微分積分例

$3 x y d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

ステップ 1

$M (x, y) = 3 x y$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x y]$

ステップ 1.2

$3 x$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $3 x y$ の微分係数は $3 x \frac{d}{d y} [y]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x \cdot 1$

ステップ 1.4

$3$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x$

ステップ 2

$N (x, y) = x^{2} + y^{2}$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

ステップ 2.2

総和則では、 $x^{2} + y^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

ステップ 2.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

ステップ 2.4

$y^{2}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $y^{2}$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 0$

ステップ 2.5

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x$

ステップ 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$3 x$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $2 x$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$3 x = 2 x$

ステップ 3.2

方程式の左辺が右辺に等しくないので、方程式は恒等式ではありません。

$3 x = 2 x$ は恒等式ではありません。

ステップ 4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$2 x$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$\frac{2 x - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

ステップ 4.2

$3 x$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に代入します。

$\frac{2 x - (3 x)}{M}$

ステップ 4.3

$3 x y$ を $M$ に代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$3 x y$ を $M$ に代入します。

$\frac{2 x - (3 x)}{3 x y}$

ステップ 4.3.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

$x$ を $2 x - 1 \cdot 3 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.1

$x$ を $2 x$ で因数分解します。

$\frac{x \cdot 2 - 1 \cdot 3 x}{3 x y}$

ステップ 4.3.2.1.2

$x$ を $- 1 \cdot 3 x$ で因数分解します。

$\frac{x \cdot 2 + x (- 1 \cdot 3)}{3 x y}$

ステップ 4.3.2.1.3

$x$ を $x \cdot 2 + x (- 1 \cdot 3)$ で因数分解します。

$\frac{x (2 - 1 \cdot 3)}{3 x y}$

ステップ 4.3.2.2

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{x (2 - 3)}{3 x y}$

ステップ 4.3.2.3

$2$ から $3$ を引きます。

$\frac{x \cdot - 1}{3 x y}$

ステップ 4.3.3

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{x \cdot - 1}{3 x y}$

ステップ 4.3.3.2

式を書き換えます。

$\frac{- 1}{3 y}$

ステップ 4.3.4

$3 x y$ を $M$ に代入します。

$- \frac{1}{3 y}$

ステップ 4.4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ を求めます。

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{3 y} d y}$

ステップ 5

積分 $e^{\int - \frac{1}{3 y} d y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{3 y} d y}$

ステップ 5.2

$\frac{1}{3}$ は $y$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$μ (x, y) = e^{- (\frac{1}{3} \int \frac{1}{y} d y)}$

ステップ 5.3

$\frac{1}{y}$ の $y$ に関する積分は $\ln (| y |)$ です。

$μ (x, y) = e^{- \frac{1}{3} (\ln (| y |) + C)}$

ステップ 5.4

簡約します。

$μ (x, y) = e^{- \frac{1}{3} \ln (| y |)} + C$

ステップ 5.5

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1

$- \frac{1}{3} \ln (| y |)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1.1

$\ln (| y |)$ と $\frac{1}{3}$ を並べ替えます。

$μ (x, y) = e^{- (\frac{1}{3} \ln (| y |))} + C$

ステップ 5.5.1.2

対数の中の $\frac{1}{3}$ を移動させて $\frac{1}{3} \ln (| y |)$ を簡約します。

$μ (x, y) = e^{- \ln ({| y |}^{\frac{1}{3}})} + C$

ステップ 5.5.2

対数の中の $- 1$ を移動させて $- \ln ({| y |}^{\frac{1}{3}})$ を簡約します。

$μ (x, y) = e^{\ln ({({| y |}^{\frac{1}{3}})}^{- 1})} + C$

ステップ 5.5.3

指数関数と対数関数は逆関数です。

$μ (x, y) = {({| y |}^{\frac{1}{3}})}^{- 1} + C$

ステップ 5.5.4

${({| y |}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.4.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$μ (x, y) = {| y |}^{\frac{1}{3} \cdot - 1} + C$

ステップ 5.5.4.2

$\frac{1}{3}$ と $- 1$ をまとめます。

$μ (x, y) = {| y |}^{\frac{- 1}{3}} + C$

ステップ 5.5.4.3

分数の前に負数を移動させます。

$μ (x, y) = {| y |}^{- \frac{1}{3}} + C$

ステップ 5.5.5

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$μ (x, y) = \frac{1}{{| y |}^{\frac{1}{3}}} + C$

ステップ 6

$3 x y d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$ の両辺に積分因子 $\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$3 x y$ に $\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}}$ をかけます。

$3 x y \frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

ステップ 6.2

$3 x y \frac{1}{y^{\frac{1}{3}}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

$3$ と $\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}}$ をまとめます。

$x y \frac{3}{y^{\frac{1}{3}}} d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

ステップ 6.2.2

$x$ と $\frac{3}{y^{\frac{1}{3}}}$ をまとめます。

$y \frac{x \cdot 3}{y^{\frac{1}{3}}} d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

ステップ 6.2.3

$y$ と $\frac{x \cdot 3}{y^{\frac{1}{3}}}$ をまとめます。

$\frac{y (x \cdot 3)}{y^{\frac{1}{3}}} d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

ステップ 6.3

負の指数法則 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ を利用して $y^{\frac{1}{3}}$ を分子に移動させます。

$y (x \cdot 3) y^{- \frac{1}{3}} d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

ステップ 6.4

指数を足して $y$ に $y^{- \frac{1}{3}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1

$y^{- \frac{1}{3}}$ を移動させます。

$y^{- \frac{1}{3}} y (x \cdot 3) d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

ステップ 6.4.2

$y^{- \frac{1}{3}}$ に $y$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.2.1

$y$ を $1$ 乗します。

$y^{- \frac{1}{3}} y^{1} (x \cdot 3) d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

ステップ 6.4.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y^{- \frac{1}{3} + 1} (x \cdot 3) d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

ステップ 6.4.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$y^{- \frac{1}{3} + \frac{3}{3}} (x \cdot 3) d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

ステップ 6.4.4

公分母の分子をまとめます。

$y^{\frac{- 1 + 3}{3}} (x \cdot 3) d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

ステップ 6.4.5

$- 1$ と $3$ をたし算します。

$y^{\frac{2}{3}} (x \cdot 3) d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

ステップ 6.5

積の可換性を利用して書き換えます。

$3 y^{\frac{2}{3}} x d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

ステップ 6.6

$3 y^{\frac{2}{3}} x$ の因数を並べ替えます。

$3 x y^{\frac{2}{3}} d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

ステップ 6.7

$x^{2} + y^{2}$ に $\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}}$ をかけます。

$3 x y^{\frac{2}{3}} d x + (x^{2} + y^{2}) \frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} d y = 0$

ステップ 6.8

$x^{2} + y^{2}$ に $\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}}$ をかけます。

$3 x y^{\frac{2}{3}} d x + \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{\frac{1}{3}}} d y = 0$

ステップ 7

$f (x, y)$ は $M (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int 3 x y^{\frac{2}{3}} d x$

ステップ 8

$M (x, y) = 3 x y^{\frac{2}{3}}$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$3 y^{\frac{2}{3}}$ は $x$ に対して定数なので、 $3 y^{\frac{2}{3}}$ を積分の外に移動させます。

$f (x, y) = 3 y^{\frac{2}{3}} \int x d x$

ステップ 8.2

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$f (x, y) = 3 y^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

ステップ 8.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1

$3 y^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ を $3 y^{\frac{2}{3}} \frac{1}{2} x^{2} + C$ に書き換えます。

$f (x, y) = 3 y^{\frac{2}{3}} \frac{1}{2} x^{2} + C$

ステップ 8.3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.2.1

$3$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$f (x, y) = y^{\frac{2}{3}} \frac{3}{2} x^{2} + C$

ステップ 8.3.2.2

$y^{\frac{2}{3}}$ と $\frac{3}{2}$ をまとめます。

$f (x, y) = \frac{y^{\frac{2}{3}} \cdot 3}{2} x^{2} + C$

ステップ 8.3.2.3

$3$ を $y^{\frac{2}{3}}$ の左に移動させます。

$f (x, y) = \frac{3 \cdot y^{\frac{2}{3}}}{2} x^{2} + C$

ステップ 8.3.2.4

$3$ に $y^{\frac{2}{3}}$ をかけます。

$f (x, y) = \frac{3 y^{\frac{2}{3}}}{2} x^{2} + C$

ステップ 8.3.2.5

$\frac{3 y^{\frac{2}{3}}}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$f (x, y) = \frac{3 y^{\frac{2}{3}} x^{2}}{2} + C$

ステップ 8.3.3

項を並べ替えます。

$f (x, y) = \frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}} x^{2} + C$

ステップ 9

$g (y)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (y)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = \frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}} x^{2} + g (y)$

ステップ 10

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 11

$\frac{\partial f}{\partial y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

$y$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [\frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}} x^{2} + g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 11.2

総和則では、 $\frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}} x^{2} + g (y)$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [\frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ です。

$\frac{d}{d y} [\frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 11.3

$\frac{d}{d y} [\frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}} x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.1

$\frac{3}{2}$ と $y^{\frac{2}{3}}$ をまとめます。

$\frac{d}{d y} [\frac{3 y^{\frac{2}{3}}}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 11.3.2

$\frac{3 y^{\frac{2}{3}}}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\frac{d}{d y} [\frac{3 y^{\frac{2}{3}} x^{2}}{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 11.3.3

$\frac{3 x^{2}}{2}$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $\frac{3 y^{\frac{2}{3}} x^{2}}{2}$ の微分係数は $\frac{3 x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{\frac{2}{3}}]$ です。

$\frac{3 x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 11.3.4

$n = \frac{2}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{3 x^{2}}{2} (\frac{2}{3} y^{\frac{2}{3} - 1}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 11.3.5

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{3 x^{2}}{2} (\frac{2}{3} y^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 11.3.6

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{3 x^{2}}{2} (\frac{2}{3} y^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 11.3.7

公分母の分子をまとめます。

$\frac{3 x^{2}}{2} (\frac{2}{3} y^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 11.3.8

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.8.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{3 x^{2}}{2} (\frac{2}{3} y^{\frac{2 - 3}{3}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 11.3.8.2

$2$ から $3$ を引きます。

$\frac{3 x^{2}}{2} (\frac{2}{3} y^{\frac{- 1}{3}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 11.3.9

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{3 x^{2}}{2} (\frac{2}{3} y^{- \frac{1}{3}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 11.3.10

$\frac{2}{3}$ と $y^{- \frac{1}{3}}$ をまとめます。

$\frac{3 x^{2}}{2} \cdot \frac{2 y^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 11.3.11

$\frac{3 x^{2}}{2}$ に $\frac{2 y^{- \frac{1}{3}}}{3}$ をかけます。

$\frac{3 x^{2} (2 y^{- \frac{1}{3}})}{2 \cdot 3} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 11.3.12

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{6 x^{2} y^{- \frac{1}{3}}}{2 \cdot 3} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 11.3.13

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{6 x^{2} y^{- \frac{1}{3}}}{6} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 11.3.14

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $y^{- \frac{1}{3}}$ を分母に移動させます。

$\frac{6 x^{2}}{6 y^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 11.3.15

共通因数を約分します。

$\frac{6 x^{2}}{6 y^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 11.3.16

式を書き換えます。

$\frac{x^{2}}{y^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 11.4

$g (y)$ の微分係数は $\frac{d g}{d y}$ であるという関数の規則を使って微分します。

$\frac{x^{2}}{y^{\frac{1}{3}}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 11.5

項を並べ替えます。

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{2}}{y^{\frac{1}{3}}} = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 12

$\frac{d g}{d y}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

$\frac{d g}{d y}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{2}}{y^{\frac{1}{3}}} - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{\frac{1}{3}}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1.1

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1.1.1

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{2} - (x^{2} + y^{2})}{y^{\frac{1}{3}}} = 0$

ステップ 12.1.1.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{2} - x^{2} - y^{2}}{y^{\frac{1}{3}}} = 0$

ステップ 12.1.1.1.3

$x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$\frac{d g}{d y} + \frac{0 - y^{2}}{y^{\frac{1}{3}}} = 0$

ステップ 12.1.1.1.4

$0$ から $y^{2}$ を引きます。

$\frac{d g}{d y} + \frac{- y^{2}}{y^{\frac{1}{3}}} = 0$

ステップ 12.1.1.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1.2.1

負の指数法則 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ を利用して $y^{\frac{1}{3}}$ を分子に移動させます。

$\frac{d g}{d y} - y^{2} y^{- \frac{1}{3}} = 0$

ステップ 12.1.1.2.2

指数を足して $y^{2}$ に $y^{- \frac{1}{3}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1.2.2.1

$y^{- \frac{1}{3}}$ を移動させます。

$\frac{d g}{d y} - (y^{- \frac{1}{3}} y^{2}) = 0$

ステップ 12.1.1.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{d g}{d y} - y^{- \frac{1}{3} + 2} = 0$

ステップ 12.1.1.2.2.3

$2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{d g}{d y} - y^{- \frac{1}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}} = 0$

ステップ 12.1.1.2.2.4

$2$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{d g}{d y} - y^{- \frac{1}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}} = 0$

ステップ 12.1.1.2.2.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d g}{d y} - y^{\frac{- 1 + 2 \cdot 3}{3}} = 0$

ステップ 12.1.1.2.2.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1.2.2.6.1

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{d g}{d y} - y^{\frac{- 1 + 6}{3}} = 0$

ステップ 12.1.1.2.2.6.2

$- 1$ と $6$ をたし算します。

$\frac{d g}{d y} - y^{\frac{5}{3}} = 0$

ステップ 12.1.2

方程式の両辺に $y^{\frac{5}{3}}$ を足します。

$\frac{d g}{d y} = y^{\frac{5}{3}}$

ステップ 13

$y^{\frac{5}{3}}$ の不定積分を求めて $g (y)$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

$\frac{d g}{d y} = y^{\frac{5}{3}}$ の両辺を積分します。

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int y^{\frac{5}{3}} d y$

ステップ 13.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ の値を求めます。

$g (y) = \int y^{\frac{5}{3}} d y$

ステップ 13.3

べき乗則では、 $y^{\frac{5}{3}}$ の $y$ に関する積分は $\frac{3}{8} y^{\frac{8}{3}}$ です。

$g (y) = \frac{3}{8} y^{\frac{8}{3}} + C$

ステップ 14

$f (x, y) = \frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}} x^{2} + g (y)$ の $g (y)$ に代入します。

$f (x, y) = \frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}} x^{2} + \frac{3}{8} y^{\frac{8}{3}} + C$

ステップ 15

$f (x, y) = \frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}} x^{2} + \frac{3}{8} y^{\frac{8}{3}} + C$ を簡約します。

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ステップ 15.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1.1

$\frac{3}{2}$ と $y^{\frac{2}{3}}$ をまとめます。

$f (x, y) = \frac{3 y^{\frac{2}{3}}}{2} x^{2} + \frac{3}{8} y^{\frac{8}{3}} + C$

ステップ 15.1.2

$\frac{3 y^{\frac{2}{3}}}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$f (x, y) = \frac{3 y^{\frac{2}{3}} x^{2}}{2} + \frac{3}{8} y^{\frac{8}{3}} + C$

ステップ 15.1.3

$\frac{3}{8}$ と $y^{\frac{8}{3}}$ をまとめます。

$f (x, y) = \frac{3 y^{\frac{2}{3}} x^{2}}{2} + \frac{3 y^{\frac{8}{3}}}{8} + C$

ステップ 15.2

$f (x, y) = \frac{3 y^{\frac{2}{3}} x^{2}}{2} + \frac{3 y^{\frac{8}{3}}}{8} + C$ の因数を並べ替えます。

$f (x, y) = \frac{3 x^{2} y^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{3 y^{\frac{8}{3}}}{8} + C$

微分積分 例

微分積分例