}$

ステップ 12.1.5.3.5.2

式を書き換えます。

$- 2 \frac{1}{y}$

ステップ 12.1.5.3.6

$- 2$ と $\frac{1}{y}$ をまとめます。

$\frac{- 2}{y}$

ステップ 12.1.5.3.7

$\frac{y}{x}$ を $M$ に代入します。

$- \frac{2}{y}$

ステップ 12.1.5.4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ を求めます。

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{y} d y}$

ステップ 12.1.6

積分 $e^{\int - \frac{2}{y} d y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.6.1

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{y} d y}$

ステップ 12.1.6.2

$2$ は $y$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{y} d y)}$

ステップ 12.1.6.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{y} d y}$

ステップ 12.1.6.4

$\frac{1}{y}$ の $y$ に関する積分は $\ln (| y |)$ です。

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| y |) + C)}$

ステップ 12.1.6.5

簡約します。

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| y |)} + C$

ステップ 12.1.6.6

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.6.6.1

対数の中の $- 2$ を移動させて $- 2 \ln (| y |)$ を簡約します。

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 2})} + C$

ステップ 12.1.6.6.2

指数関数と対数関数は逆関数です。

$μ (x, y) = {| y |}^{- 2} + C$

ステップ 12.1.6.6.3

偶数乗をもつ累乗法は常に正なので、 ${| y |}^{- 2}$ の絶対値を削除します。

$μ (x, y) = y^{- 2} + C$

ステップ 12.1.6.6.4

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$μ (x, y) = \frac{1}{y^{2}} + C$

ステップ 12.1.7

$\frac{y}{x} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$ の両辺に積分因子 $\frac{1}{y^{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.7.1

$\frac{y}{x}$ に $\frac{1}{y^{2}}$ をかけます。

$\frac{y}{x} \cdot \frac{1}{y^{2}} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$

ステップ 12.1.7.2

まとめる。

$\frac{y \cdot 1}{x y^{2}} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$

ステップ 12.1.7.3

$y$ と $y^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.7.3.1

$y$ を $y \cdot 1$ で因数分解します。

$\frac{y (1)}{x y^{2}} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$

ステップ 12.1.7.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.7.3.2.1

$y$ を $x y^{2}$ で因数分解します。

$\frac{y (1)}{y (x y)} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$

ステップ 12.1.7.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{y \cdot 1}{y (x y)} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$

ステップ 12.1.7.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{x y} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$

ステップ 12.1.7.4

$y^{3} - \ln (x)$ に $\frac{1}{y^{2}}$ をかけます。

$\frac{1}{x y} d x + (y^{3} - \ln (x)) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

ステップ 12.1.7.5

$y^{3} - \ln (x)$ に $\frac{1}{y^{2}}$ をかけます。

$\frac{1}{x y} d x + \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}} d y = 0$

ステップ 12.1.8

$f (x, y)$ は $M (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int \frac{1}{x y} d x$

ステップ 12.1.9

$M (x, y) = \frac{1}{x y}$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.9.1

$\frac{1}{y}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{y}$ を積分の外に移動させます。

$f (x, y) = \frac{1}{y} \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 12.1.9.2

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$f (x, y) = \frac{1}{y} (\ln (| x |) + C)$

ステップ 12.1.9.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.9.3.1

簡約します。

$f (x, y) = \frac{1}{y} \ln (| x |) + C$

ステップ 12.1.9.3.2

$\frac{1}{y}$ と $\ln (| x |)$ をまとめます。

$f (x, y) = \frac{\ln (| x |)}{y} + C$

ステップ 12.1.10

$g (y)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (y)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = \frac{\ln (| x |)}{y} + g (y)$

ステップ 12.1.11

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

ステップ 12.1.12

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.12.1

$\frac{d}{d y} \cdot (\frac{\ln (| x |)}{y} + g (y))$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.12.1.1

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.12.1.1.1

$d$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.12.1.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{d}{d y} \cdot (\frac{\ln (| x |)}{y} + g (y)) = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

ステップ 12.1.12.1.1.1.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{y} \cdot (\frac{\ln (| x |)}{y} + g (y)) = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

ステップ 12.1.12.1.1.2

$\frac{1}{y}$ に $\frac{\ln (| x |)}{y} + g y$ をかけます。

$\frac{\frac{\ln (| x |)}{y} + g y}{y} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

ステップ 12.1.12.1.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.12.1.2.1

$g y$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{y}{y}$ を掛けます。

$\frac{\frac{\ln (| x |)}{y} + \frac{g y \cdot y}{y}}{y} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

ステップ 12.1.12.1.2.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{\ln (| x |) + g y \cdot y}{y}}{y} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

ステップ 12.1.12.1.2.3

指数を足して $y$ に $y$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.12.1.2.3.1

$y$ を移動させます。

$\frac{\frac{\ln (| x |) + g (y \cdot y)}{y}}{y} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

ステップ 12.1.12.1.2.3.2

$y$ に $y$ をかけます。

$\frac{\frac{\ln (| x |) + g y^{2}}{y}}{y} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

ステップ 12.1.12.1.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{\ln (| x |) + g y^{2}}{y} \cdot \frac{1}{y} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

ステップ 12.1.12.1.4

$\frac{\ln (| x |) + g y^{2}}{y} \cdot \frac{1}{y}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.12.1.4.1

$\frac{\ln (| x |) + g y^{2}}{y}$ に $\frac{1}{y}$ をかけます。

$\frac{\ln (| x |) + g y^{2}}{y \cdot y} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

ステップ 12.1.12.1.4.2

$y$ を $1$ 乗します。

$\frac{\ln (| x |) + g y^{2}}{y^{1} y} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

ステップ 12.1.12.1.4.3

$y$ を $1$ 乗します。

$\frac{\ln (| x |) + g y^{2}}{y^{1} y^{1}} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

ステップ 12.1.12.1.4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\ln (| x |) + g y^{2}}{y^{1 + 1}} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

ステップ 12.1.12.1.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\ln (| x |) + g y^{2}}{y^{2}} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

ステップ 12.1.13

$\frac{\ln (| x |) + g y^{2}}{y^{2}} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$ の各項に $y^{2}$ を掛け、分数を消去します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.13.1

$\frac{\ln (| x |) + g y^{2}}{y^{2}} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$ の各項に $y^{2}$ を掛けます。

$\frac{\ln (| x |) + g y^{2}}{y^{2}} y^{2} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}} y^{2}$

ステップ 12.1.13.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.13.2.1

$y^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.13.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{\ln (| x |) + g y^{2}}{y^{2}} y^{2} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}} y^{2}$

ステップ 12.1.13.2.1.2

式を書き換えます。

$\ln (| x |) + g y^{2} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}} y^{2}$

ステップ 12.1.13.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.13.3.1

$y^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.13.3.1.1

共通因数を約分します。

$\ln (| x |) + g y^{2} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}} y^{2}$

ステップ 12.1.13.3.1.2

式を書き換えます。

$\ln (| x |) + g y^{2} = y^{3} - \ln (x)$

ステップ 12.1.14

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$\ln (| x |) + \ln (x) = - g y^{2} + y^{3}$

ステップ 12.1.15

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$\ln (| x | x) = - g y^{2} + y^{3}$

ステップ 12.1.16

$\ln (| x | x)$ の因数を並べ替えます。

$\ln (x | x |) = - g y^{2} + y^{3}$

ステップ 13

$- g y^{2} + y^{3}$ の不定積分を求めて $g (y)$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

$\ln (x | x |) = - g y^{2} + y^{3}$ の両辺を積分します。

$\int \ln (x | x |) d y = \int - g y^{2} + y^{3} d y$

ステップ 13.2

書き換えます。

$0 + 0 + g (y) = \int - g y^{2} + y^{3} d y$

ステップ 13.3

$0$ と $0$ をたし算します。

$0 + g (y) = \int - g y^{2} + y^{3} d y$

ステップ 13.4

$\int \ln (x | x |) d y$ の値を求めます。

$g (y) = \int - g y^{2} + y^{3} d y$

ステップ 13.5

単一積分を複数積分に分割します。

$g (y) = \int - g y^{2} d y + \int y^{3} d y$

ステップ 13.6

$- g$ は $y$ に対して定数なので、 $- g$ を積分の外に移動させます。

$g (y) = - g \int y^{2} d y + \int y^{3} d y$

ステップ 13.7

べき乗則では、 $y^{2}$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{3} y^{3}$ です。

$g (y) = - g (\frac{1}{3} y^{3} + C) + \int y^{3} d y$

ステップ 13.8

べき乗則では、 $y^{3}$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{4} y^{4}$ です。

$g (y) = - g (\frac{1}{3} y^{3} + C) + \frac{1}{4} y^{4} + C$

ステップ 13.9

$\frac{1}{3}$ と $y^{3}$ をまとめます。

$g (y) = - g (\frac{y^{3}}{3} + C) + \frac{1}{4} y^{4} + C$

ステップ 13.10

簡約します。

$g (y) = - \frac{y^{3} g}{3} + \frac{1}{4} y^{4} + C$

ステップ 13.11

簡約します。

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ステップ 13.11.1

項を並べ替えます。

$g (y) = - (\frac{1}{3} y^{3} g) + \frac{1}{4} y^{4} + C$

ステップ 13.11.2

括弧を削除します。

$g (y) = - (\frac{1}{3} y^{3}) g + \frac{1}{4} y^{4} + C$

ステップ 13.11.3

括弧を削除します。

$g (y) = - \frac{1}{3} y^{3} g + \frac{1}{4} y^{4} + C$

ステップ 14

$f (x, y) = \frac{\ln (| x |)}{y} + g (y)$ の $g (y)$ に代入します。

$f (x, y) = \frac{\ln (| x |)}{y} - \frac{1}{3} y^{3} g + \frac{1}{4} y^{4} + C$

ステップ 15

各項を簡約します。

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ステップ 15.1

$y^{3}$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$f (x, y) = \frac{\ln (| x |)}{y} - \frac{y^{3}}{3} g + \frac{1}{4} y^{4} + C$

ステップ 15.2

$g$ と $\frac{y^{3}}{3}$ をまとめます。

$f (x, y) = \frac{\ln (| x |)}{y} - \frac{g y^{3}}{3} + \frac{1}{4} y^{4} + C$

ステップ 15.3

$\frac{1}{4}$ と $y^{4}$ をまとめます。

$f (x, y) = \frac{\ln (| x |)}{y} - \frac{g y^{3}}{3} + \frac{y^{4}}{4} + C$

微分積分 例

微分積分例