微分積分例

$(y - x y) d x + x d y = 0$

ステップ 1

$M (x, y) = y - x y$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y - x y]$

ステップ 1.2

微分します。

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ステップ 1.2.1

総和則では、 $y - x y$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x y]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x y]$

ステップ 1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + \frac{d}{d y} [- x y]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d y} [- x y]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.1

$- x$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $- x y$ の微分係数は $- x \frac{d}{d y} [y]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 - x \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 - x \cdot 1$

ステップ 1.3.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 - x$

ステップ 1.4

項を並べ替えます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - x + 1$

ステップ 2

$N (x, y) = x$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

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ステップ 2.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

ステップ 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

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ステップ 3.1

$- x + 1$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $1$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$- x + 1 = 1$

ステップ 3.2

方程式の左辺が右辺に等しくないので、方程式は恒等式ではありません。

$- x + 1 = 1$ は恒等式ではありません。

ステップ 4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ を求めます。

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ステップ 4.1

$- x + 1$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に代入します。

$\frac{- x + 1 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

ステップ 4.2

$1$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$\frac{- x + 1 - 1}{N}$

ステップ 4.3

$x$ を $N$ に代入します。

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ステップ 4.3.1

$x$ を $N$ に代入します。

$\frac{- x + 1 - 1}{x}$

ステップ 4.3.2

分子を簡約します。

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ステップ 4.3.2.1

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{- x + 0}{x}$

ステップ 4.3.2.2

$- x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{- x}{x}$

ステップ 4.3.3

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{- x}{x}$

ステップ 4.3.3.2

$- 1$ を $1$ で割ります。

$- 1$

ステップ 4.4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ を求めます。

$μ (x, y) = e^{\int - 1 d x}$

ステップ 5

積分 $e^{\int - 1 d x}$ を求めます。

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ステップ 5.1

定数の法則を当てはめます。

$μ (x, y) = e^{- x + C}$

ステップ 5.2

簡約します。

$μ (x, y) = e^{- x} + C$

ステップ 6

$(y - x y) d x + x d y = 0$ の両辺に積分因子 $e^{- x}$ を掛けます。

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ステップ 6.1

$y - x y$ に $e^{- x}$ をかけます。

$(y - x y) e^{- x} d x + x d y = 0$

ステップ 6.2

分配則を当てはめます。

$(y e^{- x} - x y e^{- x}) d x + x d y = 0$

ステップ 6.3

$x$ に $e^{- x}$ をかけます。

$(y e^{- x} - x y e^{- x}) d x + x e^{- x} d y = 0$

ステップ 7

$f (x, y)$ は $N (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int x e^{- x} d y$

ステップ 8

$N (x, y) = x e^{- x}$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

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ステップ 8.1

定数の法則を当てはめます。

$f (x, y) = x e^{- x} y + C$

ステップ 9

$g (x)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (x)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = x e^{- x} y + g (x)$

ステップ 10

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial x} = y e^{- x} - x y e^{- x}$

ステップ 11

$\frac{\partial f}{\partial x}$ を求めます。

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ステップ 11.1

$x$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x e^{- x} y + g (x)] = y e^{- x} - x y e^{- x}$

ステップ 11.2

総和則では、 $x e^{- x} y + g (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x e^{- x} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [x e^{- x} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{- x} - x y e^{- x}$

ステップ 11.3

$\frac{d}{d x} [x e^{- x} y]$ の値を求めます。

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ステップ 11.3.1

$y$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $x e^{- x} y$ の微分係数は $y \frac{d}{d x} [x e^{- x}]$ です。

$y \frac{d}{d x} [x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{- x} - x y e^{- x}$

ステップ 11.3.2

$f (x) = x$ および $g (x) = e^{- x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$y (x \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{- x} - x y e^{- x}$

ステップ 11.3.3

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 11.3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- x$ とします。

$y (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{- x} - x y e^{- x}$

ステップ 11.3.3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$y (x (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{- x} - x y e^{- x}$

ステップ 11.3.3.3

$u$ のすべての発生を $- x$ で置き換えます。

$y (x (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{- x} - x y e^{- x}$

ステップ 11.3.4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$y (x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{- x} - x y e^{- x}$

ステップ 11.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$y (x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{- x} - x y e^{- x}$

ステップ 11.3.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$y (x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{- x} - x y e^{- x}$

ステップ 11.3.7

$- 1$ に $1$ をかけます。

$y (x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{- x} - x y e^{- x}$

ステップ 11.3.8

$- 1$ を $e^{- x}$ の左に移動させます。

$y (x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{- x} - x y e^{- x}$

ステップ 11.3.9

$- 1 e^{- x}$ を $- e^{- x}$ に書き換えます。

$y (x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{- x} - x y e^{- x}$

ステップ 11.3.10

$e^{- x}$ に $1$ をかけます。

$y (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{- x} - x y e^{- x}$

ステップ 11.4

$g (x)$ の微分係数は $\frac{d g}{d x}$ であるという関数の規則を使って微分します。

$y (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + \frac{d g}{d x} = y e^{- x} - x y e^{- x}$

ステップ 11.5

簡約します。

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ステップ 11.5.1

分配則を当てはめます。

$y (x (- e^{- x})) + y e^{- x} + \frac{d g}{d x} = y e^{- x} - x y e^{- x}$

ステップ 11.5.2

項を並べ替えます。

$\frac{d g}{d x} - e^{- x} x y + e^{- x} y = y e^{- x} - x y e^{- x}$

ステップ 11.5.3

$\frac{d g}{d x} - e^{- x} x y + e^{- x} y$ の因数を並べ替えます。

$\frac{d g}{d x} - x y e^{- x} + y e^{- x} = y e^{- x} - x y e^{- x}$

ステップ 12

$\frac{d g}{d x}$ について解きます。

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ステップ 12.1

$\frac{d g}{d x}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 12.1.1

方程式の両辺に $x y e^{- x}$ を足します。

$\frac{d g}{d x} + y e^{- x} = y e^{- x} - x y e^{- x} + x y e^{- x}$

ステップ 12.1.2

方程式の両辺から $y e^{- x}$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} = y e^{- x} - x y e^{- x} + x y e^{- x} - y e^{- x}$

ステップ 12.1.3

$y e^{- x} - x y e^{- x} + x y e^{- x} - y e^{- x}$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.3.1

$- x y e^{- x}$ と $x y e^{- x}$ をたし算します。

$\frac{d g}{d x} = y e^{- x} + 0 - y e^{- x}$

ステップ 12.1.3.2

$y e^{- x}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d g}{d x} = y e^{- x} - y e^{- x}$

ステップ 12.1.3.3

$y e^{- x}$ から $y e^{- x}$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} = 0$

ステップ 13

$0$ の不定積分を求めて $g (x)$ を求めます。

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ステップ 13.1

$\frac{d g}{d x} = 0$ の両辺を積分します。

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

ステップ 13.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ の値を求めます。

$g (x) = \int 0 d x$

ステップ 13.3

$0$ の $x$ に関する積分は $0$ です。

$g (x) = 0 + C$

ステップ 13.4

$0$ と $C$ をたし算します。

$g (x) = C$

ステップ 14

$f (x, y) = x e^{- x} y + g (x)$ の $g (x)$ に代入します。

$f (x, y) = x e^{- x} y + C$

ステップ 15

$f (x, y) = x e^{- x} y + C$ の因数を並べ替えます。

$f (x, y) = x y e^{- x} + C$

微分積分 例

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