微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{\ln (x)}{x y}$ , $y (1) = 2$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

因数をもう一度まとめます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{\ln (x)}{x} \cdot \frac{1}{y}$

ステップ 1.2

両辺に $y$ を掛けます。

$y \frac{d y}{d x} = y (\frac{\ln (x)}{x} \cdot \frac{1}{y})$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

$\frac{\ln (x)}{x}$ に $\frac{1}{y}$ をかけます。

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{\ln (x)}{x y}$

ステップ 1.3.2

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.2.1

$y$ を $x y$ で因数分解します。

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{\ln (x)}{y x}$

ステップ 1.3.2.2

共通因数を約分します。

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{\ln (x)}{y x}$

ステップ 1.3.2.3

式を書き換えます。

$y \frac{d y}{d x} = \frac{\ln (x)}{x}$

ステップ 1.4

方程式を書き換えます。

$y d y = \frac{\ln (x)}{x} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int y d y = \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

ステップ 2.2

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$u = \ln (x)$ とします。次に $d u = \frac{1}{x} d x$ すると、 $x d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.3.1.1

$u = \ln (x)$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.3.1.1.1

$\ln (x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

ステップ 2.3.1.1.2

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$\frac{1}{x}$

ステップ 2.3.1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int u d u$

ステップ 2.3.2

べき乗則では、 $u$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{2} u^{2}$ です。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} u^{2} + C_{2}$

ステップ 2.3.3

$u$ のすべての発生を $\ln (x)$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \ln^{2} (x) + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{2} \ln^{2} (x) + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺に $2$ を掛けます。

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{2} \ln^{2} (x) + K)$

ステップ 3.2

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

$2 (\frac{1}{2} y^{2})$ を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ と $y^{2}$ をまとめます。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} \ln^{2} (x) + K)$

ステップ 3.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} \ln^{2} (x) + K)$

ステップ 3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$y^{2} = 2 (\frac{1}{2} \ln^{2} (x) + K)$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$2 (\frac{1}{2} \ln^{2} (x) + K)$ を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1.1

$\frac{1}{2}$ と $\ln^{2} (x)$ をまとめます。

$y^{2} = 2 (\frac{\ln^{2} (x)}{2} + K)$

ステップ 3.2.2.1.2

分配則を当てはめます。

$y^{2} = 2 \frac{\ln^{2} (x)}{2} + 2 K$

ステップ 3.2.2.1.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.1.3.1

共通因数を約分します。

$y^{2} = 2 \frac{\ln^{2} (x)}{2} + 2 K$

ステップ 3.2.2.1.3.2

式を書き換えます。

$y^{2} = \ln^{2} (x) + 2 K$

ステップ 3.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \pm \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 K}$

ステップ 3.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 3.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 K}$

ステップ 3.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 K}$

ステップ 3.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 K}$

$y = - \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 K}$

$y = \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 K}$

$y = - \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 K}$

$y = \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 K}$

$y = - \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 K}$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = \sqrt{\ln^{2} (x) + K}$

$y = - \sqrt{\ln^{2} (x) + K}$

ステップ 5

$y$ が初期条件 $(1, 2)$ で正なので、 $y = \sqrt{\ln^{2} (x) + K}$ だけを考え、 $K$ を求めます。 $1$ を $x$ に、 $2$ を $y$ に代入します。

$2 = \sqrt{\ln^{2} (1) + K}$

ステップ 6

$K$ について解きます。

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ステップ 6.1

方程式を $\sqrt{\ln^{2} (1) + K} = 2$ として書き換えます。

$\sqrt{\ln^{2} (1) + K} = 2$

ステップ 6.2

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${\sqrt{\ln^{2} (1) + K}}^{2} = 2^{2}$

ステップ 6.3

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 6.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{\ln^{2} (1) + K}$ を ${(\ln^{2} (1) + K)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${({(\ln^{2} (1) + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 2^{2}$

ステップ 6.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.3.2.1

${({(\ln^{2} (1) + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 6.3.2.1.1

${({(\ln^{2} (1) + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 6.3.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(\ln^{2} (1) + K)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 2^{2}$

ステップ 6.3.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(\ln^{2} (1) + K)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 2^{2}$

ステップ 6.3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(\ln^{2} (1) + K)}^{1} = 2^{2}$

ステップ 6.3.2.1.2

各項を簡約します。

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ステップ 6.3.2.1.2.1

$1$ の自然対数は $0$ です。

${(0^{2} + K)}^{1} = 2^{2}$

ステップ 6.3.2.1.2.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

${(0 + K)}^{1} = 2^{2}$

ステップ 6.3.2.1.3

0を加えて簡約します。

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ステップ 6.3.2.1.3.1

$0$ と $K$ をたし算します。

$K^{1} = 2^{2}$

ステップ 6.3.2.1.3.2

簡約します。

$K = 2^{2}$

ステップ 6.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 6.3.3.1

$2$ を $2$ 乗します。

$K = 4$

ステップ 7

$4$ を $y = \sqrt{\ln^{2} (x) + K}$ の中の $K$ に代入し簡約します。

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ステップ 7.1

$4$ を $K$ に代入します。

$y = \sqrt{\ln^{2} (x) + 4}$

微分積分 例

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