微分積分例

$d x - \frac{1}{1 + y^{2}} d y = 0$

ステップ 1

方程式の両辺から $d x$ を引きます。

$- \frac{1}{1 + y^{2}} d y = - d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int - \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int - 1 d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int - 1 d x$

ステップ 2.2.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$- \int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int - 1 d x$

ステップ 2.2.3

$\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ の $y$ に関する積分は $\arctan (y) + C_{1}$ です。

$- (\arctan (y) + C_{1}) = \int - 1 d x$

ステップ 2.2.4

簡約します。

$- \arctan (y) + C_{1} = \int - 1 d x$

ステップ 2.3

定数の法則を当てはめます。

$- \arctan (y) + C_{1} = - x + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$- \arctan (y) = - x + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

$- \arctan (y) = - x + K$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.1.1

$- \arctan (y) = - x + K$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- \arctan (y)}{- 1} = \frac{- x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

ステップ 3.1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.1.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{\arctan (y)}{1} = \frac{- x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

ステップ 3.1.2.2

$\arctan (y)$ を $1$ で割ります。

$\arctan (y) = \frac{- x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

ステップ 3.1.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.1.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.1.3.1.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\arctan (y) = \frac{x}{1} + \frac{K}{- 1}$

ステップ 3.1.3.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$\arctan (y) = x + \frac{K}{- 1}$

ステップ 3.1.3.1.3

$\frac{K}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$\arctan (y) = x - 1 \cdot K$

ステップ 3.1.3.1.4

$- 1 \cdot K$ を $- K$ に書き換えます。

$\arctan (y) = x - K$

ステップ 3.2

方程式の両辺の逆正接の逆をとり、逆正接の中から $y$ を取り出します。

$y = \tan (x - K)$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = \tan (x + K)$

微分積分 例

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