微分積分例

$\sqrt{y^{2} + 1} d x - x y d y = 0$

ステップ 1

方程式の両辺から $\sqrt{y^{2} + 1} d x$ を引きます。

$- x y d y = - \sqrt{y^{2} + 1} d x$

ステップ 2

両辺に $\frac{1}{x \sqrt{y^{2} + 1}}$ を掛けます。

$\frac{1}{x \sqrt{y^{2} + 1}} (- x y) d y = \frac{1}{x \sqrt{y^{2} + 1}} (- \sqrt{y^{2} + 1}) d x$

ステップ 3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$- \frac{1}{x \sqrt{y^{2} + 1}} (x y) d y = \frac{1}{x \sqrt{y^{2} + 1}} (- \sqrt{y^{2} + 1}) d x$

ステップ 3.2

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$- \frac{1}{x \sqrt{y^{2} + 1}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- 1}{x \sqrt{y^{2} + 1}} (x y) d y = \frac{1}{x \sqrt{y^{2} + 1}} (- \sqrt{y^{2} + 1}) d x$

ステップ 3.2.2

$x$ を $x \sqrt{y^{2} + 1}$ で因数分解します。

$\frac{- 1}{x (\sqrt{y^{2} + 1})} (x y) d y = \frac{1}{x \sqrt{y^{2} + 1}} (- \sqrt{y^{2} + 1}) d x$

ステップ 3.2.3

$x$ を $x y$ で因数分解します。

$\frac{- 1}{x (\sqrt{y^{2} + 1})} (x (y)) d y = \frac{1}{x \sqrt{y^{2} + 1}} (- \sqrt{y^{2} + 1}) d x$

ステップ 3.2.4

共通因数を約分します。

$\frac{- 1}{x \sqrt{y^{2} + 1}} (x y) d y = \frac{1}{x \sqrt{y^{2} + 1}} (- \sqrt{y^{2} + 1}) d x$

ステップ 3.2.5

式を書き換えます。

$\frac{- 1}{\sqrt{y^{2} + 1}} y d y = \frac{1}{x \sqrt{y^{2} + 1}} (- \sqrt{y^{2} + 1}) d x$

ステップ 3.3

$\frac{- 1}{\sqrt{y^{2} + 1}}$ と $y$ をまとめます。

$\frac{- y}{\sqrt{y^{2} + 1}} d y = \frac{1}{x \sqrt{y^{2} + 1}} (- \sqrt{y^{2} + 1}) d x$

ステップ 3.4

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{y}{\sqrt{y^{2} + 1}} d y = \frac{1}{x \sqrt{y^{2} + 1}} (- \sqrt{y^{2} + 1}) d x$

ステップ 3.5

$\frac{y}{\sqrt{y^{2} + 1}}$ に $\frac{\sqrt{y^{2} + 1}}{\sqrt{y^{2} + 1}}$ をかけます。

$- (\frac{y}{\sqrt{y^{2} + 1}} \cdot \frac{\sqrt{y^{2} + 1}}{\sqrt{y^{2} + 1}}) d y = \frac{1}{x \sqrt{y^{2} + 1}} (- \sqrt{y^{2} + 1}) d x$

ステップ 3.6

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1

$\frac{y}{\sqrt{y^{2} + 1}}$ に $\frac{\sqrt{y^{2} + 1}}{\sqrt{y^{2} + 1}}$ をかけます。

$- \frac{y \sqrt{y^{2} + 1}}{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y^{2} + 1}} d y = \frac{1}{x \sqrt{y^{2} + 1}} (- \sqrt{y^{2} + 1}) d x$

ステップ 3.6.2

$\sqrt{y^{2} + 1}$ を $1$ 乗します。

$- \frac{y \sqrt{y^{2} + 1}}{{\sqrt{y^{2} + 1}}^{1} \sqrt{y^{2} + 1}} d y = \frac{1}{x \sqrt{y^{2} + 1}} (- \sqrt{y^{2} + 1}) d x$

ステップ 3.6.3

$\sqrt{y^{2} + 1}$ を $1$ 乗します。

$- \frac{y \sqrt{y^{2} + 1}}{{\sqrt{y^{2} + 1}}^{1} {\sqrt{y^{2} + 1}}^{1}} d y = \frac{1}{x \sqrt{y^{2} + 1}} (- \sqrt{y^{2} + 1}) d x$

ステップ 3.6.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{y \sqrt{y^{2} + 1}}{{\sqrt{y^{2} + 1}}^{1 + 1}} d y = \frac{1}{x \sqrt{y^{2} + 1}} (- \sqrt{y^{2} + 1}) d x$

ステップ 3.6.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$- \frac{y \sqrt{y^{2} + 1}}{{\sqrt{y^{2} + 1}}^{2}} d y = \frac{1}{x \sqrt{y^{2} + 1}} (- \sqrt{y^{2} + 1}) d x$

ステップ 3.6.6

${\sqrt{y^{2} + 1}}^{2}$ を $y^{2} + 1$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{y^{2} + 1}$ を ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$- \frac{y \sqrt{y^{2} + 1}}{{({(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} d y = \frac{1}{x \sqrt{y^{2} + 1}} (- \sqrt{y^{2} + 1}) d x$

ステップ 3.6.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{y \sqrt{y^{2} + 1}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} d y = \frac{1}{x \sqrt{y^{2} + 1}} (- \sqrt{y^{2} + 1}) d x$

ステップ 3.6.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$- \frac{y \sqrt{y^{2} + 1}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}} d y = \frac{1}{x \sqrt{y^{2} + 1}} (- \sqrt{y^{2} + 1}) d x$

ステップ 3.6.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.6.4.1

共通因数を約分します。

$- \frac{y \sqrt{y^{2} + 1}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}} d y = \frac{1}{x \sqrt{y^{2} + 1}} (- \sqrt{y^{2} + 1}) d x$

ステップ 3.6.6.4.2

式を書き換えます。

$- \frac{y \sqrt{y^{2} + 1}}{{(y^{2} + 1)}^{1}} d y = \frac{1}{x \sqrt{y^{2} + 1}} (- \sqrt{y^{2} + 1}) d x$

ステップ 3.6.6.5

簡約します。

$- \frac{y \sqrt{y^{2} + 1}}{y^{2} + 1} d y = \frac{1}{x \sqrt{y^{2} + 1}} (- \sqrt{y^{2} + 1}) d x$

ステップ 3.7

積の可換性を利用して書き換えます。

$- \frac{y \sqrt{y^{2} + 1}}{y^{2} + 1} d y = - \frac{1}{x \sqrt{y^{2} + 1}} \sqrt{y^{2} + 1} d x$

ステップ 3.8

$\sqrt{y^{2} + 1}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.1

$- \frac{1}{x \sqrt{y^{2} + 1}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$- \frac{y \sqrt{y^{2} + 1}}{y^{2} + 1} d y = \frac{- 1}{x \sqrt{y^{2} + 1}} \sqrt{y^{2} + 1} d x$

ステップ 3.8.2

$\sqrt{y^{2} + 1}$ を $x \sqrt{y^{2} + 1}$ で因数分解します。

$- \frac{y \sqrt{y^{2} + 1}}{y^{2} + 1} d y = \frac{- 1}{\sqrt{y^{2} + 1} x} \sqrt{y^{2} + 1} d x$

ステップ 3.8.3

共通因数を約分します。

$- \frac{y \sqrt{y^{2} + 1}}{y^{2} + 1} d y = \frac{- 1}{\sqrt{y^{2} + 1} x} \sqrt{y^{2} + 1} d x$

ステップ 3.8.4

式を書き換えます。

$- \frac{y \sqrt{y^{2} + 1}}{y^{2} + 1} d y = \frac{- 1}{x} d x$

ステップ 3.9

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{y \sqrt{y^{2} + 1}}{y^{2} + 1} d y = - \frac{1}{x} d x$

ステップ 4

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

各辺の積分を設定します。

$\int - \frac{y \sqrt{y^{2} + 1}}{y^{2} + 1} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2

左辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int \frac{y \sqrt{y^{2} + 1}}{y^{2} + 1} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2.2

$u = y^{2} + 1$ とします。次に $d u = 2 y d y$ すると、 $\frac{1}{2} d u = y d y$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

$u = y^{2} + 1$ とします。 $\frac{d u}{d y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.1

$y^{2} + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [y^{2} + 1]$

ステップ 4.2.2.1.2

総和則では、 $y^{2} + 1$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$ です。

$\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$

ステップ 4.2.2.1.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 y + \frac{d}{d y} [1]$

ステップ 4.2.2.1.4

$1$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$2 y + 0$

ステップ 4.2.2.1.5

$2 y$ と $0$ をたし算します。

$2 y$

ステップ 4.2.2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$- \int \frac{\sqrt{u}}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1

$\frac{\sqrt{u}}{u}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$- \int \frac{\sqrt{u}}{u \cdot 2} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2.3.2

$2$ を $u$ の左に移動させます。

$- \int \frac{\sqrt{u}}{2 u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2.4

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$- (\frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{u}}{u} d u) = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2.5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u}$ を $u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$- \frac{1}{2} \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2.5.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.5.2.1

負の指数法則 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ を利用して $u^{\frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$- \frac{1}{2} \int \frac{1}{u \cdot u^{- \frac{1}{2}}} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2.5.2.2

指数を足して $u$ に $u^{- \frac{1}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.5.2.2.1

$u$ に $u^{- \frac{1}{2}}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.5.2.2.1.1

$u$ を $1$ 乗します。

$- \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{1} u^{- \frac{1}{2}}} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2.5.2.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{1 - \frac{1}{2}}} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2.5.2.2.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$- \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2.5.2.2.3

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{2 - 1}{2}}} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2.5.2.2.4

$2$ から $1$ を引きます。

$- \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2.5.3

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.5.3.1

$u^{\frac{1}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$- \frac{1}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2.5.3.2

${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.5.3.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2.5.3.2.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$- \frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2.5.3.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2.6

べき乗則では、 $u^{- \frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $2 u^{\frac{1}{2}}$ です。

$- \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1}) = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2.7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.7.1

$- \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1})$ を $- \frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1}$ に書き換えます。

$- \frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2.7.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.7.2.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 (\frac{1}{2}) u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2.7.2.2

$- 2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{- 2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2.7.2.3

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.7.2.3.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot - 1}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2.7.2.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.7.2.3.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2.7.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2.7.2.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- 1}{1} u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2.7.2.3.2.4

$- 1$ を $1$ で割ります。

$- u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2.8

$u$ のすべての発生を $y^{2} + 1$ で置き換えます。

$- {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.3

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.3.2

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$- {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

ステップ 4.3.3

簡約します。

$- {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

ステップ 4.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$- {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} = - \ln (| x |) + C$

ステップ 5

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$- {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} = - \ln (| x |) + C$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

$- {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} = - \ln (| x |) + C$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{- 1} = \frac{- \ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

ステップ 5.1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{1} = \frac{- \ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

ステップ 5.1.2.2

${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ を $1$ で割ります。

${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} = \frac{- \ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

ステップ 5.1.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.3.1.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} = \frac{\ln (| x |)}{1} + \frac{C}{- 1}$

ステップ 5.1.3.1.2

$\ln (| x |)$ を $1$ で割ります。

${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} = \ln (| x |) + \frac{C}{- 1}$

ステップ 5.1.3.1.3

$\frac{C}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} = \ln (| x |) - 1 \cdot C$

ステップ 5.1.3.1.4

$- 1 \cdot C$ を $- C$ に書き換えます。

${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} = \ln (| x |) - C$

ステップ 5.2

方程式の両辺を $2$ 乗し、左辺の分数指数を消去します。

${({(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\ln (| x |) - C)}^{2}$

ステップ 5.3

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

${({(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.1

${({(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\ln (| x |) - C)}^{2}$

ステップ 5.3.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\ln (| x |) - C)}^{2}$

ステップ 5.3.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(y^{2} + 1)}^{1} = {(\ln (| x |) - C)}^{2}$

ステップ 5.3.1.2

簡約します。

$y^{2} + 1 = {(\ln (| x |) - C)}^{2}$

ステップ 5.4

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$y^{2} = {(\ln (| x |) - C)}^{2} - 1$

ステップ 5.4.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \pm \sqrt{{(\ln (| x |) - C)}^{2} - 1}$

ステップ 5.4.3

$\pm \sqrt{{(\ln (| x |) - C)}^{2} - 1}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.3.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$y = \pm \sqrt{{(\ln (| x |) - C)}^{2} - 1^{2}}$

ステップ 5.4.3.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = \ln (| x |) - C$ であり、 $b = 1$ です。

$y = \pm \sqrt{(\ln (| x |) - C + 1) (\ln (| x |) - C - 1)}$

ステップ 5.4.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = \sqrt{(\ln (| x |) - C + 1) (\ln (| x |) - C - 1)}$

ステップ 5.4.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。