微分積分例

$(2 x y + y - e^{- x}) d x + x d y = 0$

ステップ 1

$M (x, y) = 2 x y + y - e^{- x}$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y + y - e^{- x}]$

ステップ 1.2

総和則では、 $2 x y + y - e^{- x}$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- e^{- x}]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- e^{- x}]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d y} [2 x y]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$2 x$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $2 x y$ の微分係数は $2 x \frac{d}{d y} [y]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- e^{- x}]$

ステップ 1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- e^{- x}]$

ステップ 1.3.3

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- e^{- x}]$

ステップ 1.4

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 1 + \frac{d}{d y} [- e^{- x}]$

ステップ 1.4.2

$- e^{- x}$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $- e^{- x}$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 1 + 0$

ステップ 1.4.3

$2 x + 1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 1$

ステップ 2

$N (x, y) = x$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

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ステップ 2.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

ステップ 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$2 x + 1$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $1$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$2 x + 1 = 1$

ステップ 3.2

方程式の左辺が右辺に等しくないので、方程式は恒等式ではありません。

$2 x + 1 = 1$ は恒等式ではありません。

ステップ 4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ を求めます。

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ステップ 4.1

$2 x + 1$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に代入します。

$\frac{2 x + 1 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

ステップ 4.2

$1$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$\frac{2 x + 1 - 1}{N}$

ステップ 4.3

$x$ を $N$ に代入します。

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ステップ 4.3.1

$x$ を $N$ に代入します。

$\frac{2 x + 1 - 1}{x}$

ステップ 4.3.2

分子を簡約します。

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ステップ 4.3.2.1

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{2 x + 0}{x}$

ステップ 4.3.2.2

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2 x}{x}$

ステップ 4.3.3

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{x}$

ステップ 4.3.3.2

$2$ を $1$ で割ります。

$2$

ステップ 4.4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ を求めます。

$μ (x, y) = e^{\int 2 d x}$

ステップ 5

積分 $e^{\int 2 d x}$ を求めます。

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ステップ 5.1

定数の法則を当てはめます。

$μ (x, y) = e^{2 x + C}$

ステップ 5.2

簡約します。

$μ (x, y) = e^{2 x} + C$

ステップ 6

$(2 x y + y - e^{- x}) d x + x d y = 0$ の両辺に積分因子 $e^{2 x}$ を掛けます。

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ステップ 6.1

$2 x y + y - e^{- x}$ に $e^{2 x}$ をかけます。

$(2 x y + y - e^{- x}) e^{2 x} d x + x d y = 0$

ステップ 6.2

分配則を当てはめます。

$(2 x y e^{2 x} + y e^{2 x} - e^{- x} e^{2 x}) d x + x d y = 0$

ステップ 6.3

指数を足して $e^{- x}$ に $e^{2 x}$ を掛けます。

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ステップ 6.3.1

$e^{2 x}$ を移動させます。

$(2 x y e^{2 x} + y e^{2 x} - (e^{2 x} e^{- x})) d x + x d y = 0$

ステップ 6.3.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$(2 x y e^{2 x} + y e^{2 x} - e^{2 x - x}) d x + x d y = 0$

ステップ 6.3.3

$2 x$ から $x$ を引きます。

$(2 x y e^{2 x} + y e^{2 x} - e^{x}) d x + x d y = 0$

ステップ 6.4

$x$ に $e^{2 x}$ をかけます。

$(2 x y e^{2 x} + y e^{2 x} - e^{x}) d x + x e^{2 x} d y = 0$

ステップ 7

$f (x, y)$ は $N (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int x e^{2 x} d y$

ステップ 8

$N (x, y) = x e^{2 x}$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

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ステップ 8.1

定数の法則を当てはめます。

$f (x, y) = x e^{2 x} y + C$

ステップ 9

$g (x)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (x)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = x e^{2 x} y + g (x)$

ステップ 10

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x y e^{2 x} + y e^{2 x} - e^{x}$

ステップ 11

$\frac{\partial f}{\partial x}$ を求めます。

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ステップ 11.1

$x$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x e^{2 x} y + g (x)] = 2 x y e^{2 x} + y e^{2 x} - e^{x}$

ステップ 11.2

総和則では、 $x e^{2 x} y + g (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x e^{2 x} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [x e^{2 x} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y e^{2 x} + y e^{2 x} - e^{x}$

ステップ 11.3

$\frac{d}{d x} [x e^{2 x} y]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.1

$y$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $x e^{2 x} y$ の微分係数は $y \frac{d}{d x} [x e^{2 x}]$ です。

$y \frac{d}{d x} [x e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y e^{2 x} + y e^{2 x} - e^{x}$

ステップ 11.3.2

$f (x) = x$ および $g (x) = e^{2 x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$y (x \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y e^{2 x} + y e^{2 x} - e^{x}$

ステップ 11.3.3

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 11.3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x$ とします。

$y (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y e^{2 x} + y e^{2 x} - e^{x}$

ステップ 11.3.3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$y (x (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y e^{2 x} + y e^{2 x} - e^{x}$

ステップ 11.3.3.3

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$y (x (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y e^{2 x} + y e^{2 x} - e^{x}$

ステップ 11.3.4

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$y (x (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y e^{2 x} + y e^{2 x} - e^{x}$

ステップ 11.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$y (x (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y e^{2 x} + y e^{2 x} - e^{x}$

ステップ 11.3.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$y (x (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y e^{2 x} + y e^{2 x} - e^{x}$

ステップ 11.3.7

$2$ に $1$ をかけます。

$y (x (e^{2 x} \cdot 2) + e^{2 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y e^{2 x} + y e^{2 x} - e^{x}$

ステップ 11.3.8

$2$ を $e^{2 x}$ の左に移動させます。

$y (x (2 \cdot e^{2 x}) + e^{2 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y e^{2 x} + y e^{2 x} - e^{x}$

ステップ 11.3.9

$e^{2 x}$ に $1$ をかけます。

$y (x (2 e^{2 x}) + e^{2 x}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y e^{2 x} + y e^{2 x} - e^{x}$

ステップ 11.4

$g (x)$ の微分係数は $\frac{d g}{d x}$ であるという関数の規則を使って微分します。

$y (x (2 e^{2 x}) + e^{2 x}) + \frac{d g}{d x} = 2 x y e^{2 x} + y e^{2 x} - e^{x}$

ステップ 11.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.5.1

分配則を当てはめます。

$y (x (2 e^{2 x})) + y e^{2 x} + \frac{d g}{d x} = 2 x y e^{2 x} + y e^{2 x} - e^{x}$

ステップ 11.5.2

項を並べ替えます。

$\frac{d g}{d x} + 2 e^{2 x} x y + e^{2 x} y = 2 x y e^{2 x} + y e^{2 x} - e^{x}$

ステップ 11.5.3

$\frac{d g}{d x} + 2 e^{2 x} x y + e^{2 x} y$ の因数を並べ替えます。

$\frac{d g}{d x} + 2 x y e^{2 x} + y e^{2 x} = 2 x y e^{2 x} + y e^{2 x} - e^{x}$

ステップ 12

$\frac{d g}{d x}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

$\frac{d g}{d x}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1

方程式の両辺から $2 x y e^{2 x}$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} + y e^{2 x} = 2 x y e^{2 x} + y e^{2 x} - e^{x} - 2 x y e^{2 x}$

ステップ 12.1.2

方程式の両辺から $y e^{2 x}$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} = 2 x y e^{2 x} + y e^{2 x} - e^{x} - 2 x y e^{2 x} - y e^{2 x}$

ステップ 12.1.3

$2 x y e^{2 x} + y e^{2 x} - e^{x} - 2 x y e^{2 x} - y e^{2 x}$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.3.1

$2 x y e^{2 x}$ から $2 x y e^{2 x}$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} = 0 + y e^{2 x} - e^{x} - y e^{2 x}$

ステップ 12.1.3.2

$0$ と $y e^{2 x}$ をたし算します。

$\frac{d g}{d x} = y e^{2 x} - e^{x} - y e^{2 x}$

ステップ 12.1.3.3

$y e^{2 x}$ から $y e^{2 x}$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} = 0 - e^{x}$

ステップ 12.1.3.4

$0$ から $e^{x}$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} = - e^{x}$

ステップ 13

$- e^{x}$ の不定積分を求めて $g (x)$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

$\frac{d g}{d x} = - e^{x}$ の両辺を積分します。

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - e^{x} d x$

ステップ 13.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ の値を求めます。

$g (x) = \int - e^{x} d x$

ステップ 13.3

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$g (x) = - \int e^{x} d x$

ステップ 13.4

$e^{x}$ の $x$ に関する積分は $e^{x}$ です。

$g (x) = - (e^{x} + C)$

ステップ 13.5

簡約します。

$g (x) = - e^{x} + C$

ステップ 14

$f (x, y) = x e^{2 x} y + g (x)$ の $g (x)$ に代入します。

$f (x, y) = x e^{2 x} y - e^{x} + C$

ステップ 15

$f (x, y) = x e^{2 x} y - e^{x} + C$ の因数を並べ替えます。

$f (x, y) = x y e^{2 x} - e^{x} + C$

微分積分 例

微分積分例