微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{10 y} - \frac{2 x}{5 y}$

ステップ 1

変数を分けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$- \frac{2 x}{5 y}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{10 y} - \frac{2 x}{5 y} \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 1.1.2

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $10 y$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$\frac{2 x}{5 y}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{10 y} - \frac{2 x \cdot 2}{5 y \cdot 2}$

ステップ 1.1.2.2

$2$ に $5$ をかけます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{10 y} - \frac{2 x \cdot 2}{10 y}$

ステップ 1.1.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} - 2 x \cdot 2}{10 y}$

ステップ 1.1.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.1

$x$ を $x^{2} - 2 x \cdot 2$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.1.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x - 2 x \cdot 2}{10 y}$

ステップ 1.1.4.1.2

$x$ を $- 2 x \cdot 2$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x + x (- 2 \cdot 2)}{10 y}$

ステップ 1.1.4.1.3

$x$ を $x \cdot x + x (- 2 \cdot 2)$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (x - 2 \cdot 2)}{10 y}$

ステップ 1.1.4.2

$- 2$ に $2$ をかけます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (x - 4)}{10 y}$

ステップ 1.2

両辺に $y$ を掛けます。

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x (x - 4)}{10 y}$

ステップ 1.3

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$y$ を $10 y$ で因数分解します。

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x (x - 4)}{y \cdot 10}$

ステップ 1.3.2

共通因数を約分します。

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x (x - 4)}{y \cdot 10}$

ステップ 1.3.3

式を書き換えます。

$y \frac{d y}{d x} = \frac{x (x - 4)}{10}$

ステップ 1.4

方程式を書き換えます。

$y d y = \frac{x (x - 4)}{10} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int y d y = \int \frac{x (x - 4)}{10} d x$

ステップ 2.2

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x (x - 4)}{10} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$\frac{1}{10}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{10}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{10} \int x (x - 4) d x$

ステップ 2.3.2

$x (x - 4)$ を掛けます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{10} \int x \cdot x + x \cdot - 4 d x$

ステップ 2.3.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{10} \int x^{1} x + x \cdot - 4 d x$

ステップ 2.3.3.2

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{10} \int x^{1} x^{1} + x \cdot - 4 d x$

ステップ 2.3.3.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{10} \int x^{1 + 1} + x \cdot - 4 d x$

ステップ 2.3.3.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{10} \int x^{2} + x \cdot - 4 d x$

ステップ 2.3.3.5

$- 4$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{10} \int x^{2} - 4 x d x$

ステップ 2.3.4

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{10} (\int x^{2} d x + \int - 4 x d x)$

ステップ 2.3.5

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{10} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + \int - 4 x d x)$

ステップ 2.3.6

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $- 4$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{10} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2} - 4 \int x d x)$

ステップ 2.3.7

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{10} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2} - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}))$

ステップ 2.3.8

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.8.1

簡約します。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{10} (\frac{x^{3}}{3} - 2 x^{2}) + C_{4}$

ステップ 2.3.8.2

項を並べ替えます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{10} (\frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2}) + C_{4}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{10} (\frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2}) + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式の両辺に $2$ を掛けます。

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{10} (\frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2}) + K)$

ステップ 3.2

方程式の両辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

$2 (\frac{1}{2} y^{2})$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ と $y^{2}$ をまとめます。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{10} (\frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2}) + K)$

ステップ 3.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{10} (\frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2}) + K)$

ステップ 3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$y^{2} = 2 (\frac{1}{10} (\frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2}) + K)$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

$2 (\frac{1}{10} (\frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2}) + K)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1.1

$\frac{1}{3}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$y^{2} = 2 (\frac{1}{10} (\frac{x^{3}}{3} - 2 x^{2}) + K)$

ステップ 3.2.2.1.1.2

分配則を当てはめます。

$y^{2} = 2 (\frac{1}{10} \cdot \frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{10} (- 2 x^{2}) + K)$

ステップ 3.2.2.1.1.3

まとめる。

$y^{2} = 2 (\frac{1 x^{3}}{10 \cdot 3} + \frac{1}{10} (- 2 x^{2}) + K)$

ステップ 3.2.2.1.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1.4.1

$2$ を $10$ で因数分解します。

$y^{2} = 2 (\frac{1 x^{3}}{10 \cdot 3} + \frac{1}{2 (5)} (- 2 x^{2}) + K)$

ステップ 3.2.2.1.1.4.2

$2$ を $- 2 x^{2}$ で因数分解します。

$y^{2} = 2 (\frac{1 x^{3}}{10 \cdot 3} + \frac{1}{2 (5)} (2 (- x^{2})) + K)$

ステップ 3.2.2.1.1.4.3

共通因数を約分します。

$y^{2} = 2 (\frac{1 x^{3}}{10 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 5} (2 (- x^{2})) + K)$

ステップ 3.2.2.1.1.4.4

式を書き換えます。

$y^{2} = 2 (\frac{1 x^{3}}{10 \cdot 3} + \frac{1}{5} (- x^{2}) + K)$

ステップ 3.2.2.1.1.5

$\frac{1}{5}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$y^{2} = 2 (\frac{1 x^{3}}{10 \cdot 3} - \frac{x^{2}}{5} + K)$

ステップ 3.2.2.1.1.6

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1.6.1

$x^{3}$ に $1$ をかけます。

$y^{2} = 2 (\frac{x^{3}}{10 \cdot 3} - \frac{x^{2}}{5} + K)$

ステップ 3.2.2.1.1.6.2

$10$ に $3$ をかけます。

$y^{2} = 2 (\frac{x^{3}}{30} - \frac{x^{2}}{5} + K)$

ステップ 3.2.2.1.2

分配則を当てはめます。

$y^{2} = 2 \frac{x^{3}}{30} + 2 (- \frac{x^{2}}{5}) + 2 K$

ステップ 3.2.2.1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.3.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.3.1.1

$2$ を $30$ で因数分解します。

$y^{2} = 2 \frac{x^{3}}{2 (15)} + 2 (- \frac{x^{2}}{5}) + 2 K$

ステップ 3.2.2.1.3.1.2

共通因数を約分します。

$y^{2} = 2 \frac{x^{3}}{2 \cdot 15} + 2 (- \frac{x^{2}}{5}) + 2 K$

ステップ 3.2.2.1.3.1.3

式を書き換えます。

$y^{2} = \frac{x^{3}}{15} + 2 (- \frac{x^{2}}{5}) + 2 K$

ステップ 3.2.2.1.3.2

$2 (- \frac{x^{2}}{5})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.3.2.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$y^{2} = \frac{x^{3}}{15} - 2 \frac{x^{2}}{5} + 2 K$

ステップ 3.2.2.1.3.2.2

$- 2$ と $\frac{x^{2}}{5}$ をまとめます。

$y^{2} = \frac{x^{3}}{15} + \frac{- 2 x^{2}}{5} + 2 K$

ステップ 3.2.2.1.4

分数の前に負数を移動させます。

$y^{2} = \frac{x^{3}}{15} - \frac{2 x^{2}}{5} + 2 K$

ステップ 3.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{3}}{15} - \frac{2 x^{2}}{5} + 2 K}$

ステップ 3.4

$\pm \sqrt{\frac{x^{3}}{15} - \frac{2 x^{2}}{5} + 2 K}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$- \frac{2 x^{2}}{5}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{3}}{15} - \frac{2 x^{2}}{5} \cdot \frac{3}{3} + 2 K}$

ステップ 3.4.2

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $15$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1

$\frac{2 x^{2}}{5}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{3}}{15} - \frac{2 x^{2} \cdot 3}{5 \cdot 3} + 2 K}$

ステップ 3.4.2.2

$5$ に $3$ をかけます。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{3}}{15} - \frac{2 x^{2} \cdot 3}{15} + 2 K}$

ステップ 3.4.3

公分母の分子をまとめます。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{3} - 2 x^{2} \cdot 3}{15} + 2 K}$

ステップ 3.4.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.1

$x^{2}$ を $x^{3} - 2 x^{2} \cdot 3$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.1.1

$x^{2}$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} x - 2 x^{2} \cdot 3}{15} + 2 K}$

ステップ 3.4.4.1.2

$x^{2}$ を $- 2 x^{2} \cdot 3$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} x + x^{2} (- 2 \cdot 3)}{15} + 2 K}$

ステップ 3.4.4.1.3

$x^{2}$ を $x^{2} x + x^{2} (- 2 \cdot 3)$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} (x - 2 \cdot 3)}{15} + 2 K}$

ステップ 3.4.4.2

$- 2$ に $3$ をかけます。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} (x - 6)}{15} + 2 K}$

ステップ 3.4.5

$2 K$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{15}{15}$ を掛けます。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} (x - 6)}{15} + 2 K \cdot \frac{15}{15}}$

ステップ 3.4.6

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.6.1

$2 K$ と $\frac{15}{15}$ をまとめます。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} (x - 6)}{15} + \frac{2 K \cdot 15}{15}}$

ステップ 3.4.6.2

公分母の分子をまとめます。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} (x - 6) + 2 K \cdot 15}{15}}$

ステップ 3.4.7

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.7.1

分配則を当てはめます。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} x + x^{2} \cdot - 6 + 2 K \cdot 15}{15}}$

ステップ 3.4.7.2

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.7.2.1

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.7.2.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot - 6 + 2 K \cdot 15}{15}}$

ステップ 3.4.7.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2 + 1} + x^{2} \cdot - 6 + 2 K \cdot 15}{15}}$

ステップ 3.4.7.2.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{3} + x^{2} \cdot - 6 + 2 K \cdot 15}{15}}$

ステップ 3.4.7.3

$- 6$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{3} - 6 \cdot x^{2} + 2 K \cdot 15}{15}}$

ステップ 3.4.7.4

$15$ に $2$ をかけます。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 30 K}{15}}$

ステップ 3.4.8

$\sqrt{\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 30 K}{15}}$ を $\frac{\sqrt{x^{3} - 6 x^{2} + 30 K}}{\sqrt{15}}$ に書き換えます。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} - 6 x^{2} + 30 K}}{\sqrt{15}}$

ステップ 3.4.9

$\frac{\sqrt{x^{3} - 6 x^{2} + 30 K}}{\sqrt{15}}$ に $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ をかけます。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} - 6 x^{2} + 30 K}}{\sqrt{15}} \cdot \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$

ステップ 3.4.10

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 3.4.10.1

$\frac{\sqrt{x^{3} - 6 x^{2} + 30 K}}{\sqrt{15}}$ に $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ をかけます。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} - 6 x^{2} + 30 K} \sqrt{15}}{\sqrt{15} \sqrt{15}}$

ステップ 3.4.10.2

$\sqrt{15}$ を $1$ 乗します。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} - 6 x^{2} + 30 K} \sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{1} \sqrt{15}}$

ステップ 3.4.10.3

$\sqrt{15}$ を $1$ 乗します。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} - 6 x^{2} + 30 K} \sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{1} {\sqrt{15}}^{1}}$

ステップ 3.4.10.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} - 6 x^{2} + 30 K} \sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{1 + 1}}$

ステップ 3.4.10.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} - 6 x^{2} + 30 K} \sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{2}}$

ステップ 3.4.10.6

${\sqrt{15}}^{2}$ を $15$ に書き換えます。

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ステップ 3.4.10.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{15}$ を $15^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} - 6 x^{2} + 30 K} \sqrt{15}}{{(15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 3.4.10.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} - 6 x^{2} + 30 K} \sqrt{15}}{15^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 3.4.10.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} - 6 x^{2} + 30 K} \sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 3.4.10.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.10.6.4.1

共通因数を約分します。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} - 6 x^{2} + 30 K} \sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 3.4.10.6.4.2

式を書き換えます。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} - 6 x^{2} + 30 K} \sqrt{15}}{15^{1}}$

ステップ 3.4.10.6.5

指数を求めます。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} - 6 x^{2} + 30 K} \sqrt{15}}{15}$

ステップ 3.4.11

根の積の法則を使ってまとめます。

$y = \pm \frac{\sqrt{(x^{3} - 6 x^{2} + 30 K) \cdot 15}}{15}$

ステップ 3.4.12

$\pm \frac{\sqrt{(x^{3} - 6 x^{2} + 30 K) \cdot 15}}{15}$ の因数を並べ替えます。

$y = \pm \frac{\sqrt{15 (x^{3} - 6 x^{2} + 30 K)}}{15}$

ステップ 3.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 3.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = \frac{\sqrt{15 (x^{3} - 6 x^{2} + 30 K)}}{15}$

ステップ 3.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - \frac{\sqrt{15 (x^{3} - 6 x^{2} + 30 K)}}{15}$

ステップ 3.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = \frac{\sqrt{15 (x^{3} - 6 x^{2} + 30 K)}}{15}$

$y = - \frac{\sqrt{15 (x^{3} - 6 x^{2} + 30 K)}}{15}$

$y = \frac{\sqrt{15 (x^{3} - 6 x^{2} + 30 K)}}{15}$

$y = - \frac{\sqrt{15 (x^{3} - 6 x^{2} + 30 K)}}{15}$

$y = \frac{\sqrt{15 (x^{3} - 6 x^{2} + 30 K)}}{15}$

$y = - \frac{\sqrt{15 (x^{3} - 6 x^{2} + 30 K)}}{15}$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = \frac{\sqrt{15 (x^{3} - 6 x^{2} + K)}}{15}$

$y = - \frac{\sqrt{15 (x^{3} - 6 x^{2} + K)}}{15}$

微分積分 例

微分積分例