微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \sec (y) \tan (x)$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

両辺に $\frac{1}{\sec (y)}$ を掛けます。

$\frac{1}{\sec (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sec (y)} (\sec (y) \tan (x))$

ステップ 1.2

$\sec (y)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.1

$\sec (y)$ を $\sec (y) \tan (x)$ で因数分解します。

$\frac{1}{\sec (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sec (y)} (\sec (y) (\tan (x)))$

ステップ 1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{\sec (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sec (y)} (\sec (y) \tan (x))$

ステップ 1.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{\sec (y)} \frac{d y}{d x} = \tan (x)$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{\sec (y)} d y = \tan (x) d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{\sec (y)} d y = \int \tan (x) d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

正弦と余弦に関して $\sec (y)$ を書き換えます。

$\int \frac{1}{\frac{1}{\cos (y)}} d y = \int \tan (x) d x$

ステップ 2.2.1.2

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{\cos (y)}$ で割ります。

$\int 1 \cos (y) d y = \int \tan (x) d x$

ステップ 2.2.1.3

$\cos (y)$ に $1$ をかけます。

$\int \cos (y) d y = \int \tan (x) d x$

ステップ 2.2.2

$\cos (y)$ の $y$ に関する積分は $\sin (y)$ です。

$\sin (y) + C_{1} = \int \tan (x) d x$

ステップ 2.3

$\tan (x)$ の $x$ に関する積分は $\ln (| \sec (x) |)$ です。

$\sin (y) + C_{1} = \ln (| \sec (x) |) + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\sin (y) = \ln (| \sec (x) |) + C$

ステップ 3

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $y$ を取り出します。

$y = \arcsin (\ln (| \sec (x) |) + C)$

微分積分 例

微分積分例