微分積分例

$x \frac{d y}{d x} = \sqrt{1 - y^{2}}$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

$x \frac{d y}{d x} = \sqrt{1 - y^{2}}$ の各項を $x$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.1.1

$x \frac{d y}{d x} = \sqrt{1 - y^{2}}$ の各項を $x$ で割ります。

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{\sqrt{1 - y^{2}}}{x}$

ステップ 1.1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.1.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{\sqrt{1 - y^{2}}}{x}$

ステップ 1.1.2.1.2

$\frac{d y}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{1 - y^{2}}}{x}$

ステップ 1.1.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.1.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 1.1.3.1.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{1^{2} - y^{2}}}{x}$

ステップ 1.1.3.1.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = y$ です。

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{(1 + y) (1 - y)}}{x}$

ステップ 1.2

両辺に $\frac{1}{\sqrt{(1 + y) (1 - y)}}$ を掛けます。

$\frac{1}{\sqrt{(1 + y) (1 - y)}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{(1 + y) (1 - y)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + y) (1 - y)}}{x}$

ステップ 1.3

$\sqrt{(1 + y) (1 - y)}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{\sqrt{(1 + y) (1 - y)}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{(1 + y) (1 - y)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + y) (1 - y)}}{x}$

ステップ 1.3.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{(1 + y) (1 - y)}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

ステップ 1.4

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{(1 + y) (1 - y)}} d y = \frac{1}{x} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{\sqrt{(1 + y) (1 - y)}} d y = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

平方を完成させます。

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ステップ 2.2.1.1

式を簡約します。

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ステップ 2.2.1.1.1

分配法則（FOIL法）を使って $(1 + y) (1 - y)$ を展開します。

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ステップ 2.2.1.1.1.1

分配則を当てはめます。

$1 (1 - y) + y (1 - y)$

ステップ 2.2.1.1.1.2

分配則を当てはめます。

$1 \cdot 1 + 1 (- y) + y (1 - y)$

ステップ 2.2.1.1.1.3

分配則を当てはめます。

$1 \cdot 1 + 1 (- y) + y \cdot 1 + y (- y)$

ステップ 2.2.1.1.2

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 2.2.1.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.1.1.2.1.1

$1$ に $1$ をかけます。

$1 + 1 (- y) + y \cdot 1 + y (- y)$

ステップ 2.2.1.1.2.1.2

$- y$ に $1$ をかけます。

$1 - y + y \cdot 1 + y (- y)$

ステップ 2.2.1.1.2.1.3

$y$ に $1$ をかけます。

$1 - y + y + y (- y)$

ステップ 2.2.1.1.2.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$1 - y + y - y \cdot y$

ステップ 2.2.1.1.2.1.5

指数を足して $y$ に $y$ を掛けます。

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ステップ 2.2.1.1.2.1.5.1

$y$ を移動させます。

$1 - y + y - (y \cdot y)$

ステップ 2.2.1.1.2.1.5.2

$y$ に $y$ をかけます。

$1 - y + y - y^{2}$

ステップ 2.2.1.1.2.2

$- y$ と $y$ をたし算します。

$1 + 0 - y^{2}$

ステップ 2.2.1.1.2.3

$1$ と $0$ をたし算します。

$1 - y^{2}$

ステップ 2.2.1.1.3

$1$ と $- y^{2}$ を並べ替えます。

$- y^{2} + 1$

ステップ 2.2.1.2

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = - 1$

$b = 0$

$c = 1$

ステップ 2.2.1.3

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 2.2.1.4

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1.4.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{0}{2 \cdot - 1}$

ステップ 2.2.1.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 2.2.1.4.2.1

$0$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.1.4.2.1.1

$2$ を $0$ で因数分解します。

$d = \frac{2 (0)}{2 \cdot - 1}$

ステップ 2.2.1.4.2.1.2

$\frac{0}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$d = - 1 \cdot 0$

ステップ 2.2.1.4.2.2

$- 1 \cdot 0$ を $- 0$ に書き換えます。

$d = - 0$

ステップ 2.2.1.4.2.3

$- 1$ に $0$ をかけます。

$d = 0$

ステップ 2.2.1.5

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1.5.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 1 - \frac{0^{2}}{4 \cdot - 1}$

ステップ 2.2.1.5.2

右辺を簡約します。

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ステップ 2.2.1.5.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.1.5.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$e = 1 - \frac{0}{4 \cdot - 1}$

ステップ 2.2.1.5.2.1.2

$4$ に $- 1$ をかけます。

$e = 1 - \frac{0}{- 4}$

ステップ 2.2.1.5.2.1.3

$0$ を $- 4$ で割ります。

$e = 1 - 0$

ステップ 2.2.1.5.2.1.4

$- 1$ に $0$ をかけます。

$e = 1 + 0$

ステップ 2.2.1.5.2.2

$1$ と $0$ をたし算します。

$e = 1$

ステップ 2.2.1.6

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $- {(y + 0)}^{2} + 1$ に代入します。

$\int \frac{1}{\sqrt{- {(y + 0)}^{2} + 1}} d y = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2.2

$u = y + 0$ とします。次に $d u = d y$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.2.2.1

$u = y + 0$ とします。 $\frac{d u}{d y}$ を求めます。

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ステップ 2.2.2.1.1

$y + 0$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [y + 0]$

ステップ 2.2.2.1.2

総和則では、 $y + 0$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [0]$ です。

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [0]$

ステップ 2.2.2.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d y} [0]$

ステップ 2.2.2.1.4

$0$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $0$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 2.2.2.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 2.2.2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 1}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2.3

式を簡約します。

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ステップ 2.2.3.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 1^{2}}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2.3.2

$- u^{2}$ と $1^{2}$ を並べ替えます。

$\int \frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2.4

$\frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}}$ の $u$ に関する積分は $\arcsin (u)$ である

$\arcsin (u) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2.5

$u$ のすべての発生を $y + 0$ で置き換えます。

$\arcsin (y + 0) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2.6

$y$ と $0$ をたし算します。

$\arcsin (y) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.3

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$\arcsin (y) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\arcsin (y) = \ln (| x |) + C$

ステップ 3

方程式の両辺の逆正弦をとり、逆正弦の中から $y$ を取り出します。

$y = \sin (\ln (| x |) + C)$

微分積分 例

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