微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x y}$

ステップ 1

微分方程式を $\frac{y}{x}$ の関数で書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$\frac{y^{2} + x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x y}$ を分解し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分数 $\frac{y^{2} + x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x y}$ を2つの分数に分割します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x y} + \frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x y}$

ステップ 1.1.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$y^{2}$ と $y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1.1

$y$ を $y^{2}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{x y} + \frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x y}$

ステップ 1.1.2.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1.2.1

$y$ を $x y$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{y x} + \frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x y}$

ステップ 1.1.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{y x} + \frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x y}$

ステップ 1.1.2.1.2.3

式を書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x y}$

ステップ 1.1.2.2

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x y}$

ステップ 1.1.2.2.2

式を書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{y}$

ステップ 1.2

$\sqrt{y^{2}} = y$ と仮定します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{\sqrt{y^{2}}}$

ステップ 1.3

$\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ と $\sqrt{y^{2}}$ を単一根にまとめます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{x^{2} + y^{2}}{y^{2}}}$

ステップ 1.4

$\frac{x^{2} + y^{2}}{y^{2}}$ を分解し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

分数 $\frac{x^{2} + y^{2}}{y^{2}}$ を2つの分数に分割します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{y^{2}}{y^{2}}}$

ステップ 1.4.2

$y^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{y^{2}}{y^{2}}}$

ステップ 1.4.2.2

式を書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{x^{2}}{y^{2}} + 1}$

ステップ 1.5

微分方程式を $f (\frac{y}{x})$ として書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

$\frac{x^{2}}{y^{2}}$ を ${(\frac{x}{y})}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{{(\frac{x}{y})}^{2} + 1}$

ステップ 1.5.2

$\frac{x}{y}$ を ${(\frac{y}{x})}^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{{({(\frac{y}{x})}^{- 1})}^{2} + 1}$

ステップ 2

$V = \frac{y}{x}$ とします。 $V$ を $\frac{y}{x}$ に代入します。

$\frac{d y}{d x} = V + \sqrt{{(V^{- 1})}^{2} + 1}$

ステップ 3

$y$ について $V = \frac{y}{x}$ を解きます。

$y = V x$

ステップ 4

積の法則を利用し、 $x$ について $y = V x$ の微分係数を求めます。

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

ステップ 5

$x \frac{d V}{d x} + V$ を $\frac{d y}{d x}$ に代入します。

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{{(V^{- 1})}^{2} + 1}$

ステップ 6

代入された微分方程式の解を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

変数を分けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

$\frac{d V}{d x}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.1

$V + \sqrt{{(V^{- 1})}^{2} + 1}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.1.1.1

${(V^{- 1})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.1.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{V^{- 1 \cdot 2} + 1}$

ステップ 6.1.1.1.1.1.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{V^{- 2} + 1}$

ステップ 6.1.1.1.1.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{\frac{1}{V^{2}} + 1}$

ステップ 6.1.1.1.1.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{\frac{1}{V^{2}} + \frac{V^{2}}{V^{2}}}$

ステップ 6.1.1.1.1.4

公分母の分子をまとめます。

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{\frac{1 + V^{2}}{V^{2}}}$

ステップ 6.1.1.1.1.5

$\frac{1 + V^{2}}{V^{2}}$ を ${(\frac{1}{V})}^{2} (1 + V^{2})$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.1.1.5.1

$1 + V^{2}$ から完全累乗 $1^{2}$ を因数分解します。

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{\frac{1^{2} (1 + V^{2})}{V^{2}}}$

ステップ 6.1.1.1.1.5.2

$V^{2}$ から完全累乗 $V^{2}$ を因数分解します。

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{\frac{1^{2} (1 + V^{2})}{V^{2} \cdot 1}}$

ステップ 6.1.1.1.1.5.3

分数 $\frac{1^{2} (1 + V^{2})}{V^{2} \cdot 1}$ を並べ替えます。

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{{(\frac{1}{V})}^{2} (1 + V^{2})}$

ステップ 6.1.1.1.1.6

累乗根の下から項を取り出します。

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{1}{V} \sqrt{1 + V^{2}}$

ステップ 6.1.1.1.1.7

$\frac{1}{V}$ と $\sqrt{1 + V^{2}}$ をまとめます。

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V}$

ステップ 6.1.1.1.2

$V$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{V}{V}$ を掛けます。

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V \cdot V}{V} + \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V}$

ステップ 6.1.1.1.3

公分母の分子をまとめます。

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V \cdot V + \sqrt{1 + V^{2}}}{V}$

ステップ 6.1.1.1.4

$V$ に $V$ をかけます。

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V^{2} + \sqrt{1 + V^{2}}}{V}$

ステップ 6.1.1.2

$\frac{d V}{d x}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.2.1

方程式の両辺から $V$ を引きます。

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V^{2} + \sqrt{1 + V^{2}}}{V} - V$

ステップ 6.1.1.2.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.2.2.1

分数 $\frac{V^{2} + \sqrt{1 + V^{2}}}{V}$ を2つの分数に分割します。

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V^{2}}{V} + \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} - V$

ステップ 6.1.1.2.2.2

$V^{2}$ と $V$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.2.2.2.1

$V$ を $V^{2}$ で因数分解します。

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V \cdot V}{V} + \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} - V$

ステップ 6.1.1.2.2.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.2.2.2.2.1

$V$ を $1$ 乗します。

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V \cdot V}{V^{1}} + \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} - V$

ステップ 6.1.1.2.2.2.2.2

$V$ を $V^{1}$ で因数分解します。

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V \cdot V}{V \cdot 1} + \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} - V$

ステップ 6.1.1.2.2.2.2.3

共通因数を約分します。

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V \cdot V}{V \cdot 1} + \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} - V$

ステップ 6.1.1.2.2.2.2.4

式を書き換えます。

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1} + \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} - V$

ステップ 6.1.1.2.2.2.2.5

$V$ を $1$ で割ります。

$x \frac{d V}{d x} = V + \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} - V$

ステップ 6.1.1.2.3

$V + \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} - V$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.2.3.1

$V$ から $V$ を引きます。

$x \frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} + 0$

ステップ 6.1.1.2.3.2

$\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V}$ と $0$ をたし算します。

$x \frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V}$

ステップ 6.1.1.3

$x \frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V}$ の各項を $x$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.3.1

$x \frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V}$ の各項を $x$ で割ります。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.3.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.2.1.2

$\frac{d V}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.3.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.2

まとめる。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}} \cdot 1}{V x}$

ステップ 6.1.1.3.3.3

$\sqrt{1 + V^{2}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V x}$

ステップ 6.1.2

因数をもう一度まとめます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x}$

ステップ 6.1.3

両辺に $\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}}$ を掛けます。

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

ステップ 6.1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.4.1

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}}$ に $\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{\sqrt{1 + V^{2}}}$ をかけます。

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{\sqrt{1 + V^{2}}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

ステップ 6.1.4.2

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.4.2.1

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}}$ に $\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{\sqrt{1 + V^{2}}}$ をかけます。

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{\sqrt{1 + V^{2}} \sqrt{1 + V^{2}}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

ステップ 6.1.4.2.2

$\sqrt{1 + V^{2}}$ を $1$ 乗します。

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{{\sqrt{1 + V^{2}}}^{1} \sqrt{1 + V^{2}}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

ステップ 6.1.4.2.3

$\sqrt{1 + V^{2}}$ を $1$ 乗します。

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{{\sqrt{1 + V^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + V^{2}}}^{1}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

ステップ 6.1.4.2.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{{\sqrt{1 + V^{2}}}^{1 + 1}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

ステップ 6.1.4.2.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{{\sqrt{1 + V^{2}}}^{2}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

ステップ 6.1.4.2.6

${\sqrt{1 + V^{2}}}^{2}$ を $1 + V^{2}$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.4.2.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{1 + V^{2}}$ を ${(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{{({(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

ステップ 6.1.4.2.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{{(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

ステップ 6.1.4.2.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{{(1 + V^{2})}^{\frac{2}{2}}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

ステップ 6.1.4.2.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.4.2.6.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{{(1 + V^{2})}^{\frac{2}{2}}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

ステップ 6.1.4.2.6.4.2

式を書き換えます。

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{{(1 + V^{2})}^{1}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

ステップ 6.1.4.2.6.5

簡約します。

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{1 + V^{2}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

ステップ 6.1.4.3

まとめる。

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{1 + V^{2}} \cdot \frac{\sqrt{1 + V^{2}} \cdot 1}{V x}$

ステップ 6.1.4.4

$V$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.4.4.1

$V$ を $V \sqrt{1 + V^{2}}$ で因数分解します。

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V (\sqrt{1 + V^{2}})}{1 + V^{2}} \cdot \frac{\sqrt{1 + V^{2}} \cdot 1}{V x}$

ステップ 6.1.4.4.2

$V$ を $V x$ で因数分解します。

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V (\sqrt{1 + V^{2}})}{1 + V^{2}} \cdot \frac{\sqrt{1 + V^{2}} \cdot 1}{V (x)}$

ステップ 6.1.4.4.3

共通因数を約分します。

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{1 + V^{2}} \cdot \frac{\sqrt{1 + V^{2}} \cdot 1}{V x}$

ステップ 6.1.4.4.4

式を書き換えます。

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{1 + V^{2}} \cdot \frac{\sqrt{1 + V^{2}} \cdot 1}{x}$

ステップ 6.1.4.5

$\sqrt{1 + V^{2}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{1 + V^{2}} \cdot \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{x}$

ステップ 6.1.4.6

$\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{1 + V^{2}}$ に $\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{x}$ をかけます。

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}} \sqrt{1 + V^{2}}}{(1 + V^{2}) x}$

ステップ 6.1.4.7

$\sqrt{1 + V^{2}}$ を $1$ 乗します。

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{{\sqrt{1 + V^{2}}}^{1} \sqrt{1 + V^{2}}}{(1 + V^{2}) x}$

ステップ 6.1.4.8

$\sqrt{1 + V^{2}}$ を $1$ 乗します。

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{{\sqrt{1 + V^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + V^{2}}}^{1}}{(1 + V^{2}) x}$

ステップ 6.1.4.9

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{{\sqrt{1 + V^{2}}}^{1 + 1}}{(1 + V^{2}) x}$

ステップ 6.1.4.10

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{{\sqrt{1 + V^{2}}}^{2}}{(1 + V^{2}) x}$

ステップ 6.1.4.11

${\sqrt{1 + V^{2}}}^{2}$ を $1 + V^{2}$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.4.11.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{1 + V^{2}}$ を ${(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{{({(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{(1 + V^{2}) x}$

ステップ 6.1.4.11.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{{(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{(1 + V^{2}) x}$

ステップ 6.1.4.11.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{{(1 + V^{2})}^{\frac{2}{2}}}{(1 + V^{2}) x}$

ステップ 6.1.4.11.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.4.11.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{{(1 + V^{2})}^{\frac{2}{2}}}{(1 + V^{2}) x}$

ステップ 6.1.4.11.4.2

式を書き換えます。

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{{(1 + V^{2})}^{1}}{(1 + V^{2}) x}$

ステップ 6.1.4.11.5

簡約します。

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 + V^{2}}{(1 + V^{2}) x}$

ステップ 6.1.4.12

$1 + V^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.4.12.1

共通因数を約分します。

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 + V^{2}}{(1 + V^{2}) x}$

ステップ 6.1.4.12.2

式を書き換えます。

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

ステップ 6.1.5

方程式を書き換えます。

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} d V = \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2

左辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$u = 1 + V^{2}$ とします。次に $d u = 2 V d V$ すると、 $\frac{1}{2} d u = V d V$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1.1

$u = 1 + V^{2}$ とします。 $\frac{d u}{d V}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1.1.1

$1 + V^{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d V} [1 + V^{2}]$

ステップ 6.2.2.1.1.2

総和則では、 $1 + V^{2}$ の $V$ に関する積分は $\frac{d}{d V} [1] + \frac{d}{d V} [V^{2}]$ です。

$\frac{d}{d V} [1] + \frac{d}{d V} [V^{2}]$

ステップ 6.2.2.1.1.3

$1$ は $V$ について定数なので、 $V$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d V} [V^{2}]$

ステップ 6.2.2.1.1.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ は $n V^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 2 V$

ステップ 6.2.2.1.1.5

$0$ と $2 V$ をたし算します。

$2 V$

ステップ 6.2.2.1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.2.1

$\frac{1}{\sqrt{u}}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.2.2

$2$ を $\sqrt{u}$ の左に移動させます。

$\int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.3

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.4

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u}$ を $u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.4.2

$u^{\frac{1}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.4.3

${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 6.2.2.4.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.4.3.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.4.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.5

べき乗則では、 $u^{- \frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $2 u^{\frac{1}{2}}$ です。

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.6.1

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1})$ を $\frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1}$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.6.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.6.2.1

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.6.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.6.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.6.2.2.2

式を書き換えます。

$1 u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.6.2.3

$u^{\frac{1}{2}}$ に $1$ をかけます。

$u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.7

$u$ のすべての発生を $1 + V^{2}$ で置き換えます。

${(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.3

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

${(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

ステップ 6.2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

${(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2}} = \ln (| x |) + C$

ステップ 6.3

$V$ について解きます。

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ステップ 6.3.1

方程式の両辺を $2$ 乗し、左辺の分数指数を消去します。

${({(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\ln (| x |) + C)}^{2}$

ステップ 6.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.3.2.1

${({(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1.1

${({(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\ln (| x |) + C)}^{2}$

ステップ 6.3.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\ln (| x |) + C)}^{2}$

ステップ 6.3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(1 + V^{2})}^{1} = {(\ln (| x |) + C)}^{2}$

ステップ 6.3.2.1.2

簡約します。

$1 + V^{2} = {(\ln (| x |) + C)}^{2}$

ステップ 6.3.3

$V$ について解きます。

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ステップ 6.3.3.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$V^{2} = {(\ln (| x |) + C)}^{2} - 1$

ステップ 6.3.3.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$V = \pm \sqrt{{(\ln (| x |) + C)}^{2} - 1}$

ステップ 6.3.3.3

$\pm \sqrt{{(\ln (| x |) + C)}^{2} - 1}$ を簡約します。

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ステップ 6.3.3.3.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$V = \pm \sqrt{{(\ln (| x |) + C)}^{2} - 1^{2}}$

ステップ 6.3.3.3.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = \ln (| x |) + C$ であり、 $b = 1$ です。

$V = \pm \sqrt{(\ln (| x |) + C + 1) (\ln (| x |) + C - 1)}$

ステップ 6.3.3.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 6.3.3.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$V = \sqrt{(\ln (| x |) + C + 1) (\ln (| x |) + C - 1)}$

ステップ 6.3.3.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。