微分積分例

$2 x y y' = y^{2} - 2 x^{3}$

ステップ 1

微分方程式の解を書き換えます。

$2 x y \frac{d y}{d x} = y^{2} - 2 x^{3}$

ステップ 2

$v = y^{2}$ とします。 $v$ を $y^{2}$ に代入します。

$2 x y \frac{d y}{d x} = v - 2 x^{3}$

ステップ 3

$y^{2}$ を微分し、 $\frac{d v}{d x}$ を求めます。

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ステップ 3.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 3.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{d v}{d x} = 2 u \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 3.1.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$\frac{d v}{d x} = 2 y \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$\frac{d v}{d x} = 2 y y'$

ステップ 4

微分係数を微分方程式に戻し入れます。

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ステップ 4.1

$2 y$ を $2 x y$ で因数分解します。

$2 y (x) \frac{\frac{d v}{d x}}{2 y} = v - 2 x^{3}$

ステップ 4.2

共通因数を約分します。

$2 y x \frac{\frac{d v}{d x}}{2 y} = v - 2 x^{3}$

ステップ 4.3

式を書き換えます。

$x \frac{d v}{d x} = v - 2 x^{3}$

ステップ 5

微分方程式を $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ として書き換えます。

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ステップ 5.1

方程式の両辺から $v$ を引きます。

$x \frac{d v}{d x} - v = - 2 x^{3}$

ステップ 5.2

$x \frac{d v}{d x} - v = - 2 x^{3}$ の各項を $x$ で割ります。

$\frac{x \frac{d v}{d x}}{x} + \frac{- v}{x} = \frac{- 2 x^{3}}{x}$

ステップ 5.3

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{x \frac{d v}{d x}}{x} + \frac{- v}{x} = \frac{- 2 x^{3}}{x}$

ステップ 5.3.2

$\frac{d v}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{x} = \frac{- 2 x^{3}}{x}$

ステップ 5.4

$x^{3}$ と $x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.1

$x$ を $- 2 x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{x} = \frac{x (- 2 x^{2})}{x}$

ステップ 5.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{x} = \frac{x (- 2 x^{2})}{x^{1}}$

ステップ 5.4.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{x} = \frac{x (- 2 x^{2})}{x \cdot 1}$

ステップ 5.4.2.3

共通因数を約分します。

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{x} = \frac{x (- 2 x^{2})}{x \cdot 1}$

ステップ 5.4.2.4

式を書き換えます。

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{x} = \frac{- 2 x^{2}}{1}$

ステップ 5.4.2.5

$- 2 x^{2}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{x} = - 2 x^{2}$

ステップ 5.5

$v$ を $\frac{- v}{x}$ で因数分解します。

$\frac{d v}{d x} + v \frac{- 1}{x} = - 2 x^{2}$

ステップ 5.6

$v$ と $\frac{- 1}{x}$ を並べ替えます。

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 1}{x} v = - 2 x^{2}$

ステップ 6

$P (x) = \frac{- 1}{x}$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

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ステップ 6.1

積分を設定します。

$e^{\int \frac{- 1}{x} d x}$

ステップ 6.2

$\frac{- 1}{x}$ を積分します。

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ステップ 6.2.1

分数を複数の分数に分割します。

$e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

ステップ 6.2.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

ステップ 6.2.3

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$e^{- (\ln (| x |) + C)}$

ステップ 6.2.4

簡約します。

$e^{- \ln (| x |) + C}$

ステップ 6.3

積分定数を削除します。

$e^{- \ln (x)}$

ステップ 6.4

対数のべき乗則を利用します。

$e^{\ln (x^{- 1})}$

ステップ 6.5

指数関数と対数関数は逆関数です。

$x^{- 1}$

ステップ 6.6

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{x}$

ステップ 7

各項に積分因数 $\frac{1}{x}$ を掛けます。

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ステップ 7.1

各項に $\frac{1}{x}$ を掛けます。

$\frac{1}{x} \frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} (\frac{- 1}{x} v) = \frac{1}{x} (- 2 x^{2})$

ステップ 7.2

各項を簡約します。

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ステップ 7.2.1

$\frac{1}{x}$ と $\frac{d v}{d x}$ をまとめます。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (\frac{- 1}{x} v) = \frac{1}{x} (- 2 x^{2})$

ステップ 7.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} v) = \frac{1}{x} (- 2 x^{2})$

ステップ 7.2.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{1}{x} (\frac{1}{x} v) = \frac{1}{x} (- 2 x^{2})$

ステップ 7.2.4

$\frac{1}{x}$ と $v$ をまとめます。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{v}{x} = \frac{1}{x} (- 2 x^{2})$

ステップ 7.2.5

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{v}{x}$ を掛けます。

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ステップ 7.2.5.1

$\frac{v}{x}$ に $\frac{1}{x}$ をかけます。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x \cdot x} = \frac{1}{x} (- 2 x^{2})$

ステップ 7.2.5.2

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{1} x} = \frac{1}{x} (- 2 x^{2})$

ステップ 7.2.5.3

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{1} x^{1}} = \frac{1}{x} (- 2 x^{2})$

ステップ 7.2.5.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{1 + 1}} = \frac{1}{x} (- 2 x^{2})$

ステップ 7.2.5.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = \frac{1}{x} (- 2 x^{2})$

ステップ 7.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = - 2 \frac{1}{x} x^{2}$

ステップ 7.4

$- 2$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = \frac{- 2}{x} x^{2}$

ステップ 7.5

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.5.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = \frac{- 2}{x} (x \cdot x)$

ステップ 7.5.2

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = \frac{- 2}{x} (x \cdot x)$

ステップ 7.5.3

式を書き換えます。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = - 2 x$

ステップ 8

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} v] = - 2 x$

ステップ 9

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} v] d x = \int - 2 x d x$

ステップ 10

左辺を積分します。

$\frac{1}{x} v = \int - 2 x d x$

ステップ 11

右辺を積分します。

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ステップ 11.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $- 2$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{x} v = - 2 \int x d x$

ステップ 11.2

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$\frac{1}{x} v = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

ステップ 11.3

答えを簡約します。

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ステップ 11.3.1

$- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ を $- 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ に書き換えます。

$\frac{1}{x} v = - 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

ステップ 11.3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.2.1

$- 2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{x} v = \frac{- 2}{2} x^{2} + C$

ステップ 11.3.2.2

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.2.2.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$\frac{1}{x} v = \frac{2 \cdot - 1}{2} x^{2} + C$

ステップ 11.3.2.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.2.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{1}{x} v = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} x^{2} + C$

ステップ 11.3.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{x} v = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} x^{2} + C$

ステップ 11.3.2.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{x} v = \frac{- 1}{1} x^{2} + C$

ステップ 11.3.2.2.2.4

$- 1$ を $1$ で割ります。

$\frac{1}{x} v = - x^{2} + C$

ステップ 12

$v$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

$\frac{1}{x}$ と $v$ をまとめます。

$\frac{v}{x} = - x^{2} + C$

ステップ 12.2

両辺に $x$ を掛けます。

$\frac{v}{x} x = (- x^{2} + C) x$

ステップ 12.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.3.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.3.1.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.3.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{v}{x} x = (- x^{2} + C) x$

ステップ 12.3.1.1.2

式を書き換えます。

$v = (- x^{2} + C) x$

ステップ 12.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.3.2.1

$(- x^{2} + C) x$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.3.2.1.1

分配則を当てはめます。

$v = - x^{2} x + C x$

ステップ 12.3.2.1.2

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.3.2.1.2.1

$x$ を移動させます。

$v = - (x \cdot x^{2}) + C x$

ステップ 12.3.2.1.2.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.3.2.1.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$v = - (x^{1} x^{2}) + C x$

ステップ 12.3.2.1.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$v = - x^{1 + 2} + C x$

ステップ 12.3.2.1.2.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$v = - x^{3} + C x$

ステップ 13

$v$ のすべての発生を $y^{2}$ で置き換えます。

$y^{2} = - x^{3} + C x$

ステップ 14

$y$ について解きます。

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ステップ 14.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \pm \sqrt{- x^{3} + C x}$

ステップ 14.2

$x$ を $- x^{3} + C x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.2.1

$x$ を $- x^{3}$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{x (- x^{2}) + C x}$

ステップ 14.2.2

$x$ を $C x$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{x (- x^{2}) + x C}$

ステップ 14.2.3

$x$ を $x (- x^{2}) + x C$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{x (- x^{2} + C)}$

ステップ 14.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 14.3.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = \sqrt{x (- x^{2} + C)}$

ステップ 14.3.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - \sqrt{x (- x^{2} + C)}$

ステップ 14.3.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = \sqrt{x (- x^{2} + C)}$

$y = - \sqrt{x (- x^{2} + C)}$

$y = \sqrt{x (- x^{2} + C)}$

$y = - \sqrt{x (- x^{2} + C)}$

$y = \sqrt{x (- x^{2} + C)}$

$y = - \sqrt{x (- x^{2} + C)}$

微分積分 例

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