微分積分例

$\frac{d}{d x} (\frac{d y}{d x}) = 6 x + 3$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$\frac{d}{d x} d y = (6 x + 3) d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} d y = \int 6 x + 3 d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

定数の法則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} y + C_{1} = \int 6 x + 3 d x$

ステップ 2.2.2

答えを簡約します。

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ステップ 2.2.2.1

$\frac{d}{d x}$ と $y$ をまとめます。

$\frac{d y}{d x} + C_{1} = \int 6 x + 3 d x$

ステップ 2.2.2.2

$\frac{d y}{d x} + C_{1}$ を $\frac{1}{d x} d y + C_{1}$ に書き換えます。

$\frac{1}{d x} d y + C_{1} = \int 6 x + 3 d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{1}{d x} d y + C_{1} = \int 6 x d x + \int 3 d x$

ステップ 2.3.2

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $6$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{d x} d y + C_{1} = 6 \int x d x + \int 3 d x$

ステップ 2.3.3

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$\frac{1}{d x} d y + C_{1} = 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int 3 d x$

ステップ 2.3.4

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{d x} d y + C_{1} = 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + 3 x + C_{3}$

ステップ 2.3.5

簡約します。

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ステップ 2.3.5.1

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{d x} d y + C_{1} = 6 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + 3 x + C_{3}$

ステップ 2.3.5.2

簡約します。

$\frac{1}{d x} d y + C_{1} = 3 x^{2} + 3 x + C_{4}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$\frac{1}{d x} d y = 3 x^{2} + 3 x + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

$\frac{1}{d x} d y$ を簡約します。

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ステップ 3.1.1

$\frac{1}{d x}$ と $d$ をまとめます。

$\frac{d}{d x} y = 3 x^{2} + 3 x + K$

ステップ 3.1.2

$\frac{d}{d x}$ と $y$ をまとめます。

$\frac{d y}{d x} = 3 x^{2} + 3 x + K$

ステップ 3.2

両辺に $d x$ を掛けます。

$\frac{d y}{d x} d x = (3 x^{2} + 3 x + K) d x$

ステップ 3.3

簡約します。

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ステップ 3.3.1

左辺を簡約します。

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ステップ 3.3.1.1

$d x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{d y}{d x} d x = (3 x^{2} + 3 x + K) d x$

ステップ 3.3.1.1.2

式を書き換えます。

$d y = (3 x^{2} + 3 x + K) d x$

ステップ 3.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.2.1

$(3 x^{2} + 3 x + K) d x$ を簡約します。

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ステップ 3.3.2.1.1

分配則を当てはめます。

$d y = 3 x^{2} d x + 3 x d x + K d x$

ステップ 3.3.2.1.2

並べ替えます。

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ステップ 3.3.2.1.2.1

$x^{2}$ を移動させます。

$d y = 3 d x x^{2} + 3 x d x + K d x$

ステップ 3.3.2.1.2.2

$x$ を移動させます。

$d y = 3 d x x^{2} + 3 d x x + K d x$

ステップ 3.3.2.1.2.3

$3 d x x$ を移動させます。

$d y = 3 d x x^{2} + K d x + 3 d x x$

ステップ 3.4

$d y = 3 d x x^{2} + K d x + 3 d x x$ の各項を $d$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.4.1

$d y = 3 d x x^{2} + K d x + 3 d x x$ の各項を $d$ で割ります。

$\frac{d y}{d} = \frac{3 d x x^{2}}{d} + \frac{K d x}{d} + \frac{3 d x x}{d}$

ステップ 3.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.4.2.1

$d$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{d y}{d} = \frac{3 d x x^{2}}{d} + \frac{K d x}{d} + \frac{3 d x x}{d}$

ステップ 3.4.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{3 d x x^{2}}{d} + \frac{K d x}{d} + \frac{3 d x x}{d}$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = \frac{3 d x x^{2}}{d} + \frac{K}{d} + \frac{3 d x x}{d}$

微分積分 例

微分積分例