微分積分例

$x y \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{y + 1}$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

$x y \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{y + 1}$ の各項を $x y$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.1.1

$x y \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{y + 1}$ の各項を $x y$ で割ります。

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{\frac{x^{2} + 1}{y + 1}}{x y}$

ステップ 1.1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.1.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{\frac{x^{2} + 1}{y + 1}}{x y}$

ステップ 1.1.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{\frac{x^{2} + 1}{y + 1}}{x y}$

ステップ 1.1.2.2

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{\frac{x^{2} + 1}{y + 1}}{x y}$

ステップ 1.1.2.2.2

$\frac{d y}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{x^{2} + 1}{y + 1}}{x y}$

ステップ 1.1.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.1.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{y + 1} \cdot \frac{1}{x y}$

ステップ 1.1.3.2

$\frac{x^{2} + 1}{y + 1}$ に $\frac{1}{x y}$ をかけます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{(y + 1) (x y)}$

ステップ 1.1.3.3

$\frac{x^{2} + 1}{(y + 1) x y}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{x y (y + 1)}$

ステップ 1.2

因数をもう一度まとめます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{x} \cdot \frac{1}{y (y + 1)}$

ステップ 1.3

両辺に $y (y + 1)$ を掛けます。

$y (y + 1) \frac{d y}{d x} = y (y + 1) (\frac{x^{2} + 1}{x} \cdot \frac{1}{y (y + 1)})$

ステップ 1.4

簡約します。

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ステップ 1.4.1

分配則を当てはめます。

$y (y + 1) \frac{d y}{d x} = (y \cdot y + y \cdot 1) (\frac{x^{2} + 1}{x} \cdot \frac{1}{y (y + 1)})$

ステップ 1.4.2

$y$ に $y$ をかけます。

$y (y + 1) \frac{d y}{d x} = (y^{2} + y \cdot 1) (\frac{x^{2} + 1}{x} \cdot \frac{1}{y (y + 1)})$

ステップ 1.4.3

$y$ に $1$ をかけます。

$y (y + 1) \frac{d y}{d x} = (y^{2} + y) (\frac{x^{2} + 1}{x} \cdot \frac{1}{y (y + 1)})$

ステップ 1.4.4

$\frac{x^{2} + 1}{x}$ に $\frac{1}{y (y + 1)}$ をかけます。

$y (y + 1) \frac{d y}{d x} = (y^{2} + y) \frac{x^{2} + 1}{x (y (y + 1))}$

ステップ 1.4.5

$y^{2} + y$ に $\frac{x^{2} + 1}{x y (y + 1)}$ をかけます。

$y (y + 1) \frac{d y}{d x} = \frac{(y^{2} + y) (x^{2} + 1)}{x y (y + 1)}$

ステップ 1.4.6

$y$ を $y^{2} + y$ で因数分解します。

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ステップ 1.4.6.1

$y$ を $y^{2}$ で因数分解します。

$y (y + 1) \frac{d y}{d x} = \frac{(y \cdot y + y) (x^{2} + 1)}{x y (y + 1)}$

ステップ 1.4.6.2

$y$ を $1$ 乗します。

$y (y + 1) \frac{d y}{d x} = \frac{(y \cdot y + y^{1}) (x^{2} + 1)}{x y (y + 1)}$

ステップ 1.4.6.3

$y$ を $y^{1}$ で因数分解します。

$y (y + 1) \frac{d y}{d x} = \frac{(y \cdot y + y \cdot 1) (x^{2} + 1)}{x y (y + 1)}$

ステップ 1.4.6.4

$y$ を $y \cdot y + y \cdot 1$ で因数分解します。

$y (y + 1) \frac{d y}{d x} = \frac{y (y + 1) (x^{2} + 1)}{x y (y + 1)}$

ステップ 1.4.7

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.7.1

共通因数を約分します。

$y (y + 1) \frac{d y}{d x} = \frac{y (y + 1) (x^{2} + 1)}{x y (y + 1)}$

ステップ 1.4.7.2

式を書き換えます。

$y (y + 1) \frac{d y}{d x} = \frac{(y + 1) (x^{2} + 1)}{x (y + 1)}$

ステップ 1.4.8

$y + 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.8.1

共通因数を約分します。

$y (y + 1) \frac{d y}{d x} = \frac{(y + 1) (x^{2} + 1)}{x (y + 1)}$

ステップ 1.4.8.2

式を書き換えます。

$y (y + 1) \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{x}$

ステップ 1.5

方程式を書き換えます。

$y (y + 1) d y = \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int y (y + 1) d y = \int \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

$y (y + 1)$ を掛けます。

$\int y \cdot y + y \cdot 1 d y = \int \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

ステップ 2.2.2

簡約します。

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ステップ 2.2.2.1

$y$ を $1$ 乗します。

$\int y^{1} y + y \cdot 1 d y = \int \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

ステップ 2.2.2.2

$y$ を $1$ 乗します。

$\int y^{1} y^{1} + y \cdot 1 d y = \int \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

ステップ 2.2.2.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int y^{1 + 1} + y \cdot 1 d y = \int \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

ステップ 2.2.2.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\int y^{2} + y \cdot 1 d y = \int \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

ステップ 2.2.2.5

$y$ に $1$ をかけます。

$\int y^{2} + y d y = \int \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

ステップ 2.2.3

単一積分を複数積分に分割します。

$\int y^{2} d y + \int y d y = \int \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

ステップ 2.2.4

べき乗則では、 $y^{2}$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{3} y^{3}$ です。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} + \int y d y = \int \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

ステップ 2.2.5

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{2} = \int \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

ステップ 2.2.6

簡約します。

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

分数を複数の分数に分割します。

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int \frac{x^{2}}{x} + \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.3.2

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int \frac{x^{2}}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.3.3

$x^{2}$ と $x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.3.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int \frac{x \cdot x}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.3.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.3.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int \frac{x \cdot x}{x^{1}} d x + \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.3.3.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x + \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.3.3.2.3

共通因数を約分します。

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x + \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.3.3.2.4

式を書き換えます。

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int \frac{x}{1} d x + \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.3.3.2.5

$x$ を $1$ で割ります。

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int x d x + \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.3.4

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} + \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.3.5

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} + \ln (| x |) + C_{5}$

ステップ 2.3.6

簡約します。

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C_{6}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C$

微分積分 例

微分積分例