微分積分例

$\frac{y}{x} d x + (y^{2} + \ln (| x |)) d y = 0$

ステップ 1

$M (x, y) = \frac{y}{x}$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$

ステップ 1.2

$\frac{1}{x}$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $\frac{y}{x}$ の微分係数は $\frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x} \cdot 1$

ステップ 1.4

$\frac{1}{x}$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x}$

ステップ 2

$N (x, y) = y^{2} + \ln (| x |)$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{2} + \ln (| x |)]$

ステップ 2.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

総和則では、 $y^{2} + \ln (| x |)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (| x |)]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (| x |)]$

ステップ 2.2.2

$y^{2}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $y^{2}$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [\ln (| x |)]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [\ln (| x |)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = | x |$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $| x |$ とします。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [| x |]$

ステップ 2.3.1.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{1}{u} \frac{d}{d x} [| x |]$

ステップ 2.3.1.3

$u$ のすべての発生を $| x |$ で置き換えます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{1}{| x |} \frac{d}{d x} [| x |]$

ステップ 2.3.2

$x$ に関する $| x |$ の微分係数は $\frac{x}{| x |}$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{1}{| x |} \cdot \frac{x}{| x |}$

ステップ 2.3.3

$\frac{1}{| x |}$ に $\frac{x}{| x |}$ をかけます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x | | x |}$

ステップ 2.3.4

絶対値を乗算するために、各絶対値の内側にある項を乗算します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x \cdot x |}$

ステップ 2.3.5

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x^{1} x |}$

ステップ 2.3.6

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x^{1} x^{1} |}$

ステップ 2.3.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x^{1 + 1} |}$

ステップ 2.3.8

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x^{2} |}$

ステップ 2.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$0$ と $\frac{x}{| x^{2} |}$ をたし算します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x}{| x^{2} |}$

ステップ 2.4.2

絶対値から非負の項を削除します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x}{x^{2}}$

ステップ 2.4.3

$x$ と $x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.3.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x^{1}}{x^{2}}$

ステップ 2.4.3.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x \cdot 1}{x^{2}}$

ステップ 2.4.3.3

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.3.3.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x \cdot 1}{x \cdot x}$

ステップ 2.4.3.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x \cdot 1}{x \cdot x}$

ステップ 2.4.3.3.3

式を書き換えます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{x}$

ステップ 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$\frac{1}{x}$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $\frac{1}{x}$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$\frac{1}{x} = \frac{1}{x}$

ステップ 3.2

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$\frac{1}{x} = \frac{1}{x}$ は恒等式です。

ステップ 4

$f (x, y)$ は $M (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int \frac{y}{x} d x$

ステップ 5

$M (x, y) = \frac{y}{x}$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$y$ は $x$ に対して定数なので、 $y$ を積分の外に移動させます。

$f (x, y) = y \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 5.2

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$f (x, y) = y (\ln (| x |) + C)$

ステップ 5.3

簡約します。

$f (x, y) = y \ln (| x |) + C$

ステップ 6

$g (y)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (y)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = y \ln (| x |) + g (y)$

ステップ 7

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial y} = y^{2} + \ln (| x |)$

ステップ 8

$y$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [y \ln (| x |) + g (y)] = y^{2} + \ln (| x |)$

ステップ 9

$\frac{d g}{d y}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

$\frac{d g}{d y}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

書き換えます。

$\frac{y}{x} d x + (y^{2} + \ln (| x |)) d y = 0$

ステップ 9.1.2

$M (x, y) = \frac{y}{x}$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.2.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$

ステップ 9.1.2.2

$\frac{1}{x}$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $\frac{y}{x}$ の微分係数は $\frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 9.1.2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x} \cdot 1$

ステップ 9.1.2.4

$\frac{1}{x}$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x}$

ステップ 9.1.3

$N (x, y) = y^{2} + \ln (| x |)$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.3.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{2} + \ln (| x |)]$

ステップ 9.1.3.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.3.2.1

総和則では、 $y^{2} + \ln (| x |)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (| x |)]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (| x |)]$

ステップ 9.1.3.2.2

$y^{2}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $y^{2}$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [\ln (| x |)]$

ステップ 9.1.3.3

$\frac{d}{d x} [\ln (| x |)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.3.3.1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = | x |$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.3.3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $| x |$ とします。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [| x |]$

ステップ 9.1.3.3.1.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{1}{u} \frac{d}{d x} [| x |]$

ステップ 9.1.3.3.1.3

$u$ のすべての発生を $| x |$ で置き換えます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{1}{| x |} \frac{d}{d x} [| x |]$

ステップ 9.1.3.3.2

$x$ に関する $| x |$ の微分係数は $\frac{x}{| x |}$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{1}{| x |} \cdot \frac{x}{| x |}$

ステップ 9.1.3.3.3

$\frac{1}{| x |}$ に $\frac{x}{| x |}$ をかけます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x | | x |}$

ステップ 9.1.3.3.4

絶対値を乗算するために、各絶対値の内側にある項を乗算します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x \cdot x |}$

ステップ 9.1.3.3.5

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x^{1} x |}$

ステップ 9.1.3.3.6

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x^{1} x^{1} |}$

ステップ 9.1.3.3.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x^{1 + 1} |}$

ステップ 9.1.3.3.8

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x^{2} |}$

ステップ 9.1.3.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.3.4.1

$0$ と $\frac{x}{| x^{2} |}$ をたし算します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x}{| x^{2} |}$

ステップ 9.1.3.4.2

絶対値から非負の項を削除します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x}{x^{2}}$

ステップ 9.1.3.4.3

$x$ と $x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.3.4.3.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x^{1}}{x^{2}}$

ステップ 9.1.3.4.3.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x \cdot 1}{x^{2}}$

ステップ 9.1.3.4.3.3

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.3.4.3.3.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x \cdot 1}{x \cdot x}$

ステップ 9.1.3.4.3.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x \cdot 1}{x \cdot x}$

ステップ 9.1.3.4.3.3.3

式を書き換えます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{x}$

ステップ 9.1.4

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.4.1

$\frac{1}{x}$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $\frac{1}{x}$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$\frac{1}{x} = \frac{1}{x}$

ステップ 9.1.4.2

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$\frac{1}{x} = \frac{1}{x}$ は恒等式です。

ステップ 9.1.5

$f (x, y)$ は $M (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int \frac{y}{x} d x$

ステップ 9.1.6

$M (x, y) = \frac{y}{x}$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.6.1

$y$ は $x$ に対して定数なので、 $y$ を積分の外に移動させます。

$f (x, y) = y \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 9.1.6.2

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$f (x, y) = y (\ln (| x |) + C)$

ステップ 9.1.6.3

簡約します。

$f (x, y) = y \ln (| x |) + C$

ステップ 9.1.7

$g (y)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (y)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = y \ln (| x |) + g (y)$

ステップ 9.1.8

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial y} = y^{2} + \ln (| x |)$

ステップ 9.1.9

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.9.1

$\frac{d}{d y} \cdot (y \ln (| x |) + g (y))$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.9.1.1

$d$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.9.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{d}{d y} \cdot (y \ln (| x |) + g (y)) = y^{2} + \ln (| x |)$

ステップ 9.1.9.1.1.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{y} \cdot (y \ln (| x |) + g (y)) = y^{2} + \ln (| x |)$

ステップ 9.1.9.1.2

$\frac{1}{y}$ に $y \ln (| x |) + g y$ をかけます。

$\frac{y \ln (| x |) + g y}{y} = y^{2} + \ln (| x |)$

ステップ 9.1.9.1.3

$y$ を $y \ln (| x |) + g y$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.9.1.3.1

$y$ を $y \ln (| x |)$ で因数分解します。

$\frac{y \ln (| x |) + g y}{y} = y^{2} + \ln (| x |)$

ステップ 9.1.9.1.3.2

$y$ を $g y$ で因数分解します。

$\frac{y \ln (| x |) + y g}{y} = y^{2} + \ln (| x |)$

ステップ 9.1.9.1.3.3

$y$ を $y \ln (| x |) + y g$ で因数分解します。

$\frac{y (\ln (| x |) + g)}{y} = y^{2} + \ln (| x |)$

ステップ 9.1.9.1.4

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.9.1.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{y (\ln (| x |) + g)}{y} = y^{2} + \ln (| x |)$

ステップ 9.1.9.1.4.2

$\ln (| x |) + g$ を $1$ で割ります。

$\ln (| x |) + g = y^{2} + \ln (| x |)$

ステップ 9.1.10

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$\ln (| x |) - \ln (| x |) = - g + y^{2}$

ステップ 9.1.11

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\ln (\frac{| x |}{| x |}) = - g + y^{2}$

ステップ 9.1.12

$| x |$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.12.1

共通因数を約分します。

$\ln (\frac{| x |}{| x |}) = - g + y^{2}$

ステップ 9.1.12.2

式を書き換えます。

$\ln (1) = - g + y^{2}$

ステップ 9.1.13

$1$ の自然対数は $0$ です。

$0 = - g + y^{2}$

ステップ 10

$- g + y^{2}$ の不定積分を求めて $g (y)$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

$0 = - g + y^{2}$ の両辺を積分します。

$\int 0 d y = \int - g + y^{2} d y$

ステップ 10.2

$\int 0 d y$ の値を求めます。

$g (y) = \int - g + y^{2} d y$

ステップ 10.3

単一積分を複数積分に分割します。

$g (y) = \int - g d y + \int y^{2} d y$

ステップ 10.4

定数の法則を当てはめます。

$g (y) = - g y + C + \int y^{2} d y$

ステップ 10.5

べき乗則では、 $y^{2}$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{3} y^{3}$ です。

$g (y) = - g y + C + \frac{1}{3} y^{3} + C$

ステップ 10.6

簡約します。

$g (y) = - g y + \frac{1}{3} y^{3} + C$

ステップ 11

$f (x, y) = y \ln (| x |) + g (y)$ の $g (y)$ に代入します。

$f (x, y) = y \ln (| x |) - g y + \frac{1}{3} y^{3} + C$

ステップ 12

$\frac{1}{3}$ と $y^{3}$ をまとめます。

$f (x, y) = y \ln (| x |) - g y + \frac{y^{3}}{3} + C$

微分積分 例

微分積分例