微分積分例

$x^{2} + 5 y \frac{d y}{d x} = 0$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

$\frac{d y}{d x}$ について解きます。

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ステップ 1.1.1

方程式の両辺から $x^{2}$ を引きます。

$5 y \frac{d y}{d x} = - x^{2}$

ステップ 1.1.2

$5 y \frac{d y}{d x} = - x^{2}$ の各項を $5 y$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.1.2.1

$5 y \frac{d y}{d x} = - x^{2}$ の各項を $5 y$ で割ります。

$\frac{5 y \frac{d y}{d x}}{5 y} = \frac{- x^{2}}{5 y}$

ステップ 1.1.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.1.2.2.1

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{5 y \frac{d y}{d x}}{5 y} = \frac{- x^{2}}{5 y}$

ステップ 1.1.2.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{- x^{2}}{5 y}$

ステップ 1.1.2.2.2

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{- x^{2}}{5 y}$

ステップ 1.1.2.2.2.2

$\frac{d y}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x^{2}}{5 y}$

ステップ 1.1.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.1.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{5 y}$

ステップ 1.2

両辺に $y$ を掛けます。

$y \frac{d y}{d x} = y (- \frac{x^{2}}{5 y})$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$y \frac{d y}{d x} = - y \frac{x^{2}}{5 y}$

ステップ 1.3.2

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.2.1

$y$ を $- y$ で因数分解します。

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{x^{2}}{5 y}$

ステップ 1.3.2.2

$y$ を $5 y$ で因数分解します。

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{x^{2}}{y \cdot 5}$

ステップ 1.3.2.3

共通因数を約分します。

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{x^{2}}{y \cdot 5}$

ステップ 1.3.2.4

式を書き換えます。

$y \frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{5}$

ステップ 1.4

方程式を書き換えます。

$y d y = - \frac{x^{2}}{5} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int y d y = \int - \frac{x^{2}}{5} d x$

ステップ 2.2

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - \frac{x^{2}}{5} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int \frac{x^{2}}{5} d x$

ステップ 2.3.2

$\frac{1}{5}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{5}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{1}{5} \int x^{2} d x)$

ステップ 2.3.3

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{5} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$

ステップ 2.3.4

答えを簡約します。

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ステップ 2.3.4.1

$- \frac{1}{5} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$ を $- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$

ステップ 2.3.4.2

簡約します。

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ステップ 2.3.4.2.1

$\frac{1}{3}$ に $\frac{1}{5}$ をかけます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{3 \cdot 5} x^{3} + C_{2}$

ステップ 2.3.4.2.2

$3$ に $5$ をかけます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{15} x^{3} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{1}{15} x^{3} + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺に $2$ を掛けます。

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- \frac{1}{15} x^{3} + K)$

ステップ 3.2

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

$2 (\frac{1}{2} y^{2})$ を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ と $y^{2}$ をまとめます。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{15} x^{3} + K)$

ステップ 3.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{15} x^{3} + K)$

ステップ 3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$y^{2} = 2 (- \frac{1}{15} x^{3} + K)$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$2 (- \frac{1}{15} x^{3} + K)$ を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1.1

$x^{3}$ と $\frac{1}{15}$ をまとめます。

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{3}}{15} + K)$

ステップ 3.2.2.1.2

分配則を当てはめます。

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{3}}{15}) + 2 K$

ステップ 3.2.2.1.3

$2 (- \frac{x^{3}}{15})$ を掛けます。

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ステップ 3.2.2.1.3.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$y^{2} = - 2 \frac{x^{3}}{15} + 2 K$

ステップ 3.2.2.1.3.2

$- 2$ と $\frac{x^{3}}{15}$ をまとめます。

$y^{2} = \frac{- 2 x^{3}}{15} + 2 K$

ステップ 3.2.2.1.4

分数の前に負数を移動させます。

$y^{2} = - \frac{2 x^{3}}{15} + 2 K$

ステップ 3.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \pm \sqrt{- \frac{2 x^{3}}{15} + 2 K}$

ステップ 3.4

$\pm \sqrt{- \frac{2 x^{3}}{15} + 2 K}$ を簡約します。

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ステップ 3.4.1

$2$ を $- \frac{2 x^{3}}{15} + 2 K$ で因数分解します。

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ステップ 3.4.1.1

$2$ を $- \frac{2 x^{3}}{15}$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{2 (- \frac{x^{3}}{15}) + 2 K}$

ステップ 3.4.1.2

$2$ を $2 K$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{2 (- \frac{x^{3}}{15}) + 2 K}$

ステップ 3.4.1.3

$2$ を $2 (- \frac{x^{3}}{15}) + 2 K$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{2 (- \frac{x^{3}}{15} + K)}$

ステップ 3.4.2

$K$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{15}{15}$ を掛けます。

$y = \pm \sqrt{2 (- \frac{x^{3}}{15} + K \cdot \frac{15}{15})}$

ステップ 3.4.3

項を簡約します。

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ステップ 3.4.3.1

$K$ と $\frac{15}{15}$ をまとめます。

$y = \pm \sqrt{2 (- \frac{x^{3}}{15} + \frac{K \cdot 15}{15})}$

ステップ 3.4.3.2

公分母の分子をまとめます。

$y = \pm \sqrt{2 \frac{- x^{3} + K \cdot 15}{15}}$

ステップ 3.4.4

$15$ を $K$ の左に移動させます。

$y = \pm \sqrt{2 \frac{- x^{3} + 15 K}{15}}$

ステップ 3.4.5

$2$ と $\frac{- x^{3} + 15 K}{15}$ をまとめます。

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (- x^{3} + 15 K)}{15}}$

ステップ 3.4.6

$\sqrt{\frac{2 (- x^{3} + 15 K)}{15}}$ を $\frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 15 K)}}{\sqrt{15}}$ に書き換えます。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 15 K)}}{\sqrt{15}}$

ステップ 3.4.7

$\frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 15 K)}}{\sqrt{15}}$ に $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ をかけます。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 15 K)}}{\sqrt{15}} \cdot \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$

ステップ 3.4.8

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 3.4.8.1

$\frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 15 K)}}{\sqrt{15}}$ に $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ をかけます。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 15 K)} \sqrt{15}}{\sqrt{15} \sqrt{15}}$

ステップ 3.4.8.2

$\sqrt{15}$ を $1$ 乗します。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 15 K)} \sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{1} \sqrt{15}}$

ステップ 3.4.8.3

$\sqrt{15}$ を $1$ 乗します。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 15 K)} \sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{1} {\sqrt{15}}^{1}}$

ステップ 3.4.8.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 15 K)} \sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{1 + 1}}$

ステップ 3.4.8.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 15 K)} \sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{2}}$

ステップ 3.4.8.6

${\sqrt{15}}^{2}$ を $15$ に書き換えます。

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ステップ 3.4.8.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{15}$ を $15^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 15 K)} \sqrt{15}}{{(15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 3.4.8.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 15 K)} \sqrt{15}}{15^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 3.4.8.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 15 K)} \sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 3.4.8.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.8.6.4.1

共通因数を約分します。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 15 K)} \sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 3.4.8.6.4.2

式を書き換えます。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 15 K)} \sqrt{15}}{15^{1}}$

ステップ 3.4.8.6.5

指数を求めます。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 15 K)} \sqrt{15}}{15}$

ステップ 3.4.9

分子を簡約します。

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ステップ 3.4.9.1

根の積の法則を使ってまとめます。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 15 K) \cdot 15}}{15}$

ステップ 3.4.9.2

$15$ に $2$ をかけます。

$y = \pm \frac{\sqrt{30 (- x^{3} + 15 K)}}{15}$

ステップ 3.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 3.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = \frac{\sqrt{30 (- x^{3} + 15 K)}}{15}$

ステップ 3.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - \frac{\sqrt{30 (- x^{3} + 15 K)}}{15}$

ステップ 3.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = \frac{\sqrt{30 (- x^{3} + 15 K)}}{15}$

$y = - \frac{\sqrt{30 (- x^{3} + 15 K)}}{15}$

$y = \frac{\sqrt{30 (- x^{3} + 15 K)}}{15}$

$y = - \frac{\sqrt{30 (- x^{3} + 15 K)}}{15}$

$y = \frac{\sqrt{30 (- x^{3} + 15 K)}}{15}$

$y = - \frac{\sqrt{30 (- x^{3} + 15 K)}}{15}$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = \frac{\sqrt{30 (- x^{3} + K)}}{15}$

$y = - \frac{\sqrt{30 (- x^{3} + K)}}{15}$

微分積分 例

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